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專題立體幾何中的最值問題1
【立體幾何】已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們在繪畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時所畫的底面積大小是，則和的值分別是（ ）
A．3； B．4； C．4； D．3；
【方法名稱】利用基本不等式求最最值
【思路分析】通過設變量正四棱錐底面邊長為，建立函數關系，利用拆分技巧借助基本不等式求最值.
【詳解】法一：如圖，O為底面ABCD的中心，E為BC的中點，連接PO，OE，設該正四棱錐底面邊長為，高為，且，由題意，.易有，，則，所以，，將代入并化簡得：，于是，
.當且僅當時，取“=”.
易知，此時底面ABCD直觀圖的面積.故選：C.
法二：設底面邊長為，高為，側面與底面所成角為，則
因為
所以
，
當且僅當時取等號，即，此時
故選：C
法三: 如圖，設D為底面中心，E為BC中點，連接PD，PE，O是內切球的球心，且，
設正四棱錐底面邊長為t，高為h，，內切求半徑為r
易知：，
要最小，則r最大即可．
在△PDE中，，又①
在△ODE中，②
由①②可得，
即
（此時）
，
故選C．
【舉一反三】
1．如圖，在長方體中，當，，點在棱上，且，則當的面積最小時，棱的長為 ．

2．如圖，已知，，是圓柱的三條母線，為底面圓的直徑，且，則三棱錐的體積最大值為 .
【方法名稱】導數法
【思路分析】設底面邊長為，建立函數關系，再令，最后利用導數求最值.
【詳解】底面邊長為，高為，側面斜高為，則，所以
，令，則
由
所以當時，；當時，；
因此當時，，此時
故選：C
【舉一反三】
3．如圖所示，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后將余下的四個全等的等腰三角形組成一個正四棱錐 若正四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面邊長為單位：，且，則該球的半徑（單位：）的取值范圍是 .
4．在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，正方形與正方形所在平面互相垂直，，，分別是對角線，上的動點，則線段的最小長度為 ．
6．如圖，已知球的表面積為，若將該球放入一個圓錐內部，使球與圓錐底面和側面都相切，則圓錐的體積的最小值為 .

7．如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上的動點（不與，重合）過作的平行線交于點，將沿折起，點折起后的位置記為點，得到四棱錐，則三棱錐體積的最大值為 ．

8．已知四面體各頂點都在半徑為3的球面上，平面平面，直線與所成的角為，則該四面體體積的最大值為 .
9．中，，過點A的直線在平面上，且在直線的同一側，將繞直線旋轉一周所得的幾何體的體積的最大值為 ．
10．如圖，一個正三棱柱形容器中盛有水，側棱，底面邊長，若側面水平放置時，水面恰好經過AC，BC，的中點D，E，，現將底面ABC水平放置.
(1)求水面的高度；
(2)打開上底面的蓋子，從上底面放入半徑為2的小鐵球，當水從上底面溢出時，求放入的小鐵球個數的最小值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】建立空間直角坐標系，可設，，寫出點坐標，根據，可求得與的等量關系，代入的面積中，利用基本不等式求得面積最小值時和的值，進而得出棱的長.
【詳解】如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，則，設，，，
則，，因為，所以，
當時等式不成立，即．
因此
，當且僅當，即時
取等號．因此當的面積最小時，棱．
故答案為：

