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專題12 巧解最值 坐標(biāo)幾何
【2024揚(yáng)州高三期末第8題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：，若正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，則OC的最大值為（ ）
A． B． C． D．5
利用托勒密定理，結(jié)合長度關(guān)系列出不等式直接求解.
由已知，．設(shè)．
在四邊形OACB中，應(yīng)用托勒密定理得，
即，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D，A，C，B共圓，
即時(shí)，等號(hào)成立．
（2018·全國·高三競(jìng)賽）
1．半徑為的內(nèi)含于半徑為的，已知存在一個(gè)四邊形外切于且內(nèi)接于．則的最小值是．
A． B． C． D．
（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）
2．在圓內(nèi)接四邊形中，，則四邊形的面積是 ．
（2018·全國·高三競(jìng)賽）
3．設(shè)內(nèi)接于單位圓，且圓心在的內(nèi)部．若在邊、、上的射影分別為點(diǎn)、、，求的最大值．
根據(jù)圖形關(guān)系得到全等三角形，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)得到線段取最值的情況.
如圖，不妨假設(shè)固定，在圓上移動(dòng)，
點(diǎn)繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接OA，OE，AE，CE，BE，則，
易知，所以，所以，
當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使O，E，C三點(diǎn)共線時(shí)取到最大值，即，則的最大值為．
利用幾何變換的方法得到點(diǎn)的軌跡進(jìn)而得到線段最值.
設(shè)圓O與y軸正半軸交于點(diǎn)P，不妨設(shè)，連結(jié)PA，PC，AC．
將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，并將邊長擴(kuò)大為原來的倍，得到，
則與P重合，與C重合．
由中，可得，
即點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上．
∴．
利用全等三角形，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算得到點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圓的知識(shí)得到所求線段長度最值.
設(shè)，不妨設(shè)
如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作BE的垂線，交BE于點(diǎn)F．
由，可得點(diǎn)，則
點(diǎn)C在圓上．．
（2023上·全國·高二專題練習(xí)）
4．已知圓心為的圓經(jīng)過和，且圓心在直線上
(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．
（2024上·吉林·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）
5．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)滿足,則的最大值為 .
利用全等三角形，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算得到線段長度表達(dá)式，結(jié)合三角換元與三角函數(shù)知識(shí)得到線段長度最值.
設(shè)，不妨設(shè)
如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作BE的垂線，交BE于點(diǎn)F．
由，可得點(diǎn)，又，，
設(shè)，
利用圓的幾何性質(zhì)，得到各線段長度，利用三角換元與三角恒等變換得到最值.
圓的圓心（0，0），半徑為2，如圖，
令，則，令，
則
在三角形中根據(jù)余弦定理得到線段長度表達(dá)式，結(jié)合三角換元與三角恒等變換知識(shí)得到最值.
在中，
，
令
．
（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）
6．正三角形的邊長為3，點(diǎn)在邊上，且，三角形的外接圓的一條弦過點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長度最短時(shí)，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
利用直角三角形得到變量的關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解最值.
設(shè)到直線AB的距離為，則，
．
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
（2022上·福建龍巖·高三福建省連城縣第一中學(xué)校考期末）
7．在中，角，角A的平分線AD與BC邊相交于點(diǎn)D，則的最小值為 .
根據(jù)題意得到線段線性關(guān)系，通過平方將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，結(jié)合三角換元與三角恒等變換知識(shí)計(jì)算出線段長度最值.
作于，則為AB的中點(diǎn)．
設(shè)，則，
．
令，
則
．
，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
的最大值為
（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）
8．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，，，則線段CD長度的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
（2023下·吉林長春·高二長春十一高校考期末）
9．已知，，的夾角為.如圖所示，若，且D為BC的中點(diǎn)，則的長度為（ ）

A． B． C．7 D．8
（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）
10．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，點(diǎn)D在邊BC上，且，則線段AD長度的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）
11．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若為的中點(diǎn)，且，求的最小值.
