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專題4 平面向量數量積的最值問題
【北京市豐臺區2023-2024學年高三上學期期中】
1．如圖，已知BD是圓O的直徑，AC是與BD垂直的弦，且AC與BD交于點E，點P是線段AD上的動點，直線交BC于點Q． 當取得最小值時，下列結論中一定成立的是（ ）

A． B．
C． D．
2．在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，設，（），則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．八卦文化是中華文化的精髓，襄陽市古隆中景區建有一巨型八卦圖（圖1），其輪廓分別為正八邊形和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點，魚眼（黑白兩點）是圓半徑的中點，且關于點對稱,若，圓的半徑為，當太極圖轉動（即圓面及其內部點繞點轉動）時，的最小值為（ ）

A． B．
C． D．
5．在平面直角坐標系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點M，點N在圓E上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
以O為原點建立平面直角坐標系，設圓半徑為r，，根據向量的坐標運算得出，結合，得出.
以O為原點建立平面直角坐標系，設圓半徑為r，
則，
，
故當最小時，最小，顯然時最小.
6．已知四邊形中，，點在四邊形的邊上運動，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．-1
7．已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內部及三邊上，且可在內任意旋轉，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．中國結是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它身上所顯示的情致與智慧正是中華民族古老文明中的一個側面.已知某個中國結的主體部分可近似地視為一個大正方形（內部是16個全等的邊長為1的小正方形）和凸出的16個半圓所組成，如圖，點A是大正方形的一條邊的四等分點，點C是大正方形的一個頂點，點B是凸出的16個半圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9．若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．在梯形中，已知，點分別在線段和上，則的最大值為 ．
11．已知均為單位向量，且，則的最大值是
12．如圖，在與中，，，，.連接與交于，則 .

13．圓：上有兩定點，及兩動點C，D，且，則的最大值是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】作出輔助線，由極化恒等式得到當最小時，取得最小值，取的中點，則，此時取得最小值，B正確，在結合中位線及圓中的性質得到ACD錯誤.
【詳解】連接，則，
兩式平方后相減可得，由于等于圓的半徑，為定值，
故當最小時，取得最小值，
取的中點，則，此時取得最小值，B正確；
A選項，因為BD是圓O的直徑，AC是與BD垂直的弦，且AC與BD交于點E，
所以為的中點，故是的中位線，故，
因為，所以，則不垂直，A錯誤；
C選項，由中位線可知，所以不平行，C錯誤；
D選項，由中位線可知，所以不平行，D錯誤.

故選：B
2．A
【分析】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，，求出點坐標可得，利用二次函數的單調性可得答案.
【詳解】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，
所以，因為D為BC的中點，所以，
，設，所以，
所以，可得，，
所以，
因為，所以.
故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是以為坐標原點建立平面直角坐標系，轉化為坐標的運算求數量積.
3．C
【分析】求出，則，再利用余弦定理可得，結合基本不等式即可求解.
【詳解】在中，，，
由余弦定理，得，即，
于是有①.
由，得，
即，
于是有②.
聯立①②，得，
由，得，
將代入①中，得.
由，，，知，
所以
,
因為，
所以,
當且僅當即時，等號成立，
所以.
故當時，取得最大值為.
故選：C.
【點睛】求最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法求解.
4．C
【分析】根據題意，利用向量的線性運算，化簡得到，結合，進而求得取得最小值，得到答案.
【詳解】由題意，點是圓半徑的中點，且關于點對稱，設的位置，如圖所示，
在八卦圖中，知,
又由，
則由
，
當八卦圖轉動（即圓面及其內部點繞轉動）時，，
當時，取得最小值，最小值為.
故選：C.

