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專題15 雙曲線的離心率
【2024屆T8聯考16】已知雙曲線的左、右焦點分別為，若過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，且，又以雙曲線的頂點為圓心，半徑為的圓恰好經過雙曲線虛軸的端點，則雙曲線的離心率為______．
由雙曲線的性質結合圓的性質得出，再由第一定義得出，，，，再由勾股定理得出，進而得出離心率.
由題意：以雙曲線的頂點為圓心，半徑為的圓恰好經過雙曲線虛軸的端點，可得；
過作于點；
由第一定義可得：；
，故；
又，故；
在中，；
在中，，故；故
（2024上·安徽池州·高三統考期末）
1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線C上，點B在y軸上，，則雙曲線C的離心率為 ．
（2024上·河南·高二校聯考期末）
2．已知是雙曲線的左 右焦點，為上一點，且（為坐標原點），，則的離心率為 .
法一：由雙曲線的性質結合圓的性質得出，再由第一定義得出，，再由結合余弦定理得出，進而得出離心率；
法二：由雙曲線的性質結合圓的性質得出，再由第一定義得出，，再由余弦定理結合得出，進而得出離心率.
法一：由題意：以雙曲線的頂點為圓心，半徑為的圓恰好經過雙曲線虛軸的端點，可得；
由第一定義可得：；
；
又，故；
故；
可得：
解得；故
法二：由題意：以雙曲線的頂點為圓心，半徑為的圓恰好經過雙曲線虛軸的端點，可得；
由第一定義可得：；
，故；
在中，
在中，
，
，解得，
（2024下·河南鄭州·高三校聯考階段練習）
3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線交雙曲線的右支于，兩點，且，，則雙曲線的離心率為 .
（2024·云南昆明·昆明一中校聯考一模）
4．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是右支上一點，線段與的左支交于點．若為正三角形，則的離心率為 ．
（2024上·浙江紹興·高二統考期末）
5．已知，是雙曲線C：的左右焦點，過作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為N，直線與雙曲線C交于點，且均在第一象限，若，則雙曲線C的離心率是 ．
（2024上·河北·高三校聯考階段練習）
6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P為圓與C的一個公共點，若，則C的離心率為 ．
（2024下·湖南長沙·高二湖南師大附中校考開學考試）
7．已知雙曲線：，，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，連接交雙曲線左支于點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為 ．
（2024下·重慶銅梁·高二銅梁中學校校考開學考試）
8．設雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于點，，則的離心率為 .
（2024上·山東濟寧·高二統考期末）
9．已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與圓相切于點，與的右支交于點，若，則的離心率為 ．
（2024·新疆烏魯木齊·統考一模）
10．設雙曲線的左、右焦點分別為，，A是右支上一點，滿足，直線交雙曲線于另一點，且，則雙曲線的離心率為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】由題，結合圖形可得，又由，結合雙曲線定義及勾股定理可得答案.
【詳解】因，，點B在y軸上，則.
又，則，，由勾股定理，
，由雙曲線定義，
則．
故答案為：.
2．##
【分析】根據條件得出，在中，根據條件，得到，再根據雙曲線的定義得出，即可建立等式，從而求出結果.
【詳解】設雙曲線的半焦距為，則，
因為，所以，
在中，，所以為等邊三角形，所以，
根據雙曲線定義可得，
在中，由勾股定理可得，整理得，
所以，解得，
所以的離心率為.
故答案為：.
3．##
【分析】設，則，，根據雙曲線的定義得到，即可得到，在中利用余弦定理求出，在中利用余弦定理求出、的關系，即可求出離心率.
【詳解】依題意設，則，，
又，則，所以，
在中由余弦定理可得，
在中由余弦定理可得，
即，所以，所以.
故答案為：
4．
【分析】根據題意和雙曲線定義求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化簡得到，即可求得雙曲線的離心率.
【詳解】因為點是右支上一點，線段與的左支交于點，且，
因為為等邊三角形，所以，，
由雙曲線定義得，，
又由，解得，
則，且，
在中，由余弦定理得，
化簡整理得，所以雙曲線的離心率為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求離心率是圓錐曲線一類常考題，也是一個重點、難點問題，求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：
①直接求出、，可計算出離心率；
②構造、的齊次方程，求出離心率；
③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解.
5．或
【分析】易得，再根據雙曲線的定義結合，求出，求出，再在中，利用余弦定理構造的齊次式，即可得解.
【詳解】因為均在第一象限，
所以垂足在漸近線上，，
則，
由題意可得，所以，
又因，所以，即，
所以，所以，
故，
在中，，則，
在中，由余弦定理得，
，
即，
整理得，
即，解得或，
當時，離心率，
當時，離心率，
所以雙曲線C的離心率是或.
故答案為：或.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據離心率的定義求解離心率的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
6．
【分析】聯立雙曲線和圓的方程，化簡可得到，然后根據雙曲線的定義，結合余弦定理，計算可得結果.
【詳解】由題得，
所以，
所以，
所以，又點P在E上，
所以①．
由雙曲線定義可知②，
聯立①②得．在中，由余弦定理得
，
即，所以C的離心率．
故答案為：
7．
【分析】
根據雙曲線的定義、余弦定理列方程，求得，進而求得雙曲線的離心率.
【詳解】
設，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，
所以，，由雙曲線的定義知，，，
所以，，又，
所以，即，
在中，由余弦定理知，，
所以，
即，整理得，，
即，所以離心率．
故答案為：
【點睛】求解雙曲線離心率有關的問題，可以利用直接法來進行求解，也即通過已知條件求得和，從而求得雙曲線的離心率.也可以利用構造齊次式的方法來進行求解，也即通過已知條件求得或的等量關系式，由此來求得離心率.
8．
【分析】由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結合余弦定理表示出與、有關齊次式即可得離心率.
【詳解】由雙曲線的對稱性可得，
有四邊形為平行四邊形，令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，
，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故答案為：.
9．##
【分析】先利用條件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式計算得到，進而根據求出離心率.
【詳解】設雙曲線右焦點為，
則，
則，
所以，又，
所以，
整理得，
所以.
故答案為：.

10．
【分析】
設,由雙曲線的定義得，結合題中條件可得，，由勾股定理可得，再利用勾股定理即可求得離心率.
【詳解】
，則，
又，所以，
則，
，
又，所以三角形為直角三角形，
則,
即，
化為，
解得或者（舍），
此時，
在直角三角形中，,
即，所以，
所以.
故答案為：.

答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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