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專題4 空間圖形中線段長(zhǎng)度的最值問(wèn)題
【唐山市十縣一中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試】在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)分別在直線與上，則線段長(zhǎng)度的最小值 .
通過(guò)找截面，并由勾股定理得出，再由與點(diǎn)重合，得出的最小值，進(jìn)而求出的最小值.
過(guò)點(diǎn)作⊥平面于點(diǎn)，則在直線上，連接，
則，
由幾何關(guān)系知，當(dāng)與點(diǎn)重合， 取得最小值0，故的最小值為；
1．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，P是底面上一點(diǎn)．若∥平面，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．線段長(zhǎng)度最大值為，無(wú)最小值
B．線段長(zhǎng)度最小值為，無(wú)最大值
C．線段長(zhǎng)度最大值為，最小值為
D．線段長(zhǎng)度無(wú)最大值，無(wú)最小值
2．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面上移動(dòng)，且滿足，則線段的長(zhǎng)度的最大值為( )
A．2 B．3 C． D．
以，作為空間基向量，表示，將進(jìn)行平方，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得出，進(jìn)而由不等式的性質(zhì)得出.
以，作為空間基向量，
當(dāng)時(shí)
3．在中，，，，D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折至，使二面角為直二面角，且四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，球O的表面積為 ．
4．在棱長(zhǎng)為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上移動(dòng)，且滿足，則線段的長(zhǎng)度的最大值為 .
以底面正方形ABCD的中心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出.
以底面正方形ABCD的中心為原點(diǎn)，以與AB、DA方向?yàn)閤、y軸，以過(guò)中心且底面垂直的方向?yàn)閦軸
則，
設(shè)，則
當(dāng)時(shí).
5．如圖， 二面角的平面角的大小為為半平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)， 為半平面內(nèi)一點(diǎn)， 且，若直線與平面所成角為為的中點(diǎn)， 則線段長(zhǎng)度的最大值是 .

6．已知正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方體表面及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則線段的長(zhǎng)度的最大值為 .
7．已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則（ ）．
A．線段長(zhǎng)度的最小值為1
B．直線和平面所成角的余弦值為
C．到直線的最小距離為
D．三棱錐的體積可能取值為10
8．如圖，在正方體中，，點(diǎn)M，N分別在棱AB和上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，下列命題正確的是（ ）
A．
B．平面
C．線段BN長(zhǎng)度的最大值為
D．當(dāng)點(diǎn)M，N分別在棱AB和的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到面的距離為
9．正三棱柱中，，，O為BC的中點(diǎn)，M是棱上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作于點(diǎn)N，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，P，M分別為線段BC，的中點(diǎn)，Q，N分別為線段，AD上的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段QN的長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，在直三棱柱中，，，，M、N分別是線段、上的點(diǎn)，P是直線AC上的點(diǎn)，滿足平面，，且M、N不是三棱柱的頂點(diǎn)，則MP長(zhǎng)的最小值為（ ）

A． B． C． D．
12．已知A，B，C，D是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且三棱錐A－BCD的體積為，則線段CD長(zhǎng)度的最大值為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】分別取的中點(diǎn),根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，故點(diǎn)的軌跡為線段.當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，線段長(zhǎng)度最大，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)度最小，求解即可.
【詳解】分別取的中點(diǎn),
因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>所以平面,同理可得平面.
因?yàn)槠矫?所以平面平面.
因?yàn)镻是底面上一點(diǎn)．且∥平面，
所以點(diǎn)的軌跡為線段.
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以,,
當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，；
當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，.
所以線段長(zhǎng)度最大值為，最小值為.
故選:C.
2．B
【分析】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出a、b之間的關(guān)系，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求長(zhǎng)度的最大值．
【詳解】以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，，，
則，，
，，
，則易求，
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，可取到最大值9，
線段的長(zhǎng)度的最大值為3．
故選：B．
3．##
【分析】根據(jù)條件作出圖形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得到是直角三角形，又在中，設(shè)（），得到，，，再根據(jù)余弦定理和勾股定理用表示，結(jié)合三角恒等變換和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，利用球的截面圓性質(zhì)找到四面體的外接球球心也是的外接圓圓心，最后結(jié)合正弦定理和球的表面積公式即可求解.
【詳解】由題意，作出，如圖1所示，
沿將翻折至，使二面角為直二面角，得到四面體，如圖2所示.
如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>，平面，所以平面，
又平面，所以，
由圖形翻折的性質(zhì)，在圖1中，作出點(diǎn)，連接和，可得，
又，，，則，，，
設(shè)（），則，，，
在中，由余弦定理得：，
即，
在圖2中，，
即，
又，則，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)線段的長(zhǎng)度最小，
則，，
如圖3，在四面體中，作的中點(diǎn)，并連接，
則是的外接圓圓心，又過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，
由球的截面圓性質(zhì)知四面體的外接球球心必定在該垂線上，也在平面上，
即的外接圓圓心，設(shè)該球的半徑為，則有，
在中，由正弦定理得：，則，
所以球O的表面積為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.
4．
【分析】利用空間向量及其運(yùn)算、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：