5．B
【分析】由已知及拋物線的定義，可求，進而得拋物線的方程，可求，，的坐標，直線的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設的坐標，求得的坐標，結合向量數量積的坐標表示，以及輔助角公式和正弦函數的值域，可得所求范圍．
【詳解】解：由題意，設，所以，解得，
所以拋物線的方程為，，，，
所以直線的方程為，
設圓心坐標為，，所以，解得，即，
圓的方程為，
不妨設，設直線的方程為，則，
根據，解得，
由，解得，
設，所以，
因為，
所以．
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是：首先求出圓的方程為，然后利用直線OM與圓E切于點M，求出M點的坐標，引入圓的參數方程表示N點坐標，再根據向量數量積的坐標表示及輔助角公式，可得所求范圍．.
6．C
【分析】由題意分析可知四邊形關于直線對稱，且，只需考慮點E在邊上的運動情況即可，然后分類討論,求出最小值.
【詳解】
如圖所示，因為，且，所以垂直且平分，
則為等腰三角形，又，所以為等邊三角形,
則四邊形關于直線對稱，故點E在四邊形上運動時，
只需考慮點E在邊上的運動情況即可，
因為，，知，即，
則，
①當點E在邊上運動時，設，則，
則,
當時，最小值為；
②當點E在邊上運動時，
設,則,
則
，
當時，的最小值為；
綜上，的最小值為；
故選：C．
【點睛】方法點睛：由題意可推得四邊形的幾何性質，即要推出，然后要考慮E點位置，即要分類討論，進而根據向量的線性運算表示出，結合二次函數性質即可求解.
7．D
【分析】先分別求出等邊三角形和正方形的邊長及其內切圓半徑，根據所求結果和正方形可在內任意旋轉可知，正方形各個頂點在三角形的內切圓上，建立合適的直角坐標系，求出三角形的頂點坐標和其內切圓的方程，設出的三角坐標，根據可得到關于坐標中變量的關系，分類討論代入中化簡，用輔助角公式分別求出最大值，選出結果即可.
【詳解】解：因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，
所以，解得，
記三角形內切圓的半徑為，根據，可得：
，解得，
因為正方形面積為2，所以正方形邊長為，
記正方形外接圓半徑為，
所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，
根據正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知，
正方形外接圓即為等邊三角形的內切圓，因為正方形可在內任意旋轉，
可知正方形各個頂點均在該三角形的內切圓上，
以三角形底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立直角坐標系如圖所示：
故可知，圓的方程為，
故設，，
因為，即，
化簡可得，即，
解得或，
①當時，點坐標可化為，
此時
，
所以當，即，即，
即時，取得最大值；
②當時，點坐標可化為，
此時
，
因為，所以當，即，即，
即時，取得最大值，
綜上可知：取得最大值.
故選：D
【點睛】方法點睛：該題考查平面幾何的綜合應用，屬于難題，關于圓錐曲線中點的三角坐標的設法有：
（1）若點在圓上，可設點為，其中；
（2）若點在圓上，可設點為，其中；
（3）若點在橢圓上，可設點為，其中；
8．C
【分析】利用向量數量積的幾何意義將的最大值進行轉化，并確定取最大值時點B的位置，再建立坐標系求解作答.
【詳解】等于在上的投影向量與的數量積，因此當在上的投影向量與同向，
且投影向量的模最大時，取到最大值，此時點B在以點C為半圓弧端點且在AC上方的半圓上，
以大正方形的相鄰兩邊分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，，
則直線的方程為，以點C為半圓弧端點且在AC上方的半圓圓心為，
半圓的方程為，
顯然半圓在點處切線垂直于直線時，取得最大值，
設切線的方程為，于是，而點M在切線的左上方，解得，
即切線：，由解得，
因此切線與直線的交點，此時，又，
所以的最大值為.
故選：C
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數量積的幾何意義．具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用．
9．C
【分析】利用，與即可確定在上的投影與在上的投影，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，即可確定，的橫坐標，設出坐標由得到兩向量縱坐標的關系后，列出，夾角的余弦值的式子，利用基本不等式確定余弦值的范圍，即可確定，夾角的范圍，注意即，的夾角為銳角.
【詳解】設，，，以O為原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，
，，，
，，三者直接各自的夾角都為銳角，
，，，
，，即在上的投影為1，在上的投影為3，
，，如圖
，
即，且
則，
由基本不等式得，
，
與的夾角為銳角，
，
由余弦函數可得：與夾角的取值范圍是，
故選：C.
10．3
【分析】先建立平面直角坐標系，通過寫出的坐標表示，再進行運算，最后根據取值范圍得到最大值.
【詳解】如圖建系，，所以，

設，則，
令，
則，
所以
當時取到等號.
故答案為：3
11．
【詳解】為單位向量，且設，，，當時取得最大值，故答案為.
【方法點晴】本題主要考查平面向量的數量積公式與平面向量的坐標運算及三角函數求最值，屬于難題. 求與三角函數有關的最值常用方法有以下幾種：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化為的形式利用三角函數有界性求最值；③型，可化為求最值 .本題是利用方法③的思路解答的.
12．
【分析】以為原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，根據長度關系得到每個點相應的坐標，聯立直線，的方程即可計算出點的坐標，再根據平面向量數量積的坐標公式就能算出答案.
【詳解】以為原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖：

由，，，，
可得，，，
則，
，，
所以直線的方程可表示為，
直線的方程可表示為，
聯立解得，
代入
則交點的坐標是，
由，
，
所以
，
故答案為：.
13．##
【分析】由已知求出的夾角，設射線與x軸正方向所成的角，利用三角函數定義表示出點的坐標，再利用數量積的坐標表示建立函數關系并求出最大值作答.
【詳解】因為點在圓：上，則，，
而，則有，令射線與x軸正方向所成的角為，
由點的對稱性，不妨令射線與x軸正方向所成的角為，

由三角函數定義知，
則，
于是，
同理，因此
，而，
則當，即時，，
所以的最大值是.
故答案為：
【點睛】思路點睛：涉及定圓上的動點，可以設出經過該點射線為終邊的角，利用三角函數定義表示出該點坐標求解.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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