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專題6 平面向量的數量積的范圍
【金山區一?！恳阎矫嫦蛄繚M足，，且，則的取值范圍是______．
由利用平面向量的坐標表示及數量積的運算判定向量終點軌跡，建立雙曲線的模型，然后轉化為直線與雙曲線的位置關系，利用雙曲線的性質結合點到直線的距離計算即可.
解：由，設，
則，
相當于點到和的距離之差為2，且，
則的軌跡為以和為焦點，的雙曲線右支，方程為，
又，結合對稱性不妨設向量在直線（恰好為雙曲線的漸近線）上，
由，知雙曲線上存在點到直線的距離為，考慮臨界狀態，
則有，解得，
結合圖像知，時，點都存在，所以，
即的取值范圍是．
1．已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為 ．
2．點在直線上，若，，則的最小值為 ．
由利用平面向量的坐標表示及數量積的運算判定向量終點軌跡，建立雙曲線的模型，然后轉化為直線與雙曲線的位置關系，利用雙曲線的性質結合點到直線的距離計算即可.
解：由，設，
則，
則，
即點到的距離比到點的距離大2，
根據雙曲線的定義可知的軌跡為雙曲線的一支，以2為長軸，4為焦距，則，
又，結合對稱性不妨設向量在直線（恰好為雙曲線的漸近線）上，
由，知雙曲線上存在點到直線的距離為，考慮臨界狀態，
則有，解得，
結合圖像知，時，點都存在，所以，
即的取值范圍是．
（23-24高二上·湖北武漢·期中）
3．已知點，，在圓上運動，且，的中點為，若點的坐標為，則的最大值為 .
（2022·安徽滁州·模擬預測）
4．已知，，則的最小值是 .
5．已知，的最小值為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．均為單位向量，且它們的夾角為45°，設，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是 ．
8．已知平面向量，滿足， ，則的最小值是 ．
9．已知向量，，，若且，則的最小值是 ．
10．已知平面向量 ，滿足，若，那么的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據題中條件，可以設，，的坐標，得到關于和的方程，運用不等式的相關解法，即可得到結果.
【詳解】解：因為，設，
因為，，
所以設，
則，
所以，
解得，即，
所以，
所以，
所以的最小值為.
故答案為：5.
2．
【分析】由平面向量坐標的減法運算和向量的模公式得出，可看作點，與點的距離，結合條件將最小值轉化為點到直線的距離．
【詳解】解：由題可知，，，
得，
則，
所以可看作點與點的距離，
而點，在直線上，
所以，的最小值為：
點到直線的距離為：，
即的最小值為：.
故答案為：.
【點睛】本題考查平面向量坐標運算和向量的模的最值，以及兩點間的距離公式和點到直線的距離公式的應用，考查轉化思想和計算能力.
3．15
【分析】根據向量的加法結合模的意義，得其幾何意義為，圓上的點到點的距離即可求解.
【詳解】設，因為，的中點為，
則，則，
則，
其幾何意義為，圓上的點到點的距離，
則其最大值為.
故答案為：15
4．
【分析】設，根據條件得出點滿足的條件，然后由向量的模長公式求的最小值.
【詳解】設，
則
由，則
即點在以為焦點，長軸為的橢圓上
所以滿足
則，且
故當時，有最小值
故答案為：
5．C
【分析】如圖所示：在直角坐標系中，取點，，，得到的軌跡方程為，故，得到答案.
【詳解】如圖所示：在直角坐標系中，取點，，，
則，，滿足，設，
過點作垂直于所在的直線與，則的最小值為，
即，根據拋物線的定義知的軌跡方程為：.
取，故，
即，
當垂直于準線時等號成立.
故選：.
【點睛】本題考查了向量和拋物線的綜合應用，根據拋物線的定義得到的軌跡方程是解題的關鍵.
6．C
【解析】建立直角坐標系，求得向量，的終點軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半徑得到最小值得解
【詳解】設，
以的方向為正方向，所在直線為軸，垂直于所在直線為 軸，建立平面直角坐標系
均為單位向量，且它們的夾角為45°，則 ，
，設
滿足
，設
,故 ，
則，則 的最小值為圓上的點到直線 距離的最小值
其最小值為
故選:C.
【點睛】向量模長最值問題轉化為點到直線距離是解題關鍵，屬于中檔題.
7．##
【分析】設，，設，根據結合數量積的運算求得C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,利用的幾何意義可求得答案.
【詳解】由題意不妨設O為坐標原點，令，，設，
由于,
∴，∴，
即，故C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,
故，
故答案為：
8．
【分析】根據，得到，進而得到的夾角，不妨設，得到，設，由，得到點C是以為圓心，以1為半徑的圓求解.
【詳解】解：因為，
所以，
則，
設，
所以，
因為，
所以，
設，則，
設，
則，
因為，
所以，
即，
所以點C是以為圓心，以1為半徑的圓，
所以的最小值是原點到圓心的距離減半徑，
即，
故答案為：
9．
【分析】根據條件可設，利用向量的坐標運算求出點C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，問題可轉化為圓上動點到定點的距離問題求解.
【詳解】，
，
，
故可設
則，
，
,
,
,
即點C的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
，
，
即求圓M上動點到點的距離的平方的最小值減1即可，
設圓心M到的距離為，
則，
則的最小值為
，
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：利用向量的坐標運算，求出滿足條件的動點C的軌跡方程，所求的坐標表示，利用圓的幾何性質是解題的關鍵，屬于難題.
10．##
【分析】設，則即為點到點（圓上的動點）的距離與到點的距離，利用對稱可求其最小值.
【詳解】解析：建立直角坐標系.
設，
則
.
問題轉化為點到點的距離與到點的距離之和最小，
其中點在直線上運動，
點在圓上運動，
所以.
點O關于直線對稱的點為，所以
，
所以，等號可以取到，所以最小值是.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：向量的模的最值問題，可建立平面直角坐標系，將問題轉化為動點到幾何對象的距離和最值的問題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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