資源簡介

專題
1排列組合中的計(jì)數(shù)問題
【排列組合】
在中國革命史上有許多與“8”有關(guān)的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍” “八女投江”等，因此數(shù)字“8”是當(dāng)之無愧的新時(shí)代“英雄數(shù)字”.如果一個(gè)四位數(shù)，各個(gè)位置上數(shù)字之和等于8，這樣的數(shù)稱為“英雄數(shù)”（比如1223，，就是一個(gè)“英雄數(shù)”），則所有的“英雄數(shù)”有個(gè)（用數(shù)字回答）
【方法名稱】分類求解
【思路分析】根據(jù)四位數(shù)的“英雄數(shù)”中含0的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類求解
法一：根據(jù)題意，8個(gè)相同的小球排成一排，8個(gè)小球兩兩之間不包括頭尾共有7個(gè)空位中，
若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中不含0，則需要在這7個(gè)空位中隨機(jī)安排3個(gè)擋板，可以將小球分為4組每兩個(gè)擋板之間的小球的數(shù)目依次對應(yīng)四位數(shù)的千 百 十 個(gè)位數(shù)字，共有個(gè)，
若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中只有一個(gè)0，則需要在這7個(gè)空位中隨機(jī)安排2個(gè)擋板，可以將小球分成個(gè)數(shù)不為0的3組，0可以作為百 十 個(gè)位其中一位上的數(shù)字，此時(shí)共有個(gè)，
若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中有兩個(gè)0，則需要在這7個(gè)空位中隨機(jī)安排1個(gè)擋板，可以將小球分成個(gè)數(shù)不為0的2組，0可以作為百 十 個(gè)位其中兩位上的數(shù)字，此時(shí)共有個(gè)，
若四位數(shù)的“英雄數(shù)”中有3個(gè)0，則只能是8000，只有一種情況，
綜上：共有個(gè)“英雄數(shù)”.
故答案為：120.
法二：情況1：當(dāng)千位為8時(shí)，只有1種情況，8000
情況2：當(dāng)千位為7時(shí)，后面3個(gè)數(shù)位隨機(jī)一位是1，有種
情況3：當(dāng)千位為6時(shí)，可固定1位數(shù)字為2，有種；可固定1位為0，有種
∴故有種
情況4：當(dāng)千位為5時(shí)，可為5111，所以有1種，可固定一個(gè)數(shù)位是3，有種，也可每個(gè)數(shù)位都不同，有種（對3個(gè)空全排列），∴共有種
情況5：當(dāng)千位為4時(shí)，可固定一個(gè)數(shù)字為4，其余為0，有種，可固定一位為0，其余為2，有種，可固定一位為2，其余為1，有種，也可不固定，共有種，∴共有15種
情況6：當(dāng)千位為3時(shí)，可固定一位為5，其余為0，為種，可固定一位為3，兩位為1，有種，可固定一位為1，其余為2，有種
可排014三數(shù)在百十個(gè)位上，有種，也可排023，同理有種，∴共有21種
情況7：當(dāng)千位為2時(shí)，固定一位為6，其余為0，為種，固定一位為0，其余為3，有種，固定一位為4，其余為1，有種，也可為2222，有一種，
同上可將百十個(gè)位上排為015，有種，將百十個(gè)位上排為024，有種，將百十個(gè)位上排為123，有種，∴此種有28種
情況8：當(dāng)千位為1時(shí)，固定一位為7，其余為0，為種，固定一位為5，其余為1，為種，固定一位為1，其余為3，為種，固定一位為3，其余為2，為種，固定一位為7，其余為0，為種，百十個(gè)位上可為016，有種，百十個(gè)位上可為025，有種，百十個(gè)位上可為034，有種，百十個(gè)位上可為124，有種，∴此種情況有36種，
∴共有120種情況
【舉一反三】
1．有5張卡片，每張卡片的正反兩面分別標(biāo)有兩個(gè)數(shù)字，且第張卡片上的兩個(gè)數(shù)字分別為和．用這五張卡片排成一排，一共可以組成 個(gè)不同的五位數(shù)（用數(shù)字作答）．
2．某高中學(xué)校在新學(xué)期增設(shè)了“傳統(tǒng)文化” “數(shù)學(xué)文化” “綜合實(shí)踐” “科學(xué)技術(shù)”和“勞動技術(shù)”5門校本課程.小明和小華兩位同學(xué)商量每人選報(bào)2門校本課程.若兩人所選的課程至多有一門相同，且小明必須選報(bào)“數(shù)學(xué)文化”課程，則兩位同學(xué)不同的選課方案有 種.（用數(shù)字作答）
【方法名稱】轉(zhuǎn)化為加隔板法
【思路分析】先把8看作8個(gè)1，再依次插入隔板得四位數(shù)，最后除順序數(shù)得解.
