資源簡介

專題5 異面直線間的距離
【山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】右圖為幾何體的一個表面展開圖，其中的各面都是邊長為1的等邊三角形，將放入一個球體中，則該球表面積的最小值為______；在中，異面直線AB與DE的距離為______．
還原幾何體，求出半徑，進(jìn)而求出球的表面積，由面ABC面EFD，將異面直線AB與DE的距離d轉(zhuǎn)化為O到面DEF距離的兩倍，利用等體積法得出所求距離.
如圖：該幾何體為正八面體
球表面最小即八面體的八個頂點在球面上，即球心O在ABCD中心O
半徑，∴，
∵面ABC面EFD，∴異面直線AB與DE的距離d轉(zhuǎn)化為面ABC與面EFD的距離
又O到面ABC距離等于O到面DEF距離相等記作，則
∵，∴，
∴，∴，∴
1．已知長方體的棱、AB、AD的長分別為4cm、5cm、6cm，則異面直線和的距離是 cm.
2．正方體中，邊長為4，則異面直線與的距離為 ．
法一：建系，利用向量法得出，再由距離公式求出異面直線的距離；法二：建系，設(shè)，，根據(jù)向量的運算，得出的坐標(biāo)，由模長公式以及不等式的性質(zhì)得出異面直線的距離.
法一：建立坐標(biāo)系，用公式算
OF、OC、OB分別為x、y、z軸，則
∴
設(shè)AB與DE距離為d，
設(shè)且，則
令得，∴
法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
設(shè)分別為AB，DE上兩點，設(shè)
則，
所以，
所以，
所以，
所以當(dāng)時，取到最小值．
3．四面體中，，，，則異面直線與的距離為 ．
4．已知正方體的棱長為，異面直線與的距離為 .

通過空間想象還原幾何體，并將其補成正方體，再由正方體的棱長得出正八面體外接圓直徑，進(jìn)而求出表面積，由BA平面將異面直線BA與ED之間距離為點B到平面距離，連結(jié)，由平面，結(jié)合中位線定理得出所求距離.
還原理由：正八面體相鄰兩個三角形僅有一條公共邊，所以原圖中AB還原必與重合，如圖1，此時圖中1，2，3，4四個三角形可還原為以B為頂點無底面的四棱錐，如圖2．
同理，DE還原后與重合，可得以E為頂點的四棱錐，最后形成正八面體，如圖3．構(gòu)造正方體，及各面中心形成正八面體（圖4）
取M為正方體棱中點，則
∴正方體棱長為，即為正八面體外接圓直徑，即，∴，
如圖（5）正方體，其中B、A、D、E分別為正方體中心，
連接，可得，且平面
易證：BA平面，∴異面直線BA與ED之間距離為點B到平面距離，
連結(jié)，則平面，且點Q到平面距離為（如圖6），
則點B到平面距離.
5．在三棱錐中，，，，，，則異面直線和的距離為 .
6．若RtΔABC的斜邊AB=5，BC=3，BC在平面內(nèi)，A在平面內(nèi)的射影為O，AO=2，則異面直線AO與BC之間的距離為 ．
7．定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長度可以看作是：分別連接兩異面直線上兩點，所得連線的向量在公垂線的方向向量上的投影向量的長度.如圖，正方體的棱長為是異面直線與的公垂線段，則的長為（ ）

