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專題1 解幾中線段比例的范圍問題
【2023上海真題16】已知O為坐標原點，點在拋物線C：上，過點的直線交拋物線C于P，Q兩點，則的取值范圍是______．
【方法名稱】函數法
【思路分析】設點，利用B，P，Q三點共線，得到坐標關系，從而進一步表示出目標函數，通過換元后化簡函數結構，利用基本不等式求得結果.
【詳解】如圖，因為點在拋物線C：上，得，
所以拋物線方程為，設點，不妨取，由點B，P，Q三點共線，得，得，故原式
，令
故原式，故答案為：或寫成．
【舉一反三】
1．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，為橢圓上一個動點，則的最大值與最小值之和為 ．
2．已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于、兩點，則的最小值為 ．
【方法名稱】函數法
【思路分析】利用直線參數方程中的參數的幾何意義，代入拋物線消元快速得到目標函數的三角表達，利用同角三角函數關系轉化為基本不等式結構，從而求得結果.
【詳解】在拋物線方程得，故拋物線方程為
設直線PQ方程為（t為參數，為傾斜角，為鈍角）
代入得，由判別式>0解得
所以則P和Q對應的參數滿足
所以，其中
所以
所以．
【舉一反三】
3．過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，若上存在相異的兩點使得，則外接圓半徑的最小值為 .
4．已知拋物線C：的焦點為F，過F點傾斜角為的直線與曲線C交于A、B兩點（A在B的右側），則 ．
5．已知橢圓的兩個頂點分別為，，離心率為點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點，，過作的垂線交于點，則與的面積之比為 .
6．已知直線經過點，傾斜角，與圓相交與兩點，則點到兩點的距離之積為 .
7．已知是拋物線的焦點，過點且斜率為2的直線與交于兩點，若，則 .
8．已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為，則橢圓上一點處的切線方程為．試運用該性質解決以下問題：橢圓C：，點B為C在第一象限中的任意一點，過點B作C的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于M，N兩點，則面積的最小值為 ．
9．已知，為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，直線l是曲線C的切線，，分別為，在切線l上的射影，則面積的最大值為 ．
10．設點P（，），Q（，）.定義P，Q兩點的“直角距離”為已知點A和點B分別為直線與橢圓上兩個動點，則d（A，B）的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】求出圓的圓心，根據題意可得、，利用平面向量的線性運算可得，即可求解.
【詳解】圓，圓心，半徑，
因為直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點，
所以，又橢圓，則，，右焦點為，
所以
，
又，即，所以，
即，所以的最大值為，最小值為.
則的最大值與最小值之和為.
故答案為：
2．
【分析】當直線的斜率為，直接求出，直線的斜率不為，取橢圓左焦點，連接，，，，根據對稱性可得，設，則，令，利用導數求出函數的最小值，即可得解.
【詳解】橢圓，則，，所以，
若直線的斜率為，此時過原點的直線與橢圓交于左、右頂點，此時，
若直線的斜率不為，取橢圓左焦點，連接，，，，
易知四邊形為平行四邊形，即有，
設，則，故，
令，則，
所以當時，時，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
則在處取得極小值即最小值，
，
綜上可得的最小值為．
故答案為：．
3．
【分析】根據題意可知在同一個阿氏圓上，可設設 為線段AB的外分點，由此可根據外接圓的直徑為 ,列出等量關系，并表示出外接圓半徑，設直線AB的參數方程，聯立橢圓的方程，根據參數的幾何意義，進行化簡，可得答案.
【詳解】由題意知點在橢圓內，故，
則可設，不妨設，
故可知在同一個阿氏圓上，設其半徑為 ，不妨設A,B位置如圖：
則由阿氏圓的定義可知， 為線段AB的分比為 的內分點，設 為分比為的外分點，
則 ,
則 ,
故,即 ,
故 ；
設直線AB的方程為 （t為參數，為傾斜角， ），
代入到中得到： ，
，設其兩根為 ，則 ，
故，
由于，其中為銳角，
故 ，當時，取到最大值 ，
故 的最小值為 ，
當時，同理可解得的最小值為，
故答案為：
4．##
【分析】由已知條件求出的坐標，進而求出直線的參數方程，并與拋物線聯立，求出，根據直線參數方程參數的幾何意義即可求解.
【詳解】拋物線C：，焦點坐標為，
過點的直線的傾斜角為，，
直線的參數方程為（為參數），
代入拋物線方程可得：，
解得：，
則.
故答案為：.
5．##
【分析】先根據已知條件求得橢圓的方程.設出的坐標，根據直線、、的方程求得，進而求得與的面積之比.
【詳解】焦點在軸上，兩個頂點分別為點，，，
，，
橢圓的方程為；
設，，可得，
直線的方程為：，
，，直線的方程：，
直線的方程：，
直線與直線的方程聯立可得 ，
整理為：，即，
，計算可得，
代入直線的方程可得.，則，
又.
故答案為：
6．2
【分析】由題意可得出直線的參數方程，再代入圓的方程，利用根與系數的關系及直線參數方程的幾何意義即可求出.
【詳解】因為直線經過點，傾斜角，
所以直線的參數方程為： （為參數），
代入圓得到：
，
設、對應的參數分別為、，則，，
所以
故答案為：2
【點睛】本題考查了直線的參數方程以及幾何意義，屬于一般題.
7．4
【分析】法一：設出的方程為，聯立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用焦半徑得到，從而列出方程，求出答案；
法二：寫成直線的參數方程，代入拋物線方程，利用參數的幾何意義得到方程，求出答案.
【詳解】法一：由題意，故的方程為，與的方程聯立得，
顯然，設，則，
所以，又，
所以，
所以.
法二：直線的斜率為2，設其傾斜角為，則，故，
故直線的參數方程為（為參數），代入，
整理得，，顯然，
設該方程的兩根為，則，則，所以.

故答案為：4
8．2
【分析】設，根據題意，求得過點B的切線l的方程，即可求得M、N坐標，代入面積公式，即可求得面積S的表達式，利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】
設，由題意得，過點B的切線l的方程為：，
令，可得，令，可得，
所以面積，
又點B在橢圓上，所以，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以面積的最小值為2.
故答案為：2
【點睛】關鍵點點睛：設出點的坐標直接寫出過點B的切線方程，進而求得面積S的表達式，再利用基本不等式求解.
9．##4.5
【分析】取切點為P，利用橢圓的光學性質設，由直角三角形三邊關系可得，，根據三角形面積公式及三角函數的性質計算即可.
【詳解】詳解：如圖，延長至，使得，
由題意可知：，故，，三點共線，
因為為斜邊上的中線，故．
取切點P，連接，，作．
由橢圓的光學性質可設，
，
同理可得，
由上分析可得，時取得最大值．
故答案為：
10．
【分析】根據新定義，利用參數法，表示出橢圓上一點與直線上一點的“直角距離”，然后分類討論求出最小值．
【詳解】設直線上的任意一點坐標，
橢圓上任意一點的坐標為
由題意可知
分類討論：
①，
②
③，
∴橢圓上一點與直線上一點的“直角距離”的最小值為．
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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