（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）
12．已知為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線（點(diǎn)為切點(diǎn)），為圓上一動(dòng)點(diǎn)． 則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）
13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則正數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）
14．如圖所示，面積為的扇形OMN中，M，N分別在x，y軸上，點(diǎn)P在弧MN上（點(diǎn)P與點(diǎn)M，N不重合），分別在點(diǎn)P，N作扇形OMN所在圓的切線交于點(diǎn)Q，其中與x軸交于點(diǎn)R，則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．2
（2023上·湖北襄陽·高三襄陽五中校考階段練習(xí)）
15．已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考階段練習(xí)）
16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
（2023下·河南安陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
17．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．若D是BC邊的中點(diǎn)，且，則面積的最大值為（ ）
A．16 B．
C． D．
（2023·新疆·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
18．“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測(cè)量 畫圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女媧手執(zhí)規(guī)矩的記載（如圖（1））.今有一塊圓形木板，以“矩”量之，如圖（2）.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）
19．正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)，，，則的最小值為（ ）
A．24 B．25 C．48 D．50
（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預(yù)測(cè)）
20．已知正三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn).若內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M滿足.則下列說法中正確的有（ ）
A．線段BM長度的最大為 B．的最大值為
C．面積的最小值為 D．的最小值為
（2023上·河北唐山·高三開灤第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
21．已知點(diǎn)在半徑為的球面上,過點(diǎn)作球的兩兩垂直的三條弦若則的最大值為 ．
（2022上·北京海淀·高二清華附中校考期中）
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定點(diǎn)，點(diǎn)B為曲線上的動(dòng)點(diǎn)．則線段AB長度的最小值是 ；若第一象限存在點(diǎn)C，使得為等腰直角三角形，且，則線段OC的最大值為 ．
（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）
23．設(shè)是平面內(nèi)的兩條互相垂直的直線，線段AB，CD的長度分別為2，10，點(diǎn)A，C在a上，點(diǎn)B，D在b上，若M是AB的中點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
24．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值16時(shí)，面積的最大值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【詳解】記四邊形的面積為，半周長為，，的面積分別為.
又四邊形有內(nèi)切圓與外接圓，則.
故，
且，.
再由，類似有.
故.
根據(jù)托勒密定理得.
則. ①
又.
由式①、②得，所以， .
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.此時(shí)，四邊形為正方形. 選D.
2．
【分析】利用托勒密定理可求，從而可求四邊形的面積.
【詳解】如圖，連結(jié)．
根據(jù)題意，有且，
則由托勒密定理可得，
即，
于是，進(jìn)而．
故答案為：
3．
【詳解】如圖，因?yàn)椋裕⒎謩e是、的中點(diǎn)，，且、、、四點(diǎn)共圓．
由托勒密定理有，即．
同理，，．
注意到（的外接圓半徑），以上三式相加得
．
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則．
以上兩式相加得．
從而，．等號(hào)在為正三角形時(shí)成立．
故的最大值為．
4．(1)
(2)
【分析】（1）由和的坐標(biāo)，求出直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為，求出線段垂直平分線的斜率，再由和的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率，得出線段垂直平分線的方程，與直線聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解集得到圓心的坐標(biāo)，再由和的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的值，即為圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
（2）設(shè)出和的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式把的坐標(biāo)用的坐標(biāo)表示，然后代入圓即可得到答案．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕韵业拇怪逼椒志€的斜率為
又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以弦的垂直平分線的方程為，即，
與直線聯(lián)立解得：，，
所以圓心坐標(biāo)為所以圓的半徑，
則圓C的方程為：；
（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為，，為中點(diǎn)，
所以，則，①；
因?yàn)槎它c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，
把①代入得：，
所以線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是.
5．
【分析】通過建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)距離公式可得出點(diǎn)的軌跡方程為圓,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得的最大值,再代入運(yùn)算即可.
【詳解】設(shè),,由得即,
則
由圓的幾何性質(zhì)可知
所以即最大值為.
故答案為:.
6．D
【分析】
設(shè)為外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得，再由極化恒等式推出，于是問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)與余弦定理，即可得解．
【詳解】
解：設(shè)為外接圓的圓心，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)弦的長度最短時(shí)，，
在中，由正弦定理知，外接圓半徑，即，
所以，
因?yàn)椋矗?br/>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，
所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
綜上，，
所以．

故選：D．
7．16
【分析】根據(jù)三角形的面積公式列方程，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】依題意，，設(shè)，
依題意是角A的角平分線，，

由三角形的面積公式得，
整理得，則，
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角形面積得到，從而得解.
8．D
【分析】本題通過正弦定理得到，再通過余弦定理得到，對(duì)向量式整理得，通過平方，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系即，利用基本不等式即可求解.
【詳解】解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，∵，∴．
由，，
兩邊平方，得
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，
∴線段CD長度的最小值為．
故選：D．
9．A
【分析】由為的中線，則，再根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求解.
【詳解】在中，D為BC的中點(diǎn)，所以，
又，
所以，
所以，
即的長度為.
故選：A.
10．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求出，再借助平面向量運(yùn)算及均值不等式求解作答.
【詳解】在中，由及正弦定理得：，
則，整理得，
而，于是，兩邊平方得：，
而，，解得，因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，且，
有，因此，
從而
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，線段AD的長度取得最小值.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三角形中線段長的最值問題，主要方法有兩種，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及利用兩角和的正弦公式化簡，可得的值，即可求得答案.
（2）由題意可得，平方后結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算以及基本不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）由正弦定理及，
得，
又，
所以，
又，∴，∴，即，
又，∴.
