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專題14 曲線與拋物線公切問題
【2024年廣東2月份聯考14】．若圓與拋物線在公共點處有相同的切線，且與軸切于的焦點，則______．
設圓心與切點，表示圓的標準方程，利用拋物線的切線斜率、圓的切線性質及點在圓上建立方程組，求解切點、圓心與半徑及，解等腰三角形即可.
由題意可知，拋物線的焦點為，準線l為，
不妨令在第一象限，，則圓C的半徑，
設，則圓C的方程為，
由，則，所以拋物線在點B處的切線m的斜率，
因為圓C與拋物線在公共點B處有相同的切線，
所以直線CB與m垂直，所以，則①，
又點B在圓C上，所以，則②，
所以，
整理可得，解得或（舍去），
所以，所以，
所以．
故答案為：．
設圓心表示圓的標準方程，利用三角換元設切點，利用拋物線的切線斜率、圓的切線性質及點在拋物線上建立方程組，求解，得切線傾斜角解等腰三角形即可.
依題意不妨設圓心，C、B位于第一象限，，則圓C：．
由點B在圓C上，設點，其中，
則．
由得．
由直線BC與曲線在點B處的切線l垂直得，
即①，
又B在拋物線上，∴②，
由①、②得，
即，
∴．
直線BC的斜率為，其傾斜角為120°．
又直線軸，∴．
1．如圖，平面直角坐標系中，，，圓Q過坐標原點O且與圓L外切．若拋物線與圓L，圓Q均恰有一個公共點，則p＝ ．
（2023·全國·高二專題練習）
2．已知直線與拋物線及曲線均相切，切點分別為，若，則
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##0.5
【分析】由兩圓關系確定圓L的方程，根據拋物線與圓L恰有一個公共點且，利用導數幾何意義寫出該點處曲線的公切線方程，結合直線與公切線垂直關系、與公切線的距離列方程組求m值，進而可求p.
【詳解】由題設，圓Q為，顯然與有一個公共點，
而，由圓Q與圓L外切，則圓L的半徑為，
所以圓L為，
要使與圓L恰有一個公共點且，
拋物線可得：，故過的公切線方程為，
所以，而，則，
由，即①，
又L到切線的距離為②，
聯立①②并整理得：，
易知：，則.
故答案為：
2．4
【分析】設直線：，分別與和聯立，根據判別式等于，求出的坐標，再根據可求出結果.
【詳解】顯然直線的斜率存在，設直線：，
聯立，消去得，
則且，即，代入，得，
得，得，則，則.
聯立，消去得，
則，且，即，
將代入，得，
得，得，又，所以，則，則，
由，得，解得，所以或，
當時，不合題意，舍去；
當時，.
綜上所述：.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：利用判別式等于求出的坐標是解題關鍵.
答案第1頁，共2頁
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