2．18
【分析】連接,結合圓柱特征可設，可得，利用基本不等式可得，進而利用等體積法表示出三棱錐的體積，即可求得答案.
【詳解】連接,,故四邊形為平行四邊形，
則,設，則，
∴，即，當且僅當時取等號，
由于為底面圓的直徑，則,
而平面平面,故,
平面，故平面；
由平面平面,故,即,
∴三棱錐的體積為，
即三棱錐的體積最大值為18，
故答案為：18.
3．
【分析】作出正四棱錐，正四棱錐的外接球的球心在正四棱錐的高線上，根據勾股定理表示外接球的半徑與的關系，再求出的取值范圍.
【詳解】由題意，作出正四棱錐，如圖所示，記為的中點，連結，
可知，，四邊形為正方形.
記為正方形的中心，連結，則平面，
，，，
記正四棱錐的外接球的球心為，，
在直角中，，即，
設，，則，
整理得，因為在區間上單調遞減，
所以，即，.
故答案為：.
4．B
【分析】設底面的外接圓的半徑為r，，由正弦定理表示出r，確定外接球球心位置，求得其半徑的表達式，結合正弦函數性質求得外接球半徑的最小值，即可得答案.
【詳解】設底面的外接圓的半徑為r，，
則在中，，可得，所以，
設底面三角形的外心為，過作底面的垂線，
由于平面BCD，故所作垂線與的中垂線的交點即為三棱錐外接球的球心，
設外接球的半徑為R，而，
則外接球的半徑為，
即當即時，三棱錐的外接球的半徑取得最小值，
此時三棱錐的外接球表面積取得最小值：,
故選：B
5．##
【分析】根據面面垂直的性質和線面垂直的性質可得，由題意建立如圖空間直角坐標系，設，()，，，，利用空間向量的坐標表示可得，結合基本不等式計算即可求解.
【詳解】由題意知，，
由正方形正方形，正方形正方形，正方形，
得正方形，又正方形，所以，
建立如圖空間直角坐標系，
設，()，，，
則，，
得，，
所以，，
得，
有
，
當且僅當即即時，等號成立，
所以，即線段MN的最小長度為.
故答案為：.
6．
【分析】設圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，則母線長為，利用圓錐的軸截面得，求出圓錐的體積，令，再利用基本不等式或利用導數求最值可得答案.
【詳解】依題意，得球的半徑，設圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，
則母線長為，如圖是圓錐的軸截面，
則軸截面的面積，
即，平方整理得，
則圓錐的體積，令，
則，
當且僅當時取得最小值，此時.
[或求導：，所以，
當即時，單調遞增，
當即時，單調遞減，
所以當時最小，且最小值為.]
故答案為：.

7．
【分析】設，，表示出三棱錐的體積，利用導數研究單調性，求最大值.
【詳解】由題意知：，，將沿折起，由棱錐結構特征可知，相同的點E位置，當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時平面，
設，，，
，，
令，得或，又，
當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，
所以當時，函數取得最大值，．
故答案為:．
8．
【分析】根據給定條件，探求四面體體積的表達式，并確定體積最大時四面體的結構特征，結合球半徑、球心到平面和平面的距離及長表示出最大體積的關系式，再利用均值不等式、導數求最值求解作答.
【詳解】在中，過作于，連接，因為，平面，
則平面，顯然平面，有，而平面平面，則，
四面體的體積，

當長固定時，經過的外接圓圓心時，最大，此時為中點，
并且經過外接圓圓心，四面體的體積最大，令四面體外接球球心為，
連接，則平面，平面，令，
顯然四邊形是矩形，于是，
且，
，當且僅當，即時取等號，
此時，，
因此，令，，
由，得，當時，，時時，，
因此在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當，取得最大值，因此的最大值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質求解.
9．
【分析】作出圖形，得到將繞直線旋轉一周所得的幾何體體積為臺體的體積減去上下兩個圓錐的體積，設出角度，表達出臺體體積及兩個圓錐體積，從而表達出旋轉一周所得的幾何體的體積，結合，正弦函數圖象，求出最大值.
【詳解】因為，所以，
將繞直線旋轉一周所得的幾何體體積為臺體的體積減去上下兩個圓錐的體積，
設，則，
，
，
所以臺體的體積為
，
圓錐的體積為，
圓錐的體積為，
故旋轉一周所得的幾何體的體積為
，
因為，所以，
當，即時，取得最大值，
最大值為.

故答案為：.
10．(1)12
(2)3
【分析】（1）首先利用求水的體積，再應用棱柱的體積公式求底面ABC水平放置后水面的高度；
（2）由題設只需放入小鐵球的總體積大于，結合球體的體積公式求放入的小鐵球個數的最小值.
【詳解】（1）由題意，水的體積，
將底面ABC水平放置，若水面的高度為，則，所以.
（2）由題意，只需放入小鐵球的總體積大于即可，
而小鐵球的體積，若放入n個小鐵球水從上底面溢出，
所以，則，而，故最小為3.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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