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專題2 幾何體的體積與 “外接”，“ 內切”球問題
【唐山9月模擬】如圖，在三棱臺中，表示體積，下列說法正確的是（ ）
A．
B．成等比數列
C．若該三棱臺存在內切球，則
D．若該三棱臺存在外接球，則
對于A，根據等體積轉換進行判斷；對于B，根據三棱臺可以拆3個三棱錐以及其體積公式進行判斷；對于C，根據三棱錐有內切球，作截面與內切球相切，則此球也是三棱臺的內切球進行判斷；對于D，三棱臺的外接球在上下底面的投影點為兩個底面三角形的外心，得出三個直角梯形全等，再進行判斷.
對于A，如圖1，因為，，
又在梯形因為，所以，所以.故A正確；
對于B，設三棱臺上底面面積為，下底面面積為，高為h，
則，
又，
所以，所以，
所以成等比數列，故B正確；
對于C，如圖2，設平面，三棱錐的內切球為球，作截面與球相切，
則球也是三棱臺的內切球，
顯然中最小，即不一定相等，故C錯誤；
對于D，如圖3，若該三棱臺的外接球為球，球在上下底面的投影點為，
則分別為的外心，所以，，
平面，平面，
因為平面，所以，同理可證，
所以四邊形是一個直角梯形，同理可得四邊形，也是直角梯形，
所以三個直角梯形全等，則，故D正確.
故選：ABD.
1．如圖，在幾何體ABCFED中，，，，側棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，則該幾何體的體積為 .
2．“迪拜世博會”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個中國館的實心模型，已知模型內層底面直徑為，外層底面直徑為，且內外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為的球面上.此模型的體積為（ ）
A． B． C． D．
由結合體積公式、相似三角形的性質得出，同理可得，進而由得出.
對于B：，，
因為，所以，
即，故B正確．
3．如圖，正方體的棱長為1，E，F分別是棱，的中點，過點E，F的平面分別與棱，交于點G，H，給出以下四個命題：
①平面EGFH與平面ABCD所成角的最大值為45°；
②四邊形EGFH的面積的最小值為1；
③四棱錐的體積為定值；
④點到平面EGFH的距離的最大值為．
其中正確的命題是 ．（填序號）

4．已知正方體的棱長為，點是棱上的定點，且，點是棱上的動點，則三棱錐的體積最小值為 ．
“切”的處理
作一個特殊三棱錐，滿足，，，由內切球的定義判斷C.
對于C，作一個特殊三棱錐，滿足，，，此三棱錐內切球為O，做平面平行于底面且與O相切，得三棱臺，則，故C錯誤．
5．如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為，它的內切球的體積為，則（ ）
A． B．
C． D．
6．四面體ABCD中，，，則有（ ）
A．存在，使得直線CD與平面ABC所成角為
B．存在，使得二面角的平面角大小為
C．若，則四面體ABCD的內切球的體積是
D．若，則四面體ABCD的外接球的表面積是
根據梯形上底與下底平行結合圓的對稱性得出四邊形為等腰梯形，即，同理可證 .
對于D，側面為小圓的內接梯形，易知，
同理，則，故D正確．
7．在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
8．三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱錐在平面的射影是，兩點關于對稱，且，則三棱錐外接球半徑是( )
A． B． C． D．1
10．三棱錐中，與均為邊長為的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，在棱長均為的直三棱柱中，是的中點，過、、三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點所在部分的體積為（ ）

A． B． C． D．
12．已知半球的半徑為2，如圖，截面圓平行于半球的底面的，以該截面圓為底面挖去一個圓柱，則剩下的幾何體的表面積的最大值為 .

