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專題12 立體幾何截面最值問題
【2024屆成都市一診理科數學T16】已知高，底面半徑的圓錐內接于球，則經過和中點的平面截球所得截面面積的最小值______．
在三角形中，由勾股定理得出球的半徑，在和中，由公共邊結合勾股定理得出截面圓的半徑，進而得出截面面積的最小值.
解：，
在和中，，
．
（2020·湖北·校聯考一模）
1．已知長方體各個頂點都在球面上，，，過棱作該球的截面，則當截面面積最小時，球心到截面的距離為 .
（2023上·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校聯考學業考試）
2．在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，將△ABD沿BD折起，使點A到達A′，且，則四面體A′BCD的外接球O的體積為 ；若點E在線段BD上，且BD＝4BE，過點E作球O的截面，則所得截面圓中面積最小的圓半徑為 .
由銳角三角函數得出，再以公共邊結合銳角三角函數得出截面圓的半徑，進而得出其最小面積.
解：如圖，的中點為垂直于中線，垂足于點，
，
，故．
建立坐標系，由公共邊結合勾股定理得出截面圓的半徑，進而得出截面面積的最小值.
解：，在三維坐標系中，
，
的中點坐標為，
，
令，，
．
（2022上·山東東營·高二東營市第一中學統考期中）
3．在長方體中，已知，E、F分別為、的中點，則三棱錐的外接球半徑為 ，平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為 ．
（2023上·遼寧·高二遼寧實驗中學校考階段練習）
4．數學中有許多形狀優美，寓意獨特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一，該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側面是全等的等腰三角形.將長方體的上底面繞著其中心旋轉45°得到如圖2所示的十面體.已知，，，過直線作平面，則十面體外接球被平面所截的截面圓面積的最小值是

由勾股定理得出球的半徑，進而當垂直截面時，截面的最小值，最后由半徑得出面積.
解：，交球于，當垂直截面時，截面的最小值為：．
由勾股定理得出球的半徑，設的中點為，過的截面為，當且時，截面面積最小，再由相似關系得出半徑，進而得出面積.
解：設球半徑為，球心為，則，設的中點為，過的截面為，當且時，截面面積最小，由相似關系得：
．
（2023·四川瀘州·四川省敘永第一中學校校考模擬預測）
5．在棱長為1的正方體中，，分別為棱，的中點，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為 ．
（2023下·寧夏銀川·高一銀川一中校考期末）
6．已知在球的內接長方體中，，，若為線段的中點，則過點的平面截球所得截面面積的最小值為 ．
（2022·全國·高三校聯考階段練習）
7．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD, ，點E在棱PB上，且， 過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是 .
（2022上·廣西柳州·高三統考階段練習）
8．已知空間四邊形的各邊長及對角線的長度均為6，平面平面，點M在上，且，過點M作四邊形外接球的截面，則截面面積的最小值為 .
（2023·江蘇南通·高三校聯考階段練習）
9．已知正方體棱長為1，是上一點，且.經過點作平面截正方體的外接球，則截得的截面面積的最小值為
（2023上·貴州黔西·高二統考期末）
10．在長方體中，已知，，分別為，的中點，則長方體的外接球表面積為 ，平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．5
【分析】過棱作該球的截面，則當截面面積最小時，截面的直徑為，求出球的半徑，可得球心到截面的距離．
【詳解】過棱作該球的截面，則當截面面積最小時，截面的直徑為，
長方體各個頂點都在球面上，，，
球的半徑為，
球心到截面的距離為．
故答案為：5.
【點睛】本題考查求球心到截面的距離，考查學生的計算能力，確定當截面面積最小時，截面的直徑為是關鍵，是基礎題．
2． π
【分析】第一空，由題意先畫出圖形，由勾股定理可知，，,該四面體是兩個共斜邊的直角三角形構成的，所以四面體A′BCD的外接球O在斜邊的中點處，從而即可求出外接球的體積.
第二空，將四面體A′BCD放在長方體內觀察，若要所得的截面中面積最小，只需截面圓半徑最小，所以只需球心到截面的距離d最大即可，而當且僅當OE與截面垂直時，球心到截面的距離d最大，即，所以只需算出的長度即可.
【詳解】第一空：由題意知，，，，由勾股定理可知，，，所以，，
取的中點O，所以，所以四面體A′BCD的外接球O在斜邊的中點處，四面體A′BCD的外接球O的半徑，
外接球O的體積.

第二空，根據題意可知，將四面體A′BCD可放在棱長為3的正方體內，如圖所示，
過點E作球O的截面，若要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，設球O到截面的距離d, 只需球心到截面的距離d最大即可，而當且僅當OE與截面垂直時，球心到截面的距離d最大，即，取BD的中點F，，所以,
所以截面圓的半徑為.