法一：設(shè)四位數(shù)為，（其中），則.
由于，，可以為0，∴原式化為，
∴，，，均不為0，構(gòu)造換型，11個(gè)小球之間有10個(gè)空隙，插入3個(gè)隔板，即，每一種隔板對應(yīng)一個(gè)數(shù)
法二：先把8看作8個(gè)1，第一次在八個(gè)空（首位1前空去掉）插入一個(gè)隔板，有8種方法；第二次在九個(gè)空（首位1前空去掉）插入一個(gè)隔板，有9種方法；第三次在十個(gè)空（首位1前空去掉）插入一個(gè)隔板，有10種方法；由于隔板無差別，所以除以順序數(shù)，即共有種“英雄數(shù)”，
故答案為：120
【舉一反三】
3．把6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每個(gè)人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法共有 種．（用數(shù)字作答）
4．有本相同的畫冊要分給個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少一本，則不同的分法種數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
5．給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有 種不同的染色方案.
6．5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為 .
7．關(guān)于，，的方程（其中，，）的解共有 組．
8．用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 （用數(shù)字作答）
9．某市政府決定派遣8名干部（5男3女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少3人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有 種.（用數(shù)字作答）
10．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項(xiàng)不同的工作，每項(xiàng)工作由一人完成，每人至少完成一項(xiàng)，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有 種．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．3456
【分析】先分析每張卡片上數(shù)字，再分類討論，利用排列組合數(shù)及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.
【詳解】第1張卡片上的兩個(gè)數(shù)字分別為0和1；第2張卡片上的兩個(gè)數(shù)字分別為2和3；
第3張卡片上的兩個(gè)數(shù)字分別為4和5；第2張卡片上的兩個(gè)數(shù)字分別為6和7；
第5張卡片上的兩個(gè)數(shù)字分別為8和9，
若第1張卡片上選數(shù)字0，則可以組成不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為；
若第1張卡片上選數(shù)字1，則可以組成不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為；
由一共可以組成不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為.
故答案為：3456.
2．36
【分析】分兩類：所選課程恰有一門相同和沒有相同，利用排列、組合分別求出每類的種數(shù)，再利用分類計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)：
相同的課程為“數(shù)學(xué)文化”時(shí)，有種，
相同的課程不是“數(shù)學(xué)文化”時(shí)，有種，
所以小明和小華兩位同學(xué)所選的課程恰有一門相同時(shí)，共有種，
當(dāng)小明和小華兩位同學(xué)所選的課程沒有相同時(shí)，有,
所以，兩位同學(xué)不同的選課方案有，
故答案為：36
3．144
【分析】根據(jù)題意分2步進(jìn)行：①先將票分為符合條件的4份，有2個(gè)人各一張，2個(gè)人各2張；②再將分好的4份全排列，對應(yīng)到4個(gè)人，即可得答案.