13．已知三棱錐的三條側棱，，兩兩互相垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，且，，則三棱錐的體積為 ．
14．如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點，，且，給出下列三個結論：
①三棱錐與的體積相等；
②三棱錐的體積為定值；
③三棱錐的高長為
（三棱錐的高長即點到平面的距離）．
所有正確結論的序號有 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】在上取點，在上取點，使得，連接，則幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，分別求出三棱柱和四棱錐的體積，即可得出答案.
【詳解】在上取點，在上取點，使得，連接，
又由已知側棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，
得，即，
故四邊形與四邊形都為平行四邊形，
所以，，
又平面，且平面，
則平面，
同理，平面，，
平面，平面，
故平面平面，且平面，
則幾何體為直三棱柱.
因為，，，
所以，
所以是以為直角的直角三角形，，
由側棱AE垂直于底面ABC，得，
，平面，且平面，
故平面，則平面，
又，，
則多面體是四棱錐，且高為，
又，則，四邊形為直角梯形，
所以幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，
，
，
所以該幾何體的體積為.
故答案為：.
2．C
【分析】求出內層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內層圓柱高出的幾何體的體積之和，計算可得解.
【詳解】如圖，該模型內層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上，
可知內層圓柱的高
同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上，
可知外層圓柱的高
此模型的體積為
故選：C
3．②③④
【分析】由兩平面所成角的余弦公式即面積射影公式，計算可得所求最大值，可判斷①；由四邊形為菱形，計算面積，分析的最小值，可判斷②；由棱錐的等體積法，計算可判斷③；由等體積法和函數的性質可判斷④.
【詳解】對于①，四邊形為平行四邊形，又直角梯形和直角梯形全等，得，所以四邊形為菱形，且，平面在底面上的射影為四邊形，設平面與平面所成角為，則，又，得，可得所成角的最大值不為45°，故①錯誤；對于②，由，可得菱形的面積的最小值為，故②正確；對于③，四棱錐的體積為，故③正確；對于④，設，，()，設到平面的距離為d，可得，
所以(其中)，當即時，取得最大值，故④正確.
故答案為：②③④.
4．
【分析】利用等體積法、圖形的幾何性質以及三棱錐的體積公式進行求解.
【詳解】在正方體中，因為底面，平面，
所以，
因為正方體的棱長為，，
所以，
在中，由勾股定理有：，
所以，
因為點是棱上的動點，所以當與重合時，到平面的距離最小，
如圖，在上取，使，
則，，
，
故三棱錐的體積最小值為.
故答案為：.
5．D
【分析】軸截面四邊形的內切圓的半徑即為該幾何體內切球的半徑，求出半徑，再根據球的體積公式和圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】如圖，四邊形為該幾何體的軸截面，
則四邊形的內切圓的半徑即為該幾何體內切球的半徑，
設內切球的半徑為，
由，得，
則，
，
所以.
故選：D.

6．BCD
【分析】選項A根據條件作出平面ABC過點D的垂線，進而找出直線CD與平面ABC所成角為，推出矛盾，故排除；選項B根據條件作出二面角的平面角，根據二面角的平面角大小為求出即可；選項C利用等體積法求正四面體的內切球半徑；選項D利用公式求三棱錐外接球半徑.
【詳解】對于選項A，取中點，連接，過作，交于點.
因為，所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
又因為，，平面，平面，
所以平面，所以為直線與平面所成角.
若，因為，則，，又因為，所以為的外心，故，所以，所以；
又因為為的外心，且，所以，出現矛盾，故選項A錯誤；
對于選項B，取中點，連接，因為，所以，
又因為平面，平面，所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，
若，因為，所以.在中，，所以的外接圓半徑為，
在中，由正弦定理得，，所以；
由余弦定理得，，由得，故選項B正確；
對于選項C，當時，四面體為棱長為2的正四面體，底面上的高，，正四面體的高，
正四面體的體積，
正四面體的表面積，
設四面體的內切球的半徑為，，
所以四面體的內切球的體積為，故選項C正確；

對于選項D，四面體中，設四面體外接球球心為，
取中點，連接、、，則且，
所以為二面角的平面角，
，所以.
設、分別是平面和平面的外接圓圓心，則
在中，，.
在中，，即外接球的半徑.
四面體的外接球的表面積，故選項D正確.
故選：BCD.