A． B． C． D．
8．正方體表面正方形的對角線中存在異面直線.如果其中兩條異面直線的距離是1，那么，正方體的體積為（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或
9．已知正方體的棱長為1，則直線到直線BD的距離為 ．
10．長方體中，和的公垂線段是 ，和的公垂線段是 ．
11．邊長為1的兩個正方形和構(gòu)成大小為的二面角，則異面直線和之間的距離為 ．
12．空間四邊形中，，，延長到，使得，為中點，則異面直線和的距離為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．4
【分析】畫出正方體的圖形，直接找出異面直線和之間的距離即可．
【詳解】由題意畫出長方體，如圖：
由圖形可知：異面直線與之間的距離是：，
故答案為4．
【點睛】本題主要考查正方體中異面直線的距離的求法，考查空間想象能力，作圖能力，屬于基礎(chǔ)題.
2．##
【分析】異面直線與分別在平行平面和平面內(nèi)，因此求出平行平面和平面的距離即可得，再證明是平行平面和平面的公垂線，然后求得公垂線段的長即可得．
【詳解】如圖，正方體中，，，是平行四邊形，
∴，同理，
分別是上下底面對角線的交點，，分別與交于點，連接相應(yīng)的線段，
平面，平面，∴平面，同理平面，
又，平面，∴平面平面，
由于與平行且相等，因此是平行四邊形，∴，而分別是中點，
因此，
正方體棱長為4，則對角線，，
平面，是在平面內(nèi)的射影，，平面，
∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，
∴平面與平面的距離為，
而平面，平面，且與是異面直線，
所以異面直線與的距離等于平面與平面的距離為，
故答案為：．
3．
【分析】將四面體補成長方體，連接交于點，連接交于點，連接，推導(dǎo)出，，并計算出的長，即可得解.
【詳解】將四面體補成長方體，連接交于點，連接交于點，連接，
則、分別為、的中點，
由已知可得，可得，
因為且，故四邊形為平行四邊形，則且，
又因為、分別為、的中點，所以，且，
故四邊形為平行四邊形，故且，
平面，平面，，即，
同理可得，故異面直線與的距離為.
故答案為：.
4．
【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)可得，又，可知所求距離為，從而得到結(jié)果.
【詳解】
平面，平面
又 異面直線與之間距離為
故答案為
【點睛】本題考查異面直線間距離的求解，屬于基礎(chǔ)題.
5．.
【分析】畫出草圖，先證明BD是異面直線和的公垂線，再求出BD的長即可。
【詳解】畫出草圖，
，

又，
所以BD是異面直線和的公垂線
所以異面直線和的距離為BD
是直角三角形。
故答案為：
【點睛】此題考查異面直線間的距離，關(guān)鍵點找到兩條異面直線的公垂線，屬于較易題目。
6．2
【分析】連接，通過證明和可知即為異面直線與之間的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.
【詳解】連接

，， ，
又 平面，又平面
即為異面直線與之間的距離
又
本題正確結(jié)果：
【點睛】本題考查異面直線間距離的求解，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系找到異面直線之間的公垂線段.
7．C
【分析】以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得異面直線與的公垂線的方向向量，根據(jù)即可求解.
【詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意得，
則.
設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量，
則，即，令，得，，
所以異面直線與之間的距離.
故選：C.
8．C
【詳解】
設(shè)正方體的棱長為，若異面直線與的距離為1，則，從而體積.
若異面直線與的距離為1，則，，.
即正方體的體積為1或.選C.
9．
【分析】作圖，找到 與BD的公垂線，計算出公垂線的長度即可.
【詳解】
連接BD，取BD的中點O，連接OC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然 ，
又因為 底面ABCD，所以 ， ， ，
即OC是BD與的公垂線， .
故答案為： .
10． ## ##
【分析】利用公垂線的定義可得出結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：
在長方體中，，，故和的公垂線段是，
平面，平面，，
又因為，則和的公垂線段是.
故答案為：；.
11．##0.5
【分析】說明是二面角的平面角，過作于，證明是異面直線和的公垂線，求出線段的長即可．
【詳解】如圖，由，知是二面角的平面角，因此，
且因為，平面，所以平面，
過作于，則，
所以是異面直線和的公垂線，的長即為異面直線和之間的距離．
中，，，則，，
所以異面直線和之間的距離為．
故答案為：．
12．1
【分析】根據(jù)異面直線距離的定義，找到異面直線和的距離為，即可求解.
【詳解】
如圖，，為中點，所以，
，為中點，則，又，因此，有，
所以是異面直線和的距離，故它們的距離等于1，
故答案為:1.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