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專題4 概率中的不等式的最值問題
【2023年秋季黃岡市部分普通高中高三年級階段性教學質量監(jiān)測】甲袋中有個蘋果，個橘子，乙袋中有3個蘋果，2個橘子，現從甲袋中隨機取一個水果放在乙袋，再從乙袋中隨機取一個水果，若從乙袋中取出的水果是蘋果的概率為，則的最小值為________．
由全概率公式得出，再由對勾函數的單調性得出最值.
∴，在
時為8，時為7，∴
（2021·全國·校聯考模擬預測）
1．中國是發(fā)現和研究勾股定理最古老的國家之一，公元前多年的《周髀算經》就記載有勾股定理的一個特例，在國外古希臘的著名數學家畢達哥拉斯也發(fā)現了這個定理，歷史上有很多勾股定理愛好者通過構造圖形證明了勾股定理，下圖就是其中一個，該圖中四邊形滿足，，，在四邊形內任取一點，則該點落在內的概率的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2022下·浙江溫州·高二校聯考期中）
2．一個籃球運動員投藍一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a、b、），已知他投籃一次得分的均值為1，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
由古典概型得出乙袋中取出的水果是蘋果概率，即，最后由對勾函數的單調性得出最值.
若從乙袋中取出的是蘋果，包含從甲袋中取出一個蘋果放入乙袋，
再從乙袋取出一個蘋果和從甲袋中取出一個橘子放入乙袋，再從乙袋取出一個蘋果兩類，
共有.所以從乙袋中取出的水果是蘋果概率，∴
令
根據對勾函數性質，在單調遞減，在單調遞增
時為，當時為，∴
（2011·遼寧·統(tǒng)考二模）
3．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，，且無其它得分情況，已知他投籃一次得分的數學期望為1，則ab的最大值為 （ ）
A． B． C． D．
（2022上·湖北·高三校聯考開學考試）
4．甲乙兩人進行圍棋比賽，共比賽局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局數多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為，則（ ）
A． B．
C． D．的最小值為
由全概率公式得出的關系，令，得出，進而由判別式法得出最值.
，
令
∴，∴的最小值為7
（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）
5．若A，B互為對立事件，，，且，，則的最小值是 .
（2019上·河北邢臺·高二統(tǒng)考期中）
6．已知甲袋中有個黑球和個白球，現隨機地從甲袋中取出2個球，事件為“取出的2個球至少有1個白球”，事件為”取出的2個球都是黑球”，記事件的概率為，事件的概率為.當取得最小值時，的最小值是 .
由全概率公式得出的關系，設，則，設，判斷其單調性，進而得出最值.
由得，，
設，則，
設，∵，
當時，即，當時，即，
∴，∴為中最小值，，
∴.
（2021下·全國·高三校聯考階段練習）
7．已知甲、乙兩人的投籃命中率都為，丙的投籃命中率為，如果他們三人每人投籃一次，則至少一人命中的概率的最小值為 ．
（2023下·陜西延安·高二陜西延安中學?？计谥校?br/>8．乒乓球比賽，三局二勝制．任一局甲勝的概率是，甲贏得比賽的概率是q，則的最大值為 ．
（2018下·江西撫州·高二臨川一中校考期中）
9．若為對立事件，其概率分別為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2020·全國·高三專題練習）
10．若A，B互為對立事件，其概率分別為P（A）＝，P（B）＝，且x＞0，y＞0，則x＋y的最小值為（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
（2022·河南開封·統(tǒng)考三模）
11．如圖，E是正方形ABCD內一動點，且滿足，在正方形ABCD內隨機投一個點，則該點落在圖中陰影部分的概率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2019·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）
12．已知球的半徑為4，矩形的頂點都在球的球面上，球心到平面的距離為2，設球內的一個質點落在四棱錐內的概率為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2018·陜西西安·校聯考一模）
13．若為對立事件，其概率分別為，則的最小值為（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
（2019下·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）
14．某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，則n的最小值為（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】計算出以及梯形的面積，利用基本不等式可以及幾何概型的概率公式可求得所求概率的最小值.
【詳解】四邊形的面積，
是腰為的等腰直角三角形，其面積為，
因為，所以，，當且僅當時取等號，
所以在四邊形內任取一點，則該點落在內的概率為，
故選：B.
