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專題9 空間圖形截面面積
【2023·江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第二次聯(lián)考】在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱PD垂直底面邊長為2的正方形ABCD，M為棱PD的中點(diǎn)，過直線BM的平面分別與側(cè)棱PA、PC相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)PE＝PF時(shí)，截面MEBF的面積為（ ）
A． B．2 C． D．3
建立坐標(biāo)系，設(shè)，由四點(diǎn)共面的知識得出坐標(biāo)，進(jìn)而由三角形面積公式得出截面MEBF的面積.
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
∵，∴設(shè)，
設(shè)，得，
即
∴，
∴，選A．
1．在棱長為2的正方體中，P，Q是，的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作平面，使得平面平面，則平面截正方體所得截面的面積是（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知球的表面積為，球心到球內(nèi)一點(diǎn)的距離為1，則過點(diǎn)的截面的面積的最小值為 ．
設(shè)出平面方程，由四點(diǎn)坐標(biāo)得出平面方程，進(jìn)而得出坐標(biāo)，進(jìn)而由三角形面積公式得出截面MEBF的面積.
設(shè)平面方程為，
平面方程：
∴，
∴，
∴
3．在三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，且，則平面截三棱錐的外接球所得截面的面積是 ．
4．棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過、、作正方體的截面，則截面的面積是 ．
5．如圖，正方體的棱長為a，E是棱的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若E為的中點(diǎn)，則直線平面
B．三棱錐的體積為定值
C．E為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成的角正切值為
D．過點(diǎn)的截面的面積的范圍是
6．如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）

A．平面
B．到平面的距離為
C．過點(diǎn)，，作正方體的截面，所得截面的面積是
D．平面與平面夾角余弦值為
7．如圖，已知正方體的棱長為1，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，則以下說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)為的中點(diǎn)
B．三棱錐的體積為
C．直線與平面所成的角的正弦值為
D．過點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是
8．在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點(diǎn)，過直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，截面的面積為（ ）
A． B．2 C． D．3
9．已知長方體中，，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，過的平面與DM，都平行，則平面截長方體所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，過的平面與直線平行，則平面截該長方體所得截面的面積為（ ）
A． B．
C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，利用面面平行的判定定理確定平面，利用余弦定理及三角形面積公式求解即可.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，

因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫?br/>又，平面，平面，所以平面，又，
平面，平面，所以平面平面，
即三角形為所得截面，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，
所以.
故選：C.
2．
【分析】先求出球的半徑，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)點(diǎn)為截面圓的圓心時(shí)，過點(diǎn)的截面的面積最小，利用勾股定理求出最小截面圓的半徑，求出答案.
【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，當(dāng)點(diǎn)為截面圓的圓心時(shí)，
即⊥截面時(shí)，過點(diǎn)的截面的面積最小，
設(shè)此時(shí)截面的半徑為，則，
所以過點(diǎn)的截面的面積最小值為.
故答案為：
3．##
【分析】證明出的中點(diǎn)即為外接球的球心，從而得到外接球半徑，再設(shè)O到平面AMN的距離為h，平面AMN截球O所得的截面圓的半徑為r，由等體積法求出，進(jìn)而得到r，得到截面面積.
【詳解】因?yàn)椋琈是PB的中點(diǎn)，所以，
又平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以，
又平面PAB，
所以平面PAB，又平面PAB，
所以，，
在△ABC中，，
所以，
在△PAC中，，所以，所以，
取PC的中點(diǎn)O，又，
所以，即點(diǎn)O是三棱錐的外接球的球心，
且，平面，所以平面，
平面，所以，
因?yàn)椋释饨忧虬霃綖椋?br/>設(shè)O到平面AMN的距離為h，平面AMN截球O所得的截面圓的半徑為r，
因?yàn)镸N是△PBC的中位線，所以O(shè)到平面AMN的距離等于B到平面AMN的距離，
故，即，得，
所以，
所以截面圓的面積為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．
4．
【分析】連接，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，利用面面平行的性質(zhì)分析可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，計(jì)算出該四邊形的各邊長及高，利用梯形的面積公式可求得截面的面積.
