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專題3 有關(guān)二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題
（廣東省2024屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試T5） 在的展開式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為（ ）
A.84 B.85 C.127 D.128
通過對所求目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，對二項(xiàng)展開式中的x分別賦值為1、-1，觀察對比，聯(lián)立方程整體求解．
由于，通項(xiàng)公式為
展開式有理項(xiàng)與無理項(xiàng)分別為奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，設(shè)有理項(xiàng)系數(shù)和為，無理項(xiàng)系數(shù)和為，則
1．在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為 ．
2．已知，則 .
通過通項(xiàng)公式把對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)表示出來，再利用常用的組合數(shù)公式或性質(zhì)進(jìn)行求解．
通項(xiàng)公式為
其有理項(xiàng)為
∴系數(shù)和為，故選D．
通過通項(xiàng)公式把對應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)表示出來，因本題中項(xiàng)數(shù)較少，故直接利用組合數(shù)計(jì)算公式逐項(xiàng)計(jì)算后累加即可．
通項(xiàng)公式為
其有理項(xiàng)為
直接算，故選D．
3．已知，則 .
4．若，則 .
5．若，則 .
6．若，則 .
7．在的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)之和為 ．
8．，則 .
9．若，則 ．
10．設(shè)多項(xiàng)式， 則 .
11．設(shè)，若，則 .
12．在的展開式中，的所有奇次冪的系數(shù)和為，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ．
13．設(shè)，若的二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)的系數(shù)之和為29525，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．729##
【分析】
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，進(jìn)而設(shè)出各項(xiàng)的系數(shù)，然后采用賦值法即可求得答案.
【詳解】由題意的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
即，
設(shè)的各項(xiàng)的系數(shù)為，
則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為，
即為中各項(xiàng)的系數(shù)的和，
令，，
即各項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為，
故答案為：729
2．
【分析】，等式兩邊求導(dǎo)，利用賦值法求解.
【詳解】，
等式兩邊求導(dǎo)得：，
令，得，
故答案為：.
3．
【分析】利用二項(xiàng)式定理可得出，令，求出的值，利用賦值法可得出，代值計(jì)算即可得解.
【詳解】因?yàn)?br/>，
所以，，
令，
則，易知，，
.
故答案為：.
4．
【分析】通過賦值法求解二項(xiàng)式展開式的系數(shù)問題即可.
【詳解】
令得：①，
令得：②，
由①②可得：，
等號兩邊同時(shí)乘以得：.
故答案為：.
5．
【分析】
觀察已知條件，通過求導(dǎo)賦值構(gòu)造出式子計(jì)算即可.
【詳解】已知，對式子兩邊同時(shí)求導(dǎo)，
得，
令，得.
故答案為：240
6．
【分析】對兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，再令，即可得出答案.
【詳解】由可得：
①，
對①兩邊同時(shí)取導(dǎo)可得：
，
令，可得，
所以.
故答案為：.
7．
【分析】求出的展開式的通項(xiàng)，求出和，兩式相加即可求出答案.
【詳解】展開式中的第項(xiàng)為.
因的冪指數(shù)為整數(shù)，故為偶數(shù).
記.
因?yàn)椋?br/>，
兩式相加得：.
所以，.
故答案為：.
8．32
【分析】寫出展開式的通項(xiàng)為.然后即可得出的符號，去掉絕對值，可得.令，即可得出答案.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，，
所以，當(dāng)時(shí)，系數(shù)；當(dāng)時(shí)，系數(shù).
所以，.
令，則.
故答案為：32.
9．
【分析】可令，求得，再令求得，再利用平方差公式求解即可．
【詳解】，
令，有，
令，有，
．
故答案為：
10．
【分析】分別賦值，得到兩個(gè)等式，兩式相加即得偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的倍.
【詳解】依題意，令，得到：，令，得到：
，兩式相加可得：，故.
故答案為：
11．4
【分析】賦值法令，后兩式相加即可求解.
【詳解】令，得，①
令，得，②
①-②，得，得，所以，解得.
故答案為：4.
12．
【分析】分別令和，所得式子作差即可求得奇次冪的系數(shù)和，由此構(gòu)造方程求得；令即可得到常數(shù)項(xiàng).
【詳解】設(shè)，
令得：；令得：；
兩式作差得：，，
；
令得：，即展開式的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：.
13．10
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理確定的二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)是奇數(shù)項(xiàng)，其系數(shù)與展開式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)相等，這樣可在的展開式中用賦值法求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．
【詳解】，有理項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，即，也就是的奇數(shù)項(xiàng)，設(shè)，并記，則，，
∴，∴．
故答案為：10．.
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查用賦值法求二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和，類比成的系數(shù)是解題關(guān)鍵．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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