【點睛】定義法求線面角的關鍵是作出平面的垂線，找到斜線與投影的夾角；定義法求二面角的關鍵也是作出平面的垂線，根據三垂線定理找到二面角的平面角.
7．B
【分析】通過面面垂直確定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半徑，結合表面積公式可得答案.
【詳解】如圖，設外接球的半徑為R，取AB的中點，連接，則由，得，
因為平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，則球心O在直線上．
連接OA，則，
因為，所以；
因為，所以.
因為，所以球心在線段上．
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以三棱錐的外接球表面積為.
故選：B．
8．C
【分析】由題可知，可將三棱錐補成長方體，求長方體的外接球的表面積即可.
【詳解】由平面BCD，，知三棱錐A-BCD可補形為以AD，DC，BD為三條棱的長方體，如圖所示，
三棱錐的外接球即長方體的外接球，長方體的對角線是外接球的直徑，設外接球的半徑為R，
則，所以該三棱錐的外接球表面積為.
故選：C．
9．A
【分析】根據幾何關系，證明P、A、B、C為正方體的頂點，則三棱錐的外接球為正方體外接球.
【詳解】∵，∴是等腰直角三角形，
∵M、C兩點關于AB對稱，∴四邊形ACBM是正方形．
∵且PM垂直平面ABC，∴P、A、B、C、M是棱長為1的正方體的頂點，
∴正方體的外接球就是該三棱錐的外接球，
∴正方體體對角線是外接球的直徑，∴外接球半徑.
故選：A．
10．B
【分析】取中點，連接，，可得平面，平面，取的外心，的外心，分別過，作平面與平面的垂線交于點，即為球心，結合球的性質求得半徑，可得三棱錐外接球的表面積.
【詳解】
解：如圖，取中點，連接，，則，，
因為平面平面，所以可得平面，平面，
取的外心，的外心，分別過作平面與平面的垂線交于點，即為球心，連接，
易得，，
，
.
故選：B.
11．B
【分析】設平面交于點，連接、，推導出點為的中點，用三棱柱的體積減去三棱臺的體積即可得解.
【詳解】設平面交于點，連接、，

在三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
又因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，
所以，，
因為為的中點，所以，為的中點，且，
因為直三棱柱的每條棱長都為，
則，
易知是邊長為的等邊三角形，則，
，
因此，頂點所在部分的體積為.
故選：B.
12．
【分析】畫圖，設球的半徑為，圓柱的高為，底面半徑為，建立方程由基本不等式求出的最大值，然后求出剩下的幾何體的表面積
【詳解】依題意，設球的半徑為，圓柱的高為，底面半徑為，
如圖所示：

則，
所以，
當且僅當時，取到等號，
因此剩下的幾何體的表面積為：
.
故答案為：.
13．
【分析】
根據題意將三棱錐補成長方體，則長方體的體對角線等于三棱錐外接球的直徑，求出球的半徑，從而可求出的長，進而可求出三棱錐的體積
【詳解】因為三棱錐的三條側棱，，兩兩互相垂直，
所以將三棱錐補成如圖所示的長方體，則長方體的體對角線等于三棱錐外接球的直徑，
因為三棱錐外接球的表面積為，
所以，得，
所以，，得，
所以,
故答案為：
14．①②
【分析】①將三棱錐的體積轉化為三棱錐的體積，此時三棱錐與的同底等高，體積相等；②以△BEF為底，A到平面BEF的距離為高，兩者均為定值，所以三棱錐的體積為定值；③等體積法求解三棱錐的高.
【詳解】由于//平面ABCD，線段上有兩個動點，，
所以點E和點F到平面ABCD距離相等，均等于2，
故，①正確；
因為，所以，
而點A到平面即到平面的距離為定值，
故三棱錐的體積為定值，②正確；
設三棱錐的高為，
連接與交于點G，則G為中點，且⊥，
因為平面，平面，
所以，
因為，
所以⊥平面，
因為平面，
所以⊥AG，
且，
由勾股定理得：，
所以，
因為點A到平面的距離即為
所以，
所以，
解得：
故答案為：①②
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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