（2）由為的中點(diǎn)，得，而，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
12．B
【分析】連接，可得，得到，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，求得，，得到最小時(shí)，同時(shí)取得最小值，即可求解.
【詳解】如圖所示，連接，可得，且垂足為
要使得取得最小值，
即，
又由，
，
顯然，當(dāng)最小時(shí)，同時(shí)取得最小值，
所以，當(dāng)時(shí)，且，
所以.
故選：B.
13．D
【分析】設(shè)，根據(jù)條件得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成與圓有交點(diǎn)，再利用兩圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則由，得到，
整理得到，又點(diǎn)在圓上，所以與圓有交點(diǎn)，
又的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
所以，解得，
故選：D.
14．B
【分析】利用扇形面積公式求出扇形所在圓半徑，設(shè)，用的函數(shù)表示，再利用三角變換，結(jié)合基本不等式求解即得.
【詳解】由扇形的面積為，得，解得，設(shè)，
在中，，連接OQ，則，
在中，，，
令，則，且，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，
所以時(shí)，取得最小值．
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及圖形上的點(diǎn)變化引起的線段長度、圖形面積等問題，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與某角的變化相關(guān)，可以設(shè)此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.
15．A
【分析】利用數(shù)形結(jié)合方法與轉(zhuǎn)換法，從而可求解.
【詳解】因?yàn)椋栽O(shè)，的方程為：，具體如下圖所示：
連接，因?yàn)椋本€與相切，所以，，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，，則；
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在軸同側(cè)時(shí)可得：
，
又因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)有最大值，
所以：的最大值為：；
當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在軸異側(cè)時(shí)可得：
，
又因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)有最大值，
所以：的最大值為：.
綜上可知：則的最大值為：.
故選：A.
16．A
【分析】
先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：A.
17．B
【分析】首先根據(jù)題意利用余弦定理得到，根據(jù)是邊BC的中點(diǎn)得到，從而得到，再利用基本不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br/>所以，，
因?yàn)椋?
因?yàn)槭沁匓C的中點(diǎn)，所以，.
因?yàn)椋裕?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以，即面積最大為．
故選：B
18．D
【分析】
作出圖形，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得這個(gè)矩形周長的最大值.
【詳解】由題圖（2）得，圓形木板的直徑為.
設(shè)截得的四邊形木板為，設(shè)，，，，，，如下圖所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因此，這塊四邊形木板周長的最大值為.
故選：D.
19．D
【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式得到，結(jié)合基本不等式，即可求解結(jié)果.
【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長為，
所以，
同理可得,,
又因?yàn)橐訟為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M，N，,
所以，
由，則
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
此時(shí)，
所以
故的最小值為.
故選：D
20．BD
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)圓上得點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的最值問題即可判斷AC；由即可判斷B；取最小值時(shí)，取最大值，也即與圓相切時(shí)，即可判斷D.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
由，得，
化簡得，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以圓心為，半徑的圓不含原點(diǎn)，
A項(xiàng)：，所以，故A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)：
，故B正確；
C項(xiàng)：直線，即，
圓心到直線的距離為，
則點(diǎn)到直線的距離的最小值為，
所以面積的最小值為，故C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)：由題意得為銳角，
則取最小值時(shí)，取最大值，
也即與圓相切時(shí)，
此時(shí)，
故，故D正確.
故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，是解決本題的關(guān)鍵.
21．
【分析】根據(jù)條件得到設(shè)結(jié)合三角函數(shù)輔助角公式求出的最大值即可.
【詳解】為直徑為的球的三條兩兩垂直的弦,且
設(shè)
其中
的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬中檔題.
22． 1 ##
【分析】設(shè)，，，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式三角函數(shù)的性質(zhì)和兩直線垂直的條件，可得，的方程，解方程可得的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，運(yùn)用正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值.
【詳解】曲線是以為圓心，1為半徑的上半圓，
可設(shè)，，
則(當(dāng)時(shí)取得最小值)；
設(shè)，
由等腰直角三角形，可得，即有
即，①
，即有，
即為，②
由①②解得，，
或，（舍去）．
則，
當(dāng)，即，取得最大值．
故答案為：1；.
23．
【分析】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，由條件確定點(diǎn)的軌跡，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求的取值范圍.
【詳解】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，
因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，，
所以，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，，
所以，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
因?yàn)椋?br/>所以，
又，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.

24．32
【分析】由雙曲線的定義結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊的相關(guān)性質(zhì)得的最小值為，，結(jié)合基本不等式即可求得最值.
【詳解】題意得，故，如圖所示，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)M，，N三點(diǎn)共線時(shí)兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，
所以的最小值為，所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
而到漸近線的距離，
又，故，
所以，
即面積的最大值為32.
故答案為：32.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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