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專題11 空間幾何體的截面問題
【浙江省慈溪市2023學年第一學期期末測試卷12】
已知直三棱柱，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，則（ ）
A．存在正實數，使得截面為等邊三角形
B．存在正實數，使得截面為平行四邊形
C．當，時，截面為梯形
D．當，，時，截面為梯形
根據空間圖形的基本事實與推論可以選擇特殊位置判定選項A、D.
對于A項，如下圖所示，當時，E，F，G分別為AB，AC，的中點，易知，
所以截面即是等邊三角形，故A選項正確．
對于D項，如下圖所示，取，
則連接EF，EG分別交BC，于H，K，連接KH，此時截面為四邊形FGKH．
易知，，四邊形FGKH不是梯形，D不正確．
（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）
1．已知點P為正方體底面ABCD的中心，用與直線垂直的平面截此正方體，所得截面可能是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
根據平面的性質，空間圖形的基本事實與推論結合三棱柱的特征分析截面的形狀，驗證選項即可.
對于B項，當時，是三角形．所以，若是平行四邊形，則m，n，t必有一個數大于1，
不妨設，即在線段的延長線上．
如下圖所示，設EG與交于與交于，
由圖可知是四邊形是梯形，但不是平行四邊形，故B選項錯誤．
對于C項，當時，，，則直線EG過點，
連接FG交于N，EF交BC于M，連接，
此時截面為四邊形，易知．
在AC上截取，易知在線段上，
連接，則，，∴此時截面為四邊形為梯形（如下圖所示）
（2023下·海南省直轄縣級單位·高一嘉積中學?？计谥校?br/>2．如圖正方體，棱長為1，為中點，為線段上的動點，過A、、的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結論正確的是（ ）

A．當時，為四邊形
B．當時，為等腰梯形
C．當時，為六邊形
D．當時，的面積為
（2023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯考階段練習）
3．已知正方體的棱長為，為的中點，為棱上異于端點的動點，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1、正面共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證明其余的線（或點）在這個平面內；二是證明兩個平面重合；
2、證明共線的方法：一是先由兩個點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是直接證明這些點都在同一條特定直線上；
3、空間幾何體中截面問題：一是熟記特殊幾何體（正方體，正四面體等）中的特殊截面的形狀與計算；二是結合平面的基本性質，以及空間中的平行關系，以及平面的基本性質，找全空間幾何體的截面問題，并作出計算；
4、空間幾何體中的動點軌跡等問題：一般時根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；
根據空間幾何體的特征通過補形得出更特殊熟悉的幾何體正方體，根據正方體的特征判定選項A.
解：將題中直三棱柱補成正方體，如圖，正方體中，各棱長均為1．
對于A：∵為正三解形，所以，在上取一點M，上取點N，上取點K，使得，，可得
故A正確
（2024·全國·模擬預測）
4．如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（ ）

A． B．9 C． D．
（2023上·廣東湛江·高三統考階段練習）
5．如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現準備將該木塊鋸開，則下列關于截面的說法中正確的是（ ）

A．過棱的截面中，截面面積的最小值為
B．若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則
C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為
D．與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個
（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中學校考階段練習）
6．在正方體中，分別為的中點，，點滿足，，則（ ）
A．平面
B．三棱錐的體積與點的位置有關
C．的最小值為
D．當時，平面截正方體的截面形狀為五邊形
（2023下·廣東肇慶·高一統考期末）
7．如圖，已知長方體的三條棱長分別為，，，，，為常數，且滿足，.點為上的動點（不與，重合），過點作截面，使，分別交，于點，.下列說法正確的是（ ）

A．截面是三角形 B．截面的周長為定值
C．存在點，使 D．為定值
（2023·山東濰坊·統考模擬預測）
8．正三棱臺中，，，點，分別為棱，的中點，若過點，，作截面，則截面與上底面的交線長為 ．
（2024上·安徽合肥·高二合肥一中?？茧A段練習）
9．如圖，三棱錐中，且為正三角形，分別是的中點，若截面側面，則此棱錐側面與底面夾角的余弦值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABC
【分析】首先利用線性，線面的垂直關系，首先作出一個平面，再通過平移平面的方法，得到不同的多邊形，即可判斷選項.
【詳解】如圖，設棱長為1，過點作，交于點，連結，
因為，則，
即，所以，所以點為的中點，
因為，，且，且平面，
所以平面，平面,
所以，且，，且平面，
所以平面，此時平面就是滿足條件的一個,
此時所得截面為三角形，

當點平移至點，對應的點平移至點（分別是的中點），形成平面，
此時截面為四邊形，

夾在平面和平面之間的形成五邊形，如下圖，

若截面在平面下方時，形成的截面為三角形，直至縮成一個點，如下圖，

若截面在平面的上方時，形成的截面為五邊形，如下圖，

當點分別移到點的位置，點移到的中點位置，形成的截面為三角形，再往上形成的截面也為三角形，直至縮成一個點，
如下圖，

綜上可知，所的截面為三角形，四邊形，五邊形，沒有六邊形.
故選：ABC
2．ABD
【分析】對于A、B，延長交于點，連接并延長交于，連接.即可得出截面形狀，判斷A、B；對于C項，延長交于點，連接并延長交于點，交延長線于，連接，即可得出截面形狀；對于D項，作出截圖，求出平行四邊形的邊長與夾角，根據面積公式，即可得出答案.
【詳解】對于A，如圖1，延長交于點，連接并延長交于，連接.