【詳解】解：根據(jù)題意，可分為兩步進(jìn)行：
①先將票分為符合條件的4份，4人分6張票，且每人至少一張，至多兩張，
則有2個(gè)人各一張，2個(gè)人各2張，且分得的票必須連號，相當(dāng)于將1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字用3個(gè)板子隔開，分為四部分且不存在三連號，
即在其中的5個(gè)空隙中插入3個(gè)板子，其有種情況；
其中出現(xiàn)3張三連號的有：123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456；共4種情況，不滿足題意，
所以有10-4=6種情況；
②再將分好的4份全排列，對應(yīng)到4個(gè)人，有種情況，
由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種不同的分法.
故答案為：144
4．
【分析】
由題意可知，只需在本相同的畫冊形成的個(gè)空位中（不包括兩端的空位）插入塊板即可，結(jié)合隔板法可得結(jié)果.
【詳解】將本相同的畫冊要分給個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少一本，
只需在本相同的畫冊形成的個(gè)空位中（不包括兩端的空位）插入塊板即可，
所以，不同的分法種數(shù)為種.
故答案為：.
5．96
【分析】通過分析題目給出的圖形，可知要完成給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，最少需要3種顏色，即同色，同色，同色，由排列知識可得該類染色方法的種數(shù)；也可以4種顏色全部用上，即，，三組中有一組不同色，同樣利用排列組合知識求解該種染法的方法種數(shù)，最后利用分類加法求和．
【詳解】解：要完成給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，
即同色，同色，同色，則從四種顏色中取三種顏色有種取法，三種顏色染三個(gè)區(qū)域有種染法，共種染法；
第二類是用四種顏色染色，即，，中有一組不同色，則有3種方案不同色或不同色或不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有種染法．
由分類加法原理得總的染色種數(shù)為種．
故答案為：96．
【點(diǎn)睛】本題考查了排列、組合、及簡單的計(jì)數(shù)問題，解答的關(guān)鍵是正確分類，明確相鄰的兩區(qū)域不能染相同的顏色，屬于中檔題．
6．240.
【分析】先把5本書取出兩本看做一個(gè)元素，這一元素和其他的三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)，相當(dāng)于在四個(gè)位置全排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.
【詳解】從5本書中取出兩本看做一個(gè)元素共有種不同的取法，
這一元素與其他三個(gè)元素分給四個(gè)同學(xué)共有種不同的分法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的分法.
故答案為240
【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的綜合應(yīng)用，分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.
7．15
【分析】將7分解成為7個(gè)1，將這些1分為三組，每一組都不為0，則1的個(gè)數(shù)分別代表，，的值.
【詳解】將7分解成為7個(gè)1，現(xiàn)在將7個(gè)1分為三組，每一組都有1，則分組方式為，
即關(guān)于，，的方程（其中，，）的解共有15組.
故答案為：15.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題的關(guān)鍵在于理解本題的實(shí)質(zhì)是組合問題，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，利用隔板法即可求解.
8．
【分析】通過先分析個(gè)位數(shù)字的可能，再排列十位和千位即得答案.
【詳解】根據(jù)題意，個(gè)位數(shù)字是1,3,5共有3種可能，由于還剩下4個(gè)數(shù)字，排列兩個(gè)位置
故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為,故答案為36.
【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合相關(guān)知識，難度不大.
9．180
【分析】由派遣8名干部分成兩個(gè)小組，每組至少3人，可得分組的方案有3、5和4、4兩類，分別求得兩類分法的種數(shù)，再由分類計(jì)數(shù)原理，即可求解．
【詳解】由題意，派遣8名干部分成兩個(gè)小組，每組至少3人，可得分組的方案有3、5和4、4兩類，第一類有種；第二類有種，
由分類計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的方案.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理，及排列、組合的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意合理分組，分別求得兩組分法的種數(shù)，再由分類計(jì)數(shù)原理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．50
【分析】因?yàn)镋工作只有乙能完成，所以分為兩類，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用兩個(gè)原理及排列組合的知識即可求得
【詳解】由題意可分為兩類
（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有種安排方式
（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四項(xiàng)工作，則一共有
種安排方式
綜上共有種安排方式
故答案為：50
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