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專題5 投影向量的求解
（廣西南寧市2024屆高中畢業(yè)班摸底測試）已知的外心為，且，向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
利用數量積的公式變形得到投影向量的計算公式，代入公式進行求解.
∵的外心為M且，∴，
又，∴為正三角形，
以為平同基底，∴，
在方向上的投影向量為
.
1．已知空間向量滿足，則在上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，且與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
利用投影向量的幾何定義，結合的幾何性質求出在方向上的投影向量.
∵，∴M為AC的中點，
又∵M為的外心，∴是以B為直角的，
又∵，∴如圖所示，
∴在方向上的投影向量為，
故選：A.
3．己知的外接圓圓心為，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4．已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為 .
通過建立平面直角坐標系，將投影向量的計算轉化為相應的坐標運算，求出在方向上的投影向量.
∵，∴M為AC的中點，
又M為的外心，∴且，
又，∴，∴，
如圖：以B為坐標原點，BC、BA分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則，
∴，
∴在方向上的投影向量為
.
故選：A
5．已知向量，，則在方向上的投影向量是 .
6．向量，，則在上的投影向量為 ．
7．已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
8．已知外接圓的圓心為，且，，是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
9．已知、為單位向量且夾角為，設，，則在上的投影向量為 ．
10．設向量在向量上的投影向量為，則 ．
11．已知向量與的夾角為，且，則在方向上的投影向量的坐標為 .
12．如圖，在斜坐標系中，O為坐標原點，x軸y軸相交成角，，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序實數對為向量的坐標，記作，在此坐標系中，已知向量，，則向量在上的投影向量的坐標為 ．

13．已知，，則在方向上的投影向量的坐標為 ．
14．已知向量，若在方向上的投影向量為，則的值為 .
15．已知平面向量 均為非零向量，且滿足 ，記向量 在向量 上投影向量為，則 k = ．(用數字作答)
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】平方得到，計算，再計算投影向量得到答案.
【詳解】，，故，
在上的投影向量為.
故選：C.
2．A
【分析】先求出數量積，再根據投影向量公式求解即可.
【詳解】因為，，且與的夾角為，
所以，
所以在上的投影向量為.
故選：A
3．A
【分析】連接、，推導出四邊形為菱形，設，則為的中點，且，再利用投影向量的定義可得結果.
【詳解】連接、，

因為，則，所以，且，
又因為，則四邊形為菱形，
設，則為的中點，且，
因此，在上的投影向量為，
故選：A.
4．
【分析】根據條件作圖可得為直角三角形，結合條件，并根據投影向量的概念求解即可.
【詳解】由知為中點，又為外接圓圓心，，，，
，，，
∴在向量上的投影為：，
向量在向量上的投影向量為：．
故答案為：.
5．##
【分析】根據在方向上的投影向量的公式計算即可.
【詳解】因為向量，，
則在方向上的投影為，
所以在方向上的投影向量是，即
故答案為：
6．
【分析】用在方向上的投影乘以與同向的單位向量可得結果.
【詳解】在方向上的投影向量為
故答案為：
7．B
【分析】由已知可求出，再利用投影向量的計算公式，可得答案.
【詳解】由，則，
，則，
則向量在向量上的投影向量為.
故選：B
8．A
【分析】首先根據已知條件化簡可得，則為圓的直徑，即點O為中點，得為等邊三角形，最后結合投影向量的定義即可求解.
【詳解】因為，即，
則，
整理得，即，則為圓的直徑，
又因為，則為等邊三角形，即，
所以在上的投影向量為.
故選：A.

9．
【分析】求出、的值，利用投影向量的定義可求得在上的投影向量.
【詳解】因為、為單位向量且夾角為，且，，
則，
所以，，且，
所以，在上的投影向量為.
故答案為：.
10．1
【分析】利用向量在向量上的投影向量計算公式建立方程，解出即可.
【詳解】向量在向量上的投影向量為
，則，解得．
故答案為：
11．
【分析】直接根據向量的投影公式求解即可
【詳解】因為，所以，
則在方向上的投影為.
故答案為：.
12．
【分析】求出，由給定的定義用表示，再利用向量的線性運算，結合投影向量的意義求解作答.
【詳解】依題意，，，，，
，，
因此向量在上的投影向量.
故答案為：
13．
【分析】由向量的坐標求出在方向上的投影，進而求在方向上的投影向量的坐標即可.
【詳解】因為，，
所以，，
所以在方向上的投影為：.
設在方向上的投影向量的坐標為，且，.
則，解得，
所以在方向上的投影向量的坐標為.
故答案為：.
14．
【分析】結合已知條件可知，然后利用垂直向量的數量積為以及數量積的坐標運算即可求解.
【詳解】解：因為在上的投影向量為，
所以，則，
因為，，
所以，
從而，
解得.
故答案為：.
15．##1.5
【分析】由兩邊平方可得， ， ，設，向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線， ，由余弦定理可得，向量 在向量 上投影向量為，化簡可得答案.
【詳解】因為，所以，，
兩邊平方整理得，
，兩邊平方整理得，
即，
可得， ，
設，
所以向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，
如圖，即，
因為，，平行四邊形即為的菱形，
所以，
由余弦定理可得，
可得，，
向量 在向量 上投影向量為，
即.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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