故答案為：①π，②.
3． ##
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量坐標，可以證明，取為中點，有，因此點為三棱錐外接球的球心，則，球心到平面的距離為，勾股定理可得截面圓的半徑為，即得解
【詳解】解：以點為原點建立空間直角坐標系如圖所示：
依題意得：，，，
則，，
所以，則即；
設為中點，因為，，則，
所以點為三棱錐外接球的球心，則三棱錐外接球的半徑為，
設球心到平面的距離為，又因為為中點，
所以點到平面的距離為，
由于，所以，
故截面圓的半徑為，所以截面圓面積為，
故答案為：；
4．
【分析】根據給定的幾何體，確定出球心O的位置，求出球半徑，再建立空間直角坐標系求出點O到直線距離，進而求出最小截面圓半徑作答.
【詳解】依題意，四邊形是正方形，令正方形與正方形中心分別為，連接，
因為正方形與正方形在同一平面內，且有相同中心，因此它們有相同的外接圓，
從而十面體與長方體的外接球相同，球心O是線段的中點，如圖，

取中點M，連接，因為，則，顯然，
又平面，則平面，
而平面，平面，即有，
平面，則平面，平面與平面有公共點，
顯然平面與平面為同一平面，有，而，，
在直角梯形中，過作于I，，
球O的半徑，
過D作平面，以點D為原點，射線分別為軸非負半軸，建立空間直角坐標系，
則，，
由已知得，即，
，，則點到直線的距離有：,
球被過直線的平面所截的截面圓最小時，球心到平面的距離最大，即為點到直線的距離，
截得的最小截面圓半徑為，而，則
，
所以截得的截面圓面積的最小值是.
故答案為：
5．##
【分析】易得正方體外接球的球心在其中心點處，要使所求截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點．
【詳解】如圖，正方體外接球的球心在其中心點處，球的半徑
要使所求截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點,
連接，則
所以
此時截面圓的半徑，截面面積的最小值.
故答案為： .

6．##
【分析】先求得長方體外接球的半徑，然后根據球的幾何性質、勾股定理以及圓的面積公式求得截面面積的最小值.
【詳解】如圖，

在球的內接長方體中，
，，
設球的半徑為，則，
所以球的表面積，
當球的截面，即為截面圓圓心時，球心到截面圓的距離時最大，
此時截面圓的半徑最小，此時截面圓的面積最小，
而,所以，
所以截面圓面積.
故答案為：
7．##
【分析】將四棱錐補形為長方體可得球O球心與球O半徑，則當EO與截面垂直時，截面面積最小.
【詳解】如圖，將四棱錐P-ABCD補為長方體，則此長方體與四棱錐的外接球均為球O，
則球O半徑.O位于PC中點處.
因底面ABCD是矩形，則.因PA⊥平面ABCD，平面ABCD，則，又平面PAB，AB平面PAB，，則平面PAB.
因PB平面PAB，則.取PB的中點為F，
則，..
因，則，得.
則在直角三角形OEF中，.
當EO與截面垂直時，截面面積最小，
則截面半徑為.
故截面面積為.
故答案為：
8．
【分析】先由面面垂直的性質得到平面，求得、、、，從而求得外接球的半徑，再由平行線分線段成比例的推論證得三點共線，從而求得，從而求得截面面積的最小值.
【詳解】由題意知和為等邊三角形，取中點為連接，
則
由平面平面平面平面平面
故平面，，則易知，
易知球心在平面的投影為的外心，
在上作于，易得
則在中，，
所以外接球半徑，連接
因為
所以三點共線，所以
當為截面圓圓心時截面面積最小，此時截面圓半徑為，截面面積為.
故答案為：.
.
9．##
【分析】先求出球的半徑，然后分析可得，當與截面垂直時，距離最大，此時截面圓的半徑最小.利用向量表示出，即可根據數量積的運算律求得，進而根據球的性質得出，即可得出答案.
【詳解】
如圖，連結，取中點為，連結.
正方體的外接球是以為直徑的球，，所以外接球半徑.
因為經過點作平面截正方體的外接球，截面為圓，設圓的半徑為.
根據圓的性質可知，圓心到截面的距離越大，圓的半徑越小，
顯然當與截面垂直時，距離最大，此時截面圓的半徑最小.
因為，，
所以，
所以，
根據球的性質可知，，
所以，，，
所以，截面圓的面積為.
故答案為：.
10．
【分析】第一空，求出長方體的體對角線即可得長方體外接球的半徑，即可求得外接球表面積；第二空，建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，即可證明，從而確定三棱錐外接球的球心位置，求出外接球半徑，繼而求得截面圓半徑，即可求得答案.
【詳解】設長方體外接圓半徑為R， ，，
所以長方體外接球表面積為；
以點為原點,以為軸，建立空間直角坐標系如圖所示：
依題意得：，，，
則，，
所以，則即；
設為中點，連接,
因為，，則，
所以點為三棱錐外接球的球心，
則三棱錐外接球的半徑為，
設球心到平面的距離為，又因為為中點，
所以點到平面的距離為，
根據長方體特征可知平面平面,
所以,又，而平面，
故平面，設交于H，則平面,
故到平面的距離為,
因為F為的中點，故，所以，
故截面圓的半徑為，
所以截面圓面積為，
故答案為：；
【點睛】關鍵點點睛：要求得平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積，關鍵點在于首先要確定外接球的球心位置，從而可得其半徑，繼而求出截面圓的半徑，即可求得答案.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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