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專題 11 雙曲線中與焦點弦有關的離心率問題
【2024屆湖北名校聯盟第二次聯考】如圖，已知，是雙曲線C：的左、右焦點，以為圓心的圓與雙曲線兩支交于P、Q兩點，且則雙曲線C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
根據題意利用雙曲線定義設線段長，結合余弦定理建立方程構建齊次式求解即可.
解：設，，則，所以，
因為，所以，
在中，，
在中，，
所以
整理得，，.
1．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，.點A在C上，點B在y軸上，，，則C的離心率為 .
（2024上·廣東·高二校聯考期末）
2．已知雙曲線的左 右焦點分別為.過的直線交雙曲線右支于兩點，且，則的離心率為（ ）
A．2 B．3 C． D．
延長與雙曲線交于點，利用雙曲線定義及對稱性得出，再根據勾股定理及逆定理計算即可.
延長與雙曲線交于點，因為，根據對稱性可知.
設，則，可得，即.
所以，則，.
即，可得.
在中，由勾股定理得，即，解得.
感悟反思：遇到雙曲線的問題，可以先連接雙曲線上的點與兩個焦點，雙曲線的定義往往是解題的利器.
3．如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·廣東佛山·高二統考期末）
4．設雙曲線的左、右焦點分別為、，過且傾斜角為的直線分別交的左、右兩支于、兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
根據線段關系直接利用雙曲線的焦半徑公式計算即可.
延長與雙曲線交于點，因為，根據對稱性可知.
設，則，可得，即.
設，所以，則，
，所以，故.
下面推導橢圓的焦半徑公式（角度式）
由橢圓第二定義：橢圓上任意一點到焦點的距離與它到對應準線的距離之比等于離心率.
如圖所示，已知橢圓，為左焦點，弦AB過點，過A，B兩點作準線的垂線，垂足分別為，設，由圖可知
整理可得
同理可得.
同法三先求得，，設，，，利用正弦定理及焦點三角形的面積公式計算即可.
延長與雙曲線交于點，因為，根據對稱性可知.
設，則，可得，即.
設，，，
由正弦定理可得，，則①，
又，所以，所以②，
由①②得，，則，
所以，解得.
感悟反思：圓錐曲線中有很多二級結論，適當記一些常用的結論可能加快一些做題速度.
雙曲線的左右焦點分別為、，點P是雙曲線上異于實軸端點的任一點，，則.特別地，當時，有.
證明：如圖，由余弦定理知，
，
，
，，
∴.
當時，.
（2024·河南·統考模擬預測）
5．設雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于兩點，，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
（2023·陜西安康·校聯考模擬預測）
6．已知是雙曲線的兩個焦點，為上除頂點外的一點，，且，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北·統考模擬預測）
7．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點，若，且的周長為，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·內蒙古赤峰·高三校考期中）
9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，且，射線分別交于兩點（為坐標原點），若，則的離心率為 ．
（2024·全國·模擬預測）
10．已知過原點的直線與雙曲線交于M，N兩點，點M在第一象限且與點Q關于x軸對稱，，直線NE與雙曲線的右支交于點P，若，則雙曲線的離心率為 ．
11．已知點為雙曲線，右支上一點，，為雙曲線的左、右焦點，點為線段上一點，的角平分線與線段交于點，且滿足，則 ；若為線段的中點且，則雙曲線的離心率為 ．
12．已知是雙曲線.左，右焦點，若上存在一點，使得成立，其中是坐標原點，則的離心率的取值范圍是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】設，利用雙曲線定義得，利用勾股定理得m與a的關系，再利用列關系式求解
【詳解】設，則由題意有：，，，
由，所以，
即.
因為，，
所以，，
即.
故答案為：
2．A
【分析】設，根據雙曲線定義和線段之間的倍數關系求出，，由余弦定理求出，進而得到，得到答案.
【詳解】由已知可設，則，
故，
由雙曲線的定義有，故，，
故，
在中，由余弦定理得
.
在中，由余弦定理得，
即，
解得，
即，故的離心率為2.
故選：A
3．B
【分析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，
由對稱性可知，點是線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
設，則，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
從而有，中，，整理得，，
所以雙曲線E的離心率為．
故選：B
4．D
【分析】取中點，連接，則，設，由雙曲線的定義可知，，，所以，，，由勾股定理，推出、的關系，化簡即可得離心率的值．
【詳解】解：如圖，取中點，連接，
因為，所以，，
設，因為，則，
又，所以，，
所以，，則，所以，，
過點且傾斜角為的直線方程為，，所以，，
在中，由勾股定理可得，即，①
在中，，即，②
聯立①②消去化簡得，所以，雙曲線的離心率．
故選：D.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
5．D
【分析】
由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結合余弦定理表示出與、有關齊次式即可得離心率.
【詳解】
由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，
令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，，
，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關鍵是找到關于、、之間的等量關系，本題中結合題意與雙曲線的定義得出、與的具體關系及的大小，借助余弦定理表示出與、有關齊次式，即可得解.
6．A
【分析】設出根據題意有，利用余弦定理表示出，，結合，求出離心率的取值范圍.
【詳解】
設，顯然，
則，
所以的離心率．由于，
所以，所以的取值范圍是；
故選：A
7．A
【分析】
根據可知，再根據角平分線定理得到的關系，再根據雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據邊的關系利用余弦定理即可解出離心率.
【詳解】
因為，所以∽，
設，則，設，則，．
因為平分，由角平分線定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，即，，①
又由得，
所以，即是等邊三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化簡得，
把①代入上式得，所以離心率為．
故選：A．
8．A
【分析】根據條件求得，∴，在中，由勾股定理可得關于的等式，進而可求得離心率.
【詳解】由雙曲線定義知，
則，，所以，
∴的周長為，
∴，，
由，
所以，故，∴，
∴，，∴，
在中，，故.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是：由得到.
9．
【分析】由雙曲線的對稱性，結合定義與垂直關系轉化將已知條件集中在與中，建立方程組消參化簡可得的齊次關系，從而得到離心率.
【詳解】由雙曲線的對稱性得，由，得，
不妨設點在的右支上，且，
在中，由雙曲線定義知，
由勾股定理得，
則，
且
又，，所以，
則在中，由，得，
化簡得，
即，所以，
所以，化簡得.
所以的離心率為.
故答案為：.

10．##
【分析】先設出相關點的坐標，利用求得點坐標，推理證明（二階結論），再利用和整體代入即得的齊次式，計算即得離心率.
【詳解】
如圖，設，則，,根據可得: ,故，
因點均為雙曲線上的點，則
由①
因為，所以②，又③，
將②，③兩式代入①式得：．故雙曲線的離心率．
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查雙曲線的方程與幾何性質以及關于雙曲線的二階結論 是否熟悉.關鍵在于能否建立四條直線的斜率之間的數量關系，通過代入消去未知量，得出的齊次式.
11．
【分析】過作，交于點，作，交于點，由向量共線定理可得；再由角平分線性質定理和雙曲線的定義、結合余弦定理和離心率公式，可得所求值．
【詳解】解：過作交于點，作交于點，
由，得，
由角平分線定理；
因為為的中點，所以，
由雙曲線的定義，，
所以，，，
在中，由余弦定理，
所以.
故答案為：；.
【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，以及角平分線的性質定理和余弦定理的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
12．
【分析】不妨設點在雙曲線的右支上，設，則，先求出，，由條件可得，再根據，根據建立不等式從而可得答案.
【詳解】不妨設點在雙曲線的右支上，設，則，則
則
同理可得
由，可得
，又
所以，即，即
所以，即，即，即
所以，即
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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