2．A
【分析】依題意可求得的值，進而利用把轉化為展開后利用基本不等式求得答案．
【詳解】由題意得， ,
故
,當且僅當 時，取得等號，
即的最小值為，
故選：．
3．B
【分析】根據期望公式得出的關系，再由基本不等式求得的最大值．
【詳解】由期望公式得，，
∴，當且僅當，即時取等號，
∴，即的最大值為．
故選：B．
【點睛】本題考查隨機變量的分布列與數學期望，考查基本不等式求最值．解題關鍵是掌握期望公式，從而得出滿足的關系式．
4．ACD
【分析】要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，進而表達出，結合組合數的公式求解可得，再逐個選項判斷即可.
【詳解】由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，故，而，且，
，故C正確；
A：，正確；
B：，錯誤；
D：因為，
又，故，故隨著的增大而增大.
故的最小值為，正確.
故選：ACD
5．8
【分析】根據對立事件可得，利用“1”的靈活應用結合基本不等式運算求解.
【詳解】因為A，B互為對立事件，則，且，，
可得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值是8.
故答案為：8.
6．3.
【分析】根據題意可知，運用基本不等式求出與的值，進而得與的值，即可得出答案.
【詳解】解：由題意可得，則，
當且僅當時，取等號，此時的值最小.
故，，
從而的最小值是2，的最小值是1，
故的最小值是3.
故答案為：3.
【點睛】本題考查概率有關問題，結合基本不等式求最值問題，屬于中檔題.
7．
【分析】利用對立事件概率公式可求得，利用導數可求得的最小值.
【詳解】設事件為“三人每人投籃一次，至少一人命中”，則，
，
設，，
則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
即三人每人投籃一次，則至少一人命中的概率的最小值為.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：利用相互獨立事件求復雜事件概率的求解思路為：
（1）將待求復雜事件轉化為幾個彼此互斥簡單事件的和；
（2）將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事件的積事件；
（3）代入概率的積、和公式求解．
8．
【分析】采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進而求得的最大值.
【詳解】采用三局兩勝制，
則甲在下列兩種情況下獲勝： （甲凈勝二局），
（前二局甲一勝一負，第三局甲勝）．
因為 與 互斥，所以甲勝概率為
則
設
，注意到，
則函數在和 單調遞減，在上單調遞增，
故函數在處取得極大值，也是最大值，最大值為
即答案為：.
9．B
【分析】由題得，再利用基本不等式求x+y的最小值.
【詳解】∵A,B為對立事件，
∴
∴.
當且僅當時取到最小值.
故選：B.
10．C
【解析】根據對立事件概率和立方程，結合基本不等式求得的最小值.
【詳解】由題意知，則x＋y＝（x＋y）·＝5＋≥，當且僅當，即x＝2y時等號成立．
故選：C.
【點睛】本小題主要考查對立事件概率的性質，考查基本不等式求最值的方法，屬于基礎題.
11．B
【分析】設正方形的邊長為，，，根據幾何概型求出該點落在圖中陰影部分的概率，再根據三角函數知識求出最小值即可.
【詳解】設正方形的邊長為，，，
則，，所以的面積為
中邊上的高為，所以的面積為，
所以陰影部分的面積為，
所以該點落在圖中陰影部分的概率為
，
因為，所以，，
所以，
所以該點落在圖中陰影部分的概率的最小值是.
故選：B
12．C
【分析】根據勾股定理，可以得到矩形兩邊長的平方和，利用常用的不等式，可得出面積的最大值，結合幾何概型，可得是四棱錐的體積與球的體積之比，可得結果.
【詳解】設矩形的兩鄰邊為，，
由題易知，
當且僅當時，取等號.
即矩形面積的最大值為24.
由幾何概型知識知當四棱錐體積最大時，
取最大值，故.
故選：C
【點睛】本題主要考查幾何概型的應用，同時還考查了常用的不等式，注意取等號的條件，屬基礎題.
13．B
【分析】利用對立事件的概率公式建立關系，再利用“1”的妙用求解作答.
【詳解】因為對立事件，其概率分別為，則，即，
，當且僅當時取等號，
所以當時，取得最小值9.
故選：B
14．C
【分析】由正態(tài)分布解得每個零件合格的概率為，由對立事件得，
即，令，由的單調性可解得結果.
【詳解】服從正態(tài)分布，且，
，即每個零件合格的概率為
合格零件不少于2件的對立事件是合格零件個數為零個或一個．
合格零件個數為零個或一個的概率為，
由，得，
令，
，單調遞減，又，，
不等式的解集為的最小值為
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是：由對立事件得，即.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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