如上圖，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為4，
所以，，，則，，
因?yàn)椋裕瑒t，
即，化簡(jiǎn)得：，
∵點(diǎn)是底面上的點(diǎn)，∴，，
又由得，解得：，和上述
取交集得：.
由距離公式得
，對(duì)稱軸，且
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，即.
∴由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知當(dāng)時(shí)，取得最大值.
故答案為：.
5．##
【分析】自點(diǎn)引平面的垂線，垂足為，則兩點(diǎn)在以為高，以為母線的圓錐的底面圓周上，所以當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到公共棱上時(shí)AD最大，然后根據(jù)題意求解即可.
【詳解】如圖，自點(diǎn)引平面的垂線，垂足為，因?yàn)椋?br/>
則兩點(diǎn)在以為高，以為母線的圓錐的底面圓周上，
因?yàn)闉榘肫矫鎯?nèi)的兩個(gè)點(diǎn)， 為半平面內(nèi)一點(diǎn)，
所以當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到公共棱上時(shí)，最大，則最長(zhǎng)，此時(shí)在中為定值，最大，所以AD最大.
自點(diǎn)引公共棱的垂線，則由題意得，
所以，，所以，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中由余弦定理得,
故答案為：
6．
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，設(shè)，推導(dǎo)出平面，可知平面內(nèi)任一點(diǎn)（不與重合）均滿足，結(jié)合圖形可求得的最大值.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，設(shè)，
因?yàn)榍遥⒎謩e為、的中點(diǎn)，
則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，
又因?yàn)榍遥裕遥?br/>所以，四邊形為平行四邊形，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，所以，，
所以，，故，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>因?yàn)椋⑵矫妫裕矫妫?br/>則平面內(nèi)任一點(diǎn)（不與重合）均滿足，
由圖可知，.
故答案為：.
7．ACD
【分析】根據(jù)條件確定,的軌跡，根據(jù)軌跡確定選項(xiàng)A,B的正誤，結(jié)合向量判斷選項(xiàng)C,D的正誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕袋c(diǎn)在上；
因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)，且，所以，即點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓弧上，如圖，
因?yàn)榈降木嚯x為4，所以線段長(zhǎng)度的最小值為1，故A正確；
對(duì)于B，由A可知，可以看作圓錐的一條母線， 直線和平面所成角為，，故B不正確；
對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
；
，；
，
到直線的距離；
因?yàn)椋詴r(shí)，有最小值，故C正確；
對(duì)于D，；
由選項(xiàng)A可知，的面積的最大值為，而 ，
所以三棱錐的體積可能取值為10，故D正確；
故選：ACD
8．AC
【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，利用空間向量運(yùn)算判斷選項(xiàng)A，B，C，利用點(diǎn)到平面的距離公式判斷D即可得解.
【詳解】在正方體中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，設(shè)M(3,y,0)，N(3,3,z)，，
，而
則，
對(duì)于A選項(xiàng)：，則，，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：，，即CM與MN不垂直，從而MN與平面D1MC不垂直，B不正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：，則線段BN長(zhǎng)度，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)平面的法向量，，則，令，則，即，
又，所以，點(diǎn)到面的距離為，故D不正確.
故選：AC
9．B
【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段MN的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.
【詳解】解：因?yàn)檎庵?O為BC的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，
如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)镸是棱上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，所以，則，
因?yàn)椋栽谥苯侨切沃锌傻茫海裕?br/>即，于是令，
所以，，又函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，即線段MN長(zhǎng)度的最小值為.
故選：B.
10．D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)的點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出Q，N的坐標(biāo)，利用，找出參數(shù)間的關(guān)系，再用空間兩點(diǎn)間的距離公式表示出函數(shù)的形式，
利用函數(shù)求最值.
【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)镻，M分別為BC，的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)镼，N分別為線段，AD上的動(dòng)點(diǎn)﹐
所以可設(shè)，，
所以，.
由，得，即，即，
由，
得，
當(dāng)時(shí)，.
故選：D.
11．A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，坐標(biāo)，根據(jù)已知條件得到三點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，表示出的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求出答案.
【詳解】
如圖，由已知，，兩兩互相垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
可得，，，，
設(shè)，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，，
因?yàn)槠矫妫?br/>，則，，
又，
，可得，
，，
，
當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.
故選：A.
12．B
【分析】
先求出外接球半徑，根據(jù)勾股定理逆定理得到，且，求出點(diǎn)D到平面ABC的距離，求出點(diǎn)D所在球的截面的半徑及三角形ABC的外接圓半徑，設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，當(dāng)CE最長(zhǎng)時(shí)CD最長(zhǎng)，結(jié)合，求出CD長(zhǎng)度的最大值.
【詳解】
因?yàn)榍虻捏w積為，故球的半徑R滿足，故，
而，，，故，故，
故，
設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，則，故，
點(diǎn)D在球的截面圓上，設(shè)截面圓所在的平面為α，因?yàn)椋云矫姒僚c平面ABC在球心的異側(cè)，

設(shè)球心到平面ABC的距離為d，而△ACB外接圓的半徑為，則，
故球心到平面α的距離為，故截面圓的半徑為，
設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點(diǎn)，
當(dāng)CE最長(zhǎng)時(shí)CD最長(zhǎng)，此時(shí)，故CD長(zhǎng)度的最大值為.
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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