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專題 13 雙曲線中含特殊角的離心率問題
【2023年江西省“三新”協(xié)同教研共同體高三聯考數學】已知雙曲線的兩個焦點為，為上一點，，則的離心率為______.
角度一、取上一點構造相似，得出黃金三角形的邊長關系結合雙曲線定義計算即可；角度二、設與軸交點為，連接，利用等腰三角形邊角關系得相似三角形，得出黃金三角形的邊長關系結合雙曲線定義計算即可.
角度一、
令，取上一點，使得，
則有，
解得（舍負根），則，，
所以．
角度二、
設與軸交點為
可得
由．
總評
本題是一道雙曲線離心率的問題，難度適中，主要考查非特殊三角函數值的計算，可通過正弦定理，輔助線構造等腰三角形等方向切入．
1．已知雙曲線C：的左，右頂點分別為A，B，點P在雙曲線C上，過點B作x軸的垂線BM，交PA于點M．若∠PAB＝∠PBM，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
利用正弦定理及黃金三角形中邊長關系得特殊角三角函數值計算即可.
由題可得（利用上法一可得），
由二倍角公式可知
設，即．
這里需要記住常用的結論，對于頂角為36°的等腰三角形為黃金三角形，其腰與底的比值為，
即，對于處理問題較便捷.
2．若雙曲線E：的左、右焦點分別為， 為 右支上一點，，， 的面積為2，則a＝
3．已知是雙曲線的兩個焦點，為上一點，，且，則的離心率為 ．
4．已知雙曲線的兩個焦點為為上一點，，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，已知雙曲線的左焦點為，右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，若為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知雙曲線的左焦點為，過作一傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，且滿足（為原點）為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】設，過P作x軸的垂線，垂足為N，由已知條件得，進而可得，列出關系式即可求出，從而可得離心率.
【詳解】解：設，可得，
過P作x軸的垂線，垂足為N，所以,
又因為,∠PAB＝∠PBM，所以，
可得即,所以，
結合，可得，又，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A．
2．
【分析】根據雙曲線的定義與已知條件可得，再求出P點坐標，代入雙曲線求解即可．
【詳解】, ，， 的面積為2可得
，解得，
，代入雙曲線方程可得
解得
【點睛】本題考查雙曲線的焦點三角形，解題的關鍵是得出，再結合三角形的面積求解．
3．
【分析】根據給定的條件，利用雙曲線定義結合余弦定理計算作答.
【詳解】由正弦定理得，所以，
即，由雙曲線的定義可得，
所以；
因為，由余弦定理可得，
整理可得，
所以，即．
故答案為：.
4．D
【分析】利用等腰三角形的性質及特殊角的三角函數值結合雙曲線的定義與性質計算即可.
【詳解】如圖，取線段的中點，連接，
因為，，
所以，且，
所以
，
設，則，
所以的離心率
．
故選：D
5．D
【分析】
結合雙曲線定義可得、，借助向量模長與數量積的關系可得與、有關齊次式，即可得離心率.
【詳解】由雙曲線定義可知，，
又，關于原點對稱，故，，
故，，
又，故、，
有，
故，
即有，
即有，故.
故選：D.
6．C
【分析】由題意可得且，確定點M的坐標，將代入雙曲線方程可得，則，根據的齊次式求解出離心率的值.
【詳解】不妨設點M位于第一象限，
因為是等腰直角三角形，所以且，則，
將代入雙曲線方程，得，解得，
所以，即，得，
由，解得.
故選：C
7．##
【分析】
畫出圖形利用雙曲線定義并根據為等腰三角形可得，再由勾股定理可得，即求出離心率.
【詳解】
如圖，連接，
因為P在雙曲線的右支上，則，又易知雙曲線的左焦點，
又因為為等腰三角形，，可知，
可得，即，又，
即為等邊三角形，即，，
所以，
所以在直角中，，，則，
所以，即，
解得．
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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