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專題3 復(fù)數(shù)與數(shù)列的碰撞
【湖北省黃岡市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期9月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】
若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【方法名稱】直接法+周期性
【思路分析】分析：i的方冪是周期為4，故只需計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的值，再算清楚有幾個(gè)周期即可.
1-i+i^2-i^3=0，原式共2024項(xiàng)，共506個(gè)周期，故原式化簡為z=0.所以|z|=0
【舉一反三】
1．已知是方程的虛數(shù)根，則（ ）
A．0 B． C． D．
2．若，其中是虛數(shù)單位，則 ．
【方法名稱】公式法+等比數(shù)列的求和公式
【思路分析】注意到各項(xiàng)為公比為-i的等比數(shù)列，直接利用公式求和.
，∴
【舉一反三】
3．已知復(fù)數(shù)，則的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
【方法名稱】等比數(shù)列求和＋復(fù)數(shù)定義運(yùn)算
【思路分析】首先兩項(xiàng)合并后，提取公因式，然后構(gòu)造等比數(shù)列求和.
原式
∴，則
【方法名稱】錯(cuò)位相減法
【思路分析】通過等式兩邊同時(shí)乘以i，借助錯(cuò)位相見法求和.
∵，∴
兩式相減：，而，∴，∴
【舉一反三】
4．復(fù)數(shù)的虛部為( ).
A． B． C．1011 D．2022
【方法名稱】分組求和法
【思路分析】利用，分組求和（即），共2024項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)1012奇數(shù)項(xiàng)1012
故
【舉一反三】
5．若，則 .
6．已知復(fù)數(shù)數(shù)列滿足，則 .
7．
8．若為虛數(shù)單位，則計(jì)算 ．
9．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則|z|＝ ．
10． .（為虛數(shù)單位）
11．已知復(fù)數(shù)，，其中是實(shí)數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若是純虛數(shù)，求.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】由題設(shè)有且，將目標(biāo)式化簡為，即可得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，且，
而，
所以原式等于.
故選：C
2．
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡，進(jìn)而得到，利用周期性求目標(biāo)式的值.
【詳解】由，則，
所以，
則.
故答案為：
3．A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)i的性質(zhì)計(jì)算可得，由此利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算，即可求得答案.
【詳解】由于復(fù)數(shù)，故，
，
故，
故選：A.
4．A
【分析】利用錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012，
故選：A
5．
【分析】采用賦值法，分別令和，得到兩等式，相加減可得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相關(guān)的和式，再相加，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】令，則，
令，則，
兩式相加可得，
兩式相減得，
將以上兩式相加即得：
，
故答案為：
6．
【分析】首先求出，則，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
所以
所以，
所以
.
故答案為：
7．
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可得，再根據(jù)的性質(zhì)可求前者.
【詳解】因?yàn)椋剩?br/>而，，
，
故，
故，
故答案為：
8．
【分析】設(shè)，兩邊乘以相減，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，計(jì)算可得所求和．
【詳解】設(shè)，
，
上面兩式相減可得，
，
則．
故答案為：．
9．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和周期性可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)的周期性（周期為），
即，，，，
所以有,
可知,.
故答案為：
10．
【分析】
利用的周期性及復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】
由題意，的周期為4，
所以原式.
故答案為：.
11．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)給定的條件，利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求出a的值.
（2）利用復(fù)數(shù)除法結(jié)合純虛數(shù)的定義，求出，再利用乘方的周期性求解作答.
【詳解】（1）復(fù)數(shù)，則，
又a是實(shí)數(shù)，因此，解得，
所以實(shí)數(shù)a的值是.
（2）復(fù)數(shù)，，，則，
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，于是，解得，因此，
又，
則，即有，
所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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