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專題 2 馬爾科夫鏈問題
（浙江強基聯盟2023學年第一學期高三聯考T22）甲口袋中裝有2個紅球和1個黑球，乙口袋中裝有1個紅球和2個黑球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為一次球交換的操作，重復次這樣的操作，記甲口袋中紅球個數為．
（1）求；
（2）求的概率分布列并求出；
（3）證明：．
基于定義的視角，思路自然，重在代數的恒等變形，在變形過程中，需要清晰的目標作為指引，使得解題過程變得簡潔．
（1）要使事件發生，則第一次交換時，甲口袋需取紅球，乙口袋需取黑球．從而．
（2）由題得可能取值為，則．
．
，，
所以的分布列為
0 1 2 3
所以．
（3）因為，
，
，
又，
因此，
．
基于后一狀態有前一狀態決定的事實，因此可用數列的遞推關系去刻畫前后狀態的關系，數列的遞推關系是刻畫概率關系的良好工具．
記“甲口袋1紅2黑，乙口袋2紅1黑”叫做狀態，“甲口袋2紅1黑，乙口袋1紅2黑”叫做狀態，“甲口袋3紅，乙口袋3黑”叫做狀態，“甲口袋3黑，乙口袋3紅”叫做狀態．用表示交換球后從狀態變為狀態，則
；
，
．
設交換次后，處于狀態的概率分別為．
則．
而．
因此，
1．甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n(n∈N*)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn，則下列結論正確的是（ ）
A．p2＝，q2＝
B．數列{2pn＋qn－1}是等比數列
C．Xn的數學期望E(Xn)＝(n∈N*)
D．數列{pn}的通項公式為pn＝(n∈N*)
2．馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程.該過程要求具備“無記憶”的性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.甲乙兩個口袋中各裝有1個黑球和2個白球，現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復進行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為，恰有1個黑球的概率為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．數列是等比數列 D．的數學期望
利用期望的線性性質：，
可以簡化運算．
記．
則．又，
所以．
3．甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數學期望E(Xn)(用 n表示) ．
4．袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補一個白球放入袋中．重復上述過程次后，袋中白球的個數記為．
（1）求隨機變量的概率分布及數學期望；
（2）求隨機變量的數學期望關于的表達式．
5．馬爾可夫鏈是因俄國數學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第次狀態是“沒有任何關系的”.現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行次操作后，記甲盒子中黑球個數為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.
(1)求的分布列；
(2)求數列的通項公式；
(3)求的期望.
6．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
7．甲、乙兩人玩一種游戲，游戲規則如下：放置一張紙片在地面指定位置，其中一人在固定位置投籃，若籃球被籃板反彈后擊中紙片，則本次游戲成功，此人繼續投籃，否則游戲失敗，換為對方投籃．已知第一次投籃的人是甲、乙的概率分別為和，甲、乙兩人每次游戲成功的概率分別為和．
(1)求第2次投籃的人是甲的概率；
(2)記第次投籃的人是甲的概率為，
①用表示；
②求．
8．從甲 乙 丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數為隨機變量，求的分布列；
(2)若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，
①直接寫出的值；
②求與的關系式，并求.
9．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．
(i)證明：為等比數列；
(ii)求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性．
10．一對夫妻計劃進行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛,且約定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人駕車,另一人休息;②若前一天由丈夫駕車,則下一天繼續由丈夫駕車的概率為,由妻子駕車的概率為;③妻子不能連續兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．
(1)在剛開始的三天中,妻子駕車天數的概率分布列和數學期望;
(2)設在第n天時,由丈夫駕車的概率為,求數列的通項公式．
11．第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰勝法國隊獲得冠軍．
(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左 中 右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左 中 右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰中，求門將在前三次撲到點球的個數X的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲 乙 丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．
①試證明：為等比數列；
②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大小．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BC
【分析】利用已知條件求出，，推出；即可判斷．推出，，得到，推出，說明數列是首項為，公比為的等比數列，然后求解的通項公式以及期望即判斷，；把代入，可判斷．
【詳解】解：由題意可知：，，
則；
．故錯誤；
由題意可知：，
，
兩式相加可得：
，
，
，
，數列是首項為，公比為的等比數列，故正確；
數列是首項為，公比為的等比數列，
，即，
，，故正確；
若數列的通項公式為，
則，故錯誤．
故選：．
2．ACD
【分析】
利用已知條件求出，，即可判斷A，B；
利用推出，可判斷C；
利用可判斷D.
【詳解】由題意，，故A正確；
，，故B錯誤；
當時，
整理得，
，
故可知是以為首項，以為公比的等比數列，故C正確；
，
，
，
因，
所以，
，
故D正確，
故選：ACD.
3．（1）（2）
【分析】（1）直接根據操作，根據古典概型概率公式可得結果；
（2）根據操作，依次求，即得遞推關系，構造等比數列求得，最后根據數學期望公式求結果.
【詳解】（1），
，
.
