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專題 2 與復數(shù)的幾何意義有關的問題
【復數(shù)】在復平面上的單位圓上有三個點，其對應的復數(shù)為．若，則的面積______．
【方法名稱】解三角形法
【思路分析】由題意可知，根據(jù)復數(shù)的加減法法則的幾何意義及解三角形知識，即可求解．
法一：由題意知，，由復數(shù)的加減法法則的幾何意義及余弦定理，
得，即，，即，
情形1：當與反向，；
情形2：當線段在的內(nèi)部時，，
所以的面積為或
法二：依題知外接圓半徑為1，由正弦定理可得
，∴
又∵，∴，而或
情形1：當時（如圖1）
情形2：當時（如圖2）
綜上：或
【舉一反三】
1．復數(shù)與復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別為、，若為坐標原點，則鈍角的大小為 .
2．已知分別是復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點，為坐標原點，若，則是 三角形（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.
【方法名稱】向量法
【思路分析】根據(jù)向量與復數(shù)對應關系，結合向量模與數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)三角形面積公式求結果.
令 則
平方得
同理由得，
情形1：當在內(nèi)部時：
情形2：當在外部時：因為
所以
故答案為：或
【舉一反三】
3．在復平面內(nèi)，是原點，向量對應的復數(shù)是，向量對應的復數(shù)是.若，則 .
4．復數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復數(shù)為 .
方法名稱】解析法
【思路分析】復數(shù)坐標表示＋幾何意義＋分類討論
設，∵，
∴點是單位圓與以為圓心，半徑為的圓的交點；點是單位圓與以為圓心，半徑為1的圓的交點
解得；解得
由對稱性知，構成的三角形面積有兩種結果．
情形1：當，，時，
情形2：當，，時，關于對稱，故直線過原點，
∴
【舉一反三】
5．復平面上有A、B、C三點，點對應的復數(shù)為，對應的復數(shù)為，對應的復數(shù)為，則點的坐標為 ．
6．復數(shù)與復數(shù)在復平面上對應點分別是A，B，則 ．
【方法名稱】三角表示法
【思路分析】復數(shù)坐標表示＋幾何意義＋分類討論
設，
∴，∴
則或，或
當，時，如圖，
此時
當，時，，∴
∴
【舉一反三】
7．把復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉，所得到的向量對應的復數(shù)是 .
8．若（為虛數(shù)單位），則是的 條件．
9．已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是 ．
10．已知復數(shù)，滿足，，，則在復平面所對應的點組成的圖形的面積為 ．
11．若復數(shù)z滿足|z－i|＝3，則復數(shù)z對應的點Z的軌跡所圍成的圖形的面積為 .
12．在復平面內(nèi)，O為坐標原點，向量所對應的復數(shù)為，向量所對應的復數(shù)為，點C所對應的復數(shù)為，點C與點D關于虛軸對稱，若圓M經(jīng)過A，B，C，D四點，則圓M的半徑為 ．
13．若是純虛數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則正整數(shù)的最小值為 .
14．若，則復數(shù) .
15．若，則在復平面對應的點的軌跡是 （填軌跡圖形）
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】
先得到、的坐標，則可求出，再由余弦定理可得，進而可求
【詳解】依題意，，，，
則，，，
在中，由余弦定理得，
又，所以.
故答案為：
2．直角
【解析】由題可知,則以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長度相等,即可求解
【詳解】因為,
所以,
故以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長度相等,即該平行四邊形為矩形,
所以是直角三角形
故答案為:直角
【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義的應用,考查數(shù)形結合思想
3．
【分析】求出兩向量的坐標，然后由，可得，可求出的值.
【詳解】因為向量對應的復數(shù)是，向量對應的復數(shù)是，
所以，，
因為，所以，得，
故答案為：
4．
【分析】
由復數(shù)與分別表示向量與，可得，則，向量的復數(shù)可求.
【詳解】復數(shù)與分別表示向量與
，
的復數(shù)為
故答案為：
5．
【分析】根據(jù)即，求得點對應的復數(shù)，進而即得.
【詳解】因為對應的復數(shù)是，對應的復數(shù)為，又，
所以對應的復數(shù)為，又，
所以點對應的復數(shù)為，
所以點的坐標為．
故答案為：．
6．1
【分析】
根據(jù)復數(shù)運算法則可得兩點的坐標，再根據(jù)兩角和的正切公式即可算出.
【詳解】根據(jù)復數(shù)與對應的點的坐標為，如下圖所示：
易知；
則.
故答案為：1
7．
【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)三角形式乘法的幾何意義，即可求解．
【詳解】復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉，
所得到的向量對應的復數(shù)是
故答案為：.
8．充分不必要
【分析】根據(jù)充要條件的知識及復數(shù)的運算法則即可得解.
【詳解】當時，
，
所以；
當取，
此時，且，，
所以推不出，
綜上：是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
9．8
【分析】表示以為圓心，3為半徑的圓，進而根據(jù)復數(shù)減法的幾何意義求解即可.
【詳解】解：因為且，
所以，根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，表示以為圓心，3為半徑的圓，
所以，表示圓上的點和點的距離，
因為圓心到點的距離為，
，
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義以及復數(shù)加減法的幾何意義進行求解.
【詳解】，是以復平面內(nèi)點為圓心，以為半徑的圓，
， ，
，即，
復數(shù)以復平面內(nèi)點為圓心，半徑為1和的兩圓構成的圓弧，
則在復平面所對應的點組成的圖形的面積為：
故答案為：.
11．9π
【分析】直接判斷出點Z的軌跡是以點(0，1)為圓心，以3為半徑的圓，即可求出.
【詳解】由條件知|z－i|＝3，所以點Z的軌跡是以點(0，1)為圓心，以3為半徑的圓，故其面積為S＝9π.
故答案為：9π
12．
【分析】根據(jù)題意依次求出點A，B，C，D的坐標，進而根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可求出結果.
【詳解】因為向量所對應的復數(shù)為，所以，
又向量所對應的復數(shù)為，所以，
因為點C所對應的復數(shù)為，所以,
又因為點C與點D關于虛軸對稱，所以，
設所對應的復數(shù)為，
則，故點A，B，C，D四點在以為圓心，為半徑的圓上，即圓M，故圓M的半徑為.
故答案為：.
13．
【分析】
求得，根據(jù)復數(shù)的概念可得出的表達式，即可求得正整數(shù)的最小值.
【詳解】因為
因為為純虛數(shù)，則，可得，
可得，又因為，當時，正整數(shù)取最小值.
故答案為：.
14．0
【解析】設，由已知可得復數(shù)對應的點為線段垂直平分線和線段垂直平分線的交點，聯(lián)立兩垂直平分線方程，求解即可.
【詳解】設，
，復數(shù)對應的點在線段的垂直平分線上，
其方程為，，
復數(shù)對應的點在線段的垂直平分線上，其方程為，
所以復數(shù)對應的點為，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查復數(shù)、復數(shù)減法和復數(shù)模的幾何意義，將代數(shù)問題幾何化，減少計算量，屬于基礎題.
15．一條過原點的直線
【分析】根據(jù)復數(shù)減法、模的幾何意義，判斷出的軌跡.
【詳解】表示與點的距離，表示與點的距離，
所以表示的幾何意義是：到點的距離和到點的距離相等，
所以的軌跡是線段的垂直平分線，也即一條過原點的直線.
故答案為：一條過原點的直線
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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