因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
則四邊形即為所求截面，故A項正確；
對于B項，如圖2，延長交于點，連接并延長交于，連接.

因為平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因為分別為的中點，所以.
又，所以點與點重合，
所以，截面即為梯形.
又，，，
所以，，所以，
所以，截面四邊形為等腰梯形，故B項正確；
對于C項，如圖3，延長交于點，連接并延長交于點，交延長線于，連接，交于點，連接.

可知，截面為五邊形，故C項錯誤；
對于D項，如圖4，截面即為四邊形.

易知.
又，
在中，，
所以，，
所以，的面積為，故D正確.
故選：ABD.
3．B
【分析】根據題意，結合正方體的幾何結構特征，得出當為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段上，求得，線段的取值范圍，得到答案.
【詳解】在正方體中，平面平面，
因為平面，平面，平面平面，
則平面與平面的交線過點，且與直線平行，與直線相交，
設交點為，如圖所示，

又因為平面，平面，
即分別為，與平面所成的角，
因為，則，且有，當與重合時，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時，即為棱中點；
當點由點向點移動過程中，逐漸減小，點由點向點方向移動；
當點為線段上任意一點時，平面只與該正方體的4個表而有交線，即可用成四邊形；
當點在線段延長線上時，直線必與棱交于除點外的點，
又點與不重合，此時，平面與該正方體的5個表面有交線，截面為五邊形，
如圖所示．

因此．當為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段（除點外）上，即，可得，則，
所以線段的取值范圍是，
所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.
故選：B．
【點睛】
知識方法：對于空間共面、共線問題，以及幾何體的截面問題的策略：
1、正面共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證明其余的線（或點）在這個平面內；二是證明兩個平面重合；
2、證明共線的方法：一是先由兩個點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是直接證明這些點都在同一條特定直線上；
3、空間幾何體中截面問題：一是熟記特殊幾何體（正方體，正四面體等）中的特殊截面的形狀與計算；二是結合平面的基本性質，以及空間中的平行關系，以及平面的基本性質，找全空間幾何體的截面問題，并作出計算；
4、空間幾何體中的動點軌跡等問題：一般時根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；
4．A
【分析】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.
【詳解】
如圖，取AB的中點G，連接GE，，．
因為E為BC的中點，所以，，
又，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，，
所以，，
所以用過點，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，
其周長為．
故選：A．
5．ACD
【分析】利用平面的性質確定截面，再解三角形即可判定A、B，利用基本不等式可判定C，利用空間想象結合圖形性質分類討論可判定D項.
【詳解】設截面與棱的交點為，
對于A項，如圖1，過棱的截面為，易知當為棱的中點時，,且，平面，故平面，
取的中點，連接，則，
又平面，，即是異面直線的公垂線，，
故此時的面積取得最小值，最小值為，正確；

對于B項，易知，故結合A項，可設，
在中，由余弦定理，
所以，即，B錯誤；
對于C項，如圖2，當截面為平行四邊形時，，，
由正四面體的性質可知，故，從而平行四邊形為長方形.
設，則，所以長方形的面積，
當且僅當時，等號成立，正確；

對于D項，與該木塊各個頂點的距離都相等的截面分為兩類.第一類：平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個.
第二類：平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個.
故與該木塊各個頂點的距離都相等的截面共有7個，D正確.
故選：ACD
6．AD
【詳解】
A選項，以為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
則，，，
，
，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，故A正確；
B選項，因為在正方體中，且，
所以四邊形為平行四邊形，因此，
又平面，平面，所以平面，
因此棱上的所有點到平面的距離都相等，又是棱上的動點，
所以三棱錐的體積始終為定值，故B錯；
C選項，，，，因為，，所以，
所以，
，
又，
當時，有最小值，最小值為，故C錯誤；
D選項，連接，取中點為，當與交點為點時，平面截正方體截面圖形為四邊形，如圖1，
此時，，，，此時，
當時，如圖2，截面為五邊形EBFKL，故D正確；
故選：AD.
7．AD
【分析】以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，，，，利用線面垂直求出，得點的坐標，根據點的坐標對四個選項逐個判斷可得答案.
【詳解】以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系；
則，，設，，，，
，，，
因為，所以，得，
因為，所以，即點在線段上（不與和重合），
，，即，
所以點在線段上（不與和重合），
所以截面是三角形，故A正確；
因為，所以，
所以，，，
所以截面的周長為，
因為為常數，所以當增大時，周長也增大，故周長不為定值，故B錯誤；
由，，得，得，這不可能，故C錯誤；
由以上知，為定值，故D正確.

故選：AD
【點睛】關鍵點點睛：建立空間直角坐標系，利用線面垂直求出點的坐標是解題關鍵.
8．
【分析】
作出平面與平面的交線，由正三棱臺中相似求出，再由余弦定理求解.
【詳解】連接并延長交的延長線于點，連接交于點，連接，如圖，
則線段即為截面與上底面的交線，
因為F為的中點，，
所以.
過點E作的平行線交于點，
因為，，
所以，
在中，
.
故答案為：
9．
【分析】
取和的中點分別為，，根據二面角的定義可得，進而可得為所作的二面角，根據三角形的邊角關系即可求解二面角余弦值．
【詳解】
取和的中點分別為，，
，分別是，的中點，
,,
由于且為正三角形，
，故,
由于，分別是，的中點，因此，
故,
由于截面側面，所以,進而可得,
由于
故為側面與底面的二面角的平面角，
設， ，，
在直角中， ，
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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