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專題7 復(fù)數(shù)運(yùn)算問題
【2024年2月數(shù)海一?！浚ǘ噙x）已知模長(zhǎng)均為1的復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
根據(jù)復(fù)數(shù)模和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷AB；由因式分解結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷CD.
對(duì)于A：，故正確；
對(duì)于B：，同理，
由，
所以，故B正確；
對(duì)于：由得，
，
所以錯(cuò)誤，且，即正確.
綜上，選.
1．設(shè)x，y，z，w是復(fù)數(shù)，滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
（2024·廣東佛山·二模）
2．已知復(fù)數(shù)，均不為0，則（ ）
A． B．
C． D．
將復(fù)數(shù)表示為三角形式，利用復(fù)數(shù)相等得出，進(jìn)而由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.
設(shè)，
則
，
于是.
平方相加，有，
又移項(xiàng)平方相加：
得，同理，即.
故中有一個(gè)為，另一個(gè)為，
即一個(gè)為，另一個(gè)為，
代入計(jì)算可得，故選
（浙江省寧波市效實(shí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）
3．下列說法中正確的是（ ）
A．若，，則 .
B．若，則.
C．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且，則.
D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為.
（21-22高三上·廣東東莞·期末）
4．已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
由韋達(dá)定理構(gòu)建方程，解方程結(jié)合歐拉公式逐一判斷即可.
設(shè)為復(fù)數(shù)，
則為方程兩根，
故，
不妨，
（注：歐拉公式：）
又，所以，
由于，故不為0，故
于是，得，下同前，，故選
（23-24高三上·湖北宜昌·期中）
5．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）
6．若、為復(fù)數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
（2024·山東淄博·一模）
7．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，，則
（21-22高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）
8．已知，下列關(guān)于說法正確的是（ ）
A．若，則和互為共軛復(fù)數(shù) B．若，則和中至少有一個(gè)為0
C．若，則 D．若，且，則
（21-22高一下·重慶沙坪壩·期中）
9．下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的運(yùn)算結(jié)論，正確的有（ ）
A． B．
C． D．
（20-21高一下·上海寶山·期末）
10．設(shè)，，復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，．若，，，則四邊形的面積為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABCD
【分析】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合已知關(guān)系，可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】
由
又，則，
所以，A正確；
由，
，B正確；
由，即，故，又，
則，即，
所以，同理得，C、D正確；
故選：ABCD
2．ABD
【分析】
設(shè)出、，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個(gè)計(jì)算即可得.
【詳解】
設(shè)，則
對(duì)A，由得所以，
，即，故A正確；
對(duì)B，由得
所以，
，即，故B正確；
對(duì)C，由，得，，
，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，
，即，故D正確.
故選：ABD.
3．CD
【分析】
對(duì)于A，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可判定；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算即可；對(duì)于C、D項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，虛數(shù)不能比大小，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由條件可設(shè)，
則，
即，
所以，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，在復(fù)平面中，，以A為圓心作單位圓，則有由題意設(shè)，則點(diǎn)B在A為圓心的單位圓上，連接OA交單位圓于C，顯然當(dāng)B、C重合時(shí)，，故D正確.

故選：CD
4．ABC
【分析】若 ，則， ，利用復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，可以判斷AB；利用復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算，可以判斷C；利用數(shù)形結(jié)合，可以判斷D.
【詳解】對(duì)于A：
若 ，則，故，
所以A正確；
對(duì)于B：
若，則，
所以B正確；
對(duì)于C：
設(shè) ，
則 ，故 ，
所以C正確；
對(duì)于D：
如下圖所示，若 ，，則，，故 ，
所以D錯(cuò)誤.
故選：ABC
5．AC
【分析】根據(jù)舉例說明即可判斷ABD；設(shè)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模和乘法運(yùn)算即可判斷C.
【詳解】A：若，則互為共軛復(fù)數(shù)，故，故A正確；
B：若，則，而，故B錯(cuò)誤；
C：設(shè)，
若，則，即，
又，
故，故C正確；
D：若，則，而，故D錯(cuò)誤．
故選：AC
6．BD
【分析】
利用特殊值法可判斷AC選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，，
所以，，，所以，，
所以，，，故，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，，
則，，
，，則，所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，不妨取，，則，，，
所以，，故，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則，所以，，
所以，，D對(duì).
故選：BD.
7．AD
【分析】利用復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的定義求解.
【詳解】A：設(shè)，
若，則，
所以，所以，
即，故A正確；
B：設(shè)，則
而，所以，故B錯(cuò)誤；
C：設(shè)，
則
而，故C錯(cuò)誤；
D：表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)M，
表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的點(diǎn)N，
所以表示M到N的距離，
所以，
，
所以，故D正確.
故選：AD
8．BD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解：由題意得：
對(duì)于選項(xiàng)A：令，，均為實(shí)數(shù)，若，，但是和不是共軛復(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，
則有，可知
于是或
則或
故和中至少有一個(gè)為0，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：令，，，，，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：令，
則
又
，
，則或（舍去）
故，
故D正確.
故選：BD
9．ACD
【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)直接計(jì)算可得.
【詳解】記，則
則，A正確；
因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br/>所以
又，故C正確；
因?yàn)?br/>所以，D正確.
故選：ACD
10．
【分析】根據(jù)題意，將復(fù)數(shù)改寫成三角形式，結(jié)合已知條件分別算出、、、和，即可求解.
【詳解】由，得，由，得，
因，所以，即，且，
又因，所以，即，且,
因此.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
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