【詳解】連接，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，
在正方體中，且，
則四邊形為平行四邊形，所以，，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>平面平面，所以，，則，
為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
由勾股定理可得，，，
所以，四邊形為等腰梯形，
過點(diǎn)、分別在平面內(nèi)作、，垂足分別為點(diǎn)、，
由等腰梯形的性質(zhì)可得，，
又因?yàn)椋裕裕?br/>因?yàn)椋瑒t四邊形為矩形，所以，，
所以，，則，
因此，截面面積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：
（1）直接法：截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；
（2）平行線法；截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；
（3）延長交線得交點(diǎn)：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.
5．BCD
【分析】利用空間向量研究線面關(guān)系可判定A，利用等體積法可判定B，利用線面角的定義可判定C，利用平面的性質(zhì)及面積公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判定D.
【詳解】
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，即，，
所以直線平面不成立，故A錯(cuò)誤；
易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角，
則，所以，故C正確；
設(shè)，作，則易知，，
由平面的性質(zhì)可知過點(diǎn)的截面即平面，
由上可知，，
所以，
則與的距離為，
故截面面積，
令，易知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，故，D正確.
由等體積法可知：，故B正確；
故選：BCD
6．ABD
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，對于A，用空間向量計(jì)算證明垂直即可判斷；對于B，用空間向量求平面的法向量，再在法向量上的投影即可判斷；對于C，補(bǔ)全完整截面為正六邊形，直接計(jì)算面積即可判斷；對于D，用空間向量求平面的法向量再計(jì)算二面角的余弦值即可判斷.
【詳解】
以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，
則，，
，，，
則平面，故A正確；
向量為平面的法向量，
且，，
所以到平面的距離為
，故B正確；
作中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
連接，，，，，
則正六邊形為對應(yīng)截面面積，
正六邊形邊長為，
則截面面積為：，故C錯(cuò)誤；
平面的一個(gè)法向量為，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)兩個(gè)平面夾角為，，故D正確．
故選：ABD．
7．ABC
【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到點(diǎn)為的中點(diǎn)；
B選項(xiàng)，求出點(diǎn)到平面EFG的距離，利用余弦定理及三角形面積公式得到，得到三棱錐的體積；
C選項(xiàng)，利用空間向量求解線面角的大小；
D選項(xiàng)，作出輔助線得到過點(diǎn)、、作正方體的截面為正六邊形，得到其面積即可.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面EFG的法向量為，
則，
令，則，故，
A選項(xiàng)，設(shè)，則，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，即，
解得：，
故，故，
，
所以，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，A正確；
設(shè)點(diǎn)到平面EFG的距離為d，
則，
又，，，
即，
由余弦定理得：，
故，則，
由三角形面積公式可得：，
故三棱錐的體積為，B正確；
，設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為，C正確；
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
則過點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長為，
正六邊形的面積為
則截面面積為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
8．A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共面確定點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積及三角形面積公式即可求出.
【詳解】由題意，平面，四邊形為正方形，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則，，，，，，，
設(shè)，，則，
又，，所以，則，
由題意，四點(diǎn)共面，所以，
所以，解得，
所以，，所以，
所以，即，
所以，
所以，
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以截面的面積為.
故選：A
9．A
【分析】過作交延長線于，為中點(diǎn)，連接，利用長方體性質(zhì)及線面平行的判定證面、面，即面為平面，再延長交于，連接，利用線線、線面的性質(zhì)確定面為平面截長方體所得截面，最后延長分別交于一點(diǎn)并判斷交于同一點(diǎn)，根據(jù)已知結(jié)合余弦定理、三角形面積公式及求截面面積即可.
【詳解】過作交延長線于，則，若為中點(diǎn)，連接，
而M為的中點(diǎn)，在長方體中，而且面，
由面，則面，由面，則面，
所以面即為平面，延長交于，
易知：為中點(diǎn)，則且，又且，
故為平行四邊形，則且，故共面，
連接，即面為平面截長方體所得截面，
延長分別交于一點(diǎn)，而在中都為中位線，
由，，則，故交于同一點(diǎn)，
易知：△為等腰三角形且，，則，可得，
又.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用長方體的性質(zhì)及線面平行的判定確定平面，再根據(jù)平面的基本性質(zhì)找到平面截長方體所得截面，并應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式及相似比求截面面積.
10．D
【分析】取中點(diǎn)，連接，進(jìn)而證明平面得到平面即為所求的平面，再求面積即可.
【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)樵陂L方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，
所以，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以四邊形是平行四邊形，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，
所以平面即為所求的平面，
又因?yàn)椋?br/>所以面積為
故選：D
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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