（2），
，
因此，
從而，
即.
又的分布列為
0 1 2
故.
【點睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關系、構造法求數列通項、數學期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.
4．（1）概率分布詳見解析，；（2）．
【解析】（1）的可能取值為3，4，5，計算概率得到分布列，計算數學期望得到答案.
（2）設，則，計算概率得到數學期望，整理化簡得到，根據數列知識得到答案.
【詳解】（1）由題意可知3，4，5．
當時，即二次摸球均摸到白球，其概率是；
當時，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，
其概率是；
當時，即二次摸球均摸到黑球，其概率是，
所以隨機變量的概率分布如下表：
數學期望.
（2）設，0，1，2，3，4，5．
則，．
，，，
，，
，
∴
，
由此可知，，
又，故是首項為，公比為的等比數列，
∴，即.
【點睛】本題考查了分布列，數學期望，根據遞推公式求通項公式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力，確定是解題的關鍵.
5．(1)答案見解析
(2)
(3)1
【分析】（1）由題意分析的可能取值為0，1，2.分別求出概率，寫出分布列；（2）由全概率公式得到，判斷出數列為以為首項，以為公比的等比數列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，進而求出.
【詳解】（1）（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，數列為以為首項，以為公比的等比數列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
6．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據全概率公式即可求出；
（2）設，由題意可得，根據數列知識，構造等比數列即可解出；
（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出．
【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設，依題可知，，則
，
即，
構造等比數列，
設，解得，則，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3）因為，，
所以當時，，
故．
【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據題意找到遞推式，然后根據數列的基本知識求解．
7．(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）分為第1次甲投籃且游戲成功和第1次乙投籃且游戲失敗兩種情形，結合全概率即可得結果；
（2）（ⅰ）第次投籃的人是甲包含第次甲投籃且游戲成功和第次乙投籃且游戲失敗兩種情況，由全概率公式可得解；（ⅱ）通過構造數列是以為首項，為公比的等比數列，求解即可.
【詳解】（1）第2次投籃的人是甲包含兩種情況：
①第1次甲投籃且游戲成功，其概率為；
②第1次乙投籃且游戲失敗，其概率為，
由全概率公式得第2次投籃的人是甲的概率為．
（2）（ⅰ）第次投籃的人是甲包含兩種情況：
①第次甲投籃且游戲成功，其概率為；
②第次乙投籃且游戲失敗，其概率為，
由全概率公式得，即．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，即．
8．(1)分布列見解析
(2)①，，；②；
【分析】
（1）由離散型隨機變量的分布列可解；
（2）記表示事件“經過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求
再由數列知識，由遞推公式求得通項公式.
【詳解】（1）可能取值為，
；；
所以隨機變量的分布列為
1 2 3
（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓練，且次傳球后球在甲手中的概率為，
則有
記表示事件“經過次傳球后，球在甲手中”，
所以
即，
所以，且
所以數列表示以為首項，為公比的等比數列，
所以所以
即次傳球后球在甲手中的概率是.
9．（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.
【分析】（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數列的通項公式，采用累加的方式，結合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，
；；
則的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以為首項，為公比的等比數列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最終認為甲藥更有效的.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.
【點睛】本題考查離散型隨機變量分布列的求解、利用遞推關系式證明等比數列、累加法求解數列通項公式和數列中的項的問題.本題綜合性較強，要求學生能夠熟練掌握數列通項求解、概率求解的相關知識，對學生分析和解決問題能力要求較高.
10．(1)分布列見解析;
(2),
【分析】(1)設妻子駕車天數為,寫出的可能取值,根據題意求出相對應的概率,列出分布列,根據期望公式求出結果即可;
(2)由于丈夫駕車的概率與前一天駕車的對象有關系,不妨假設第天,丈夫駕車的概率為,則妻子駕車的概率為,得到關于的遞推關系式,構造等比數列,求出等比數列通項公式即可求得通項公式.
【詳解】（1）解:設妻子駕車天數為,則的可能取值為:,
由題意可知:,
,
,
所以的分布列如下表所示:
0 1 2
所以;
（2）假設第天,丈夫駕車的概率為,則妻子駕車的概率為,
此時第n天時,由丈夫駕車的概率為,
即,則有,
所以,因為,
所以是以為首項,為公比的等比數列,
即,故.
11．(1)分布列見解析；期望為
(2)①證明見解析 ；②
【分析】（1）方法一：先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數學期望；
方法二：判斷，結合二項分布的分布列和期望公式確定結論；
（2）①記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，由條件確定的關系，結合等比數列定義完成證明；
②由①求出，比較其大小即可.
【詳解】（1）方法一：的所有可能取值為，
在一次撲球中，撲到點球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為，
門將在前三次撲到點球的個數可能的取值為，易知，
所以，
故的分布列為：
0 1 2 3
所以的期望．
（2）①第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，
則，
即，又，
所以是以為首項，公比為的等比數列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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