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專題2雙曲線方程
【2023年天津第9題】
雙曲線的左 右焦點分別為.過作其中一條漸近線的垂線，垂足為.已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【方法名稱】坐標法
【思路分析】本題根據已知條件得到點P F1的坐標，然后利用直線的斜率公式將目標坐標化，建立等量關系.
如圖，因為，不妨設漸近線方程為，即，所以，
所以..因為，所以，所以，所以，
所以，因為，所以，
所以，解得，所以雙曲線的方程為，故選：D
【舉一反三】
【海南省文昌中學2023屆高三模擬預測】
1．已知雙曲線為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則雙曲線的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
2．平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點，，．若的垂心為的焦點，且點在雙曲線上，則雙曲線的方程為 ．
【方法名稱】幾何法+正弦定理
【思路分析】由雙曲線的焦點到漸近線的距離為，即得；再分別在與中，利用正弦定理得到的關系，求出（或），即可得到雙曲線的方程.
如圖所示，，不妨設漸近線方程為，即，則，所以，且.
設，，則，得
在中，由正弦定理可得，即，①
在中，由正弦定理可得，即，②
，得③，又④，
由③④得，，解得，
又，所以雙曲線的方程為，故選：D.
【舉一反三】
【浙江省名校協作體2022-2023學年高三下學期開學聯考適應性】
3．如圖，設，是雙曲線的左、右焦點，過點作漸近線的平行線交另外一條漸近線于點，若的面積為，離心率滿足，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【遼寧省實驗中學2023屆高三第五次模擬】
4．設O為坐標原點，，是雙曲線C：的左、右焦點，過作圓O：的一條切線，切點為T．線段交C于點P，若的面積為，且，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【方法名稱】幾何法+構造直角三角形
【思路分析】借助△OPF2為直角三角形，且PB垂直OF2，根據相似比得到OB，PB，進而明確BF2，利用解直角三角形得到轉化為的關系.
由已知可得，，中，由面積公式：，
再有，
，由①②得，.
【舉一反三】
5．已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【四川省瀘州市2023屆高三三摸】
6．設為坐標原點，，是雙曲線：的左、右焦點．過作圓：的一條切線，切點為，線段交于點，若，的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【方法名稱】幾何法+余弦定理
【思路分析】在中，利用余弦定理和余弦定理，建立等量關系.
∵，∴，在中，，
又，∴，
又，
聯立，解得，
∴.
【舉一反三】
7．已知雙曲線的左、右焦點分別是、，是其右支上的兩點，，則該雙曲線的方程是（ ）
A． B． C． D．
【陜西省寶雞市2023屆高三三模】
8．已知，分別為雙曲線C：（，）的左、右焦點，C的一條漸近線l的方程為，且到l的距離為，點P為C在第一象限上的點，點Q的坐標為，PQ為的平分線．則下列正確的是（ ）
A．雙曲線的方程為 B．
C． D．的面積為
【方法名稱】幾何法+平行四邊形的幾何性質+正弦定理
【思路分析】由O為中點，借助平行四邊性的性質可知，然后利用在中正弦定理建立等量關系.
設，，，
，在中，，
，，，故.
【舉一反三】
9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過原點的直線與交于，兩點．若，，則的方程為 ．
【四川省內江市高中2023屆高三第三次模擬】
10．設，分別是雙曲線）的左、右焦點，O為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足，，則雙曲線的方程為 ．
【湖南省郴州市2023屆高三下學期5月適應性模擬】
11．已知雙曲線的離心率為，以坐標原點為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，若四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【甘肅省定西市2023屆高三下學期高考模擬】
12．已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【天津外國語大學附屬外國語學校2022-2023學年高二上學期期末線上質量監測】
13．已知雙曲線H：（），以原點為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【河南省大聯考2022-2023學年高二下學期期末】
14．已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，.以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點A，雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，則直線的斜率為 .
15．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，M是雙曲線C的右支上一點，雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3，與的夾角為，，則雙曲線C的標準方程為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據雙曲線的定義及勾股定理得出，再根據點在雙曲線上求雙曲線方程.
【詳解】設為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，
如圖所示，過點作于點.

因為，所以，
因為，
所以，所以，
故，得.
因為，所以，故點，
將代入雙曲線中，
即，化簡得，
，
解得或（舍去），故B項正確.
故選：B.
2．
【分析】首先求出、的坐標，依題意可得，即可得到，再根據點在雙曲線上，求出、，即可求出雙曲線方程；
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，
由，解得或，所以，
由，解得或，所以．
∵為的垂心，，即，解得，
∵點雙曲線上，即，∴，即雙曲線方程為；
故答案為：
3．B
【分析】根據幾何關系列出關于漸近線傾斜角與面積的等量關系式，求出漸近線的傾斜角，從而根據漸近線方程計算的值，確定雙曲線的方程
【詳解】設雙曲線的漸近線的傾斜角為，則，在等腰三角形中，根據正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，從而，所以雙曲的方程為，
故選：B．
【點睛】本題目比較巧妙的地方在于借助漸近線的傾斜角，得到傾斜角與的關系，結合解三角形的方法來表示三角形的面積，求出的值；題目也可以用漸近線方程直接求解
4．A
【分析】由雙曲線定義，的面積，直角△中的銳角三角函數和△中的正弦定理、余弦定理建立，，之間的關系方程，再求解即可.
【詳解】
由圓的方程知，，
又，在直角△中，，
且.
在△中，則，故.
在△中，，
由正弦定理，，則，
∴由雙曲線定義，，又，，則，
∴，即.
∵為直角，易知為鈍角，由知，，
在△中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又，將代入，解得.
∴雙曲線C的方程：.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：建立起，，之間的關系，通過方程組進行求解.作為選擇題，可以適當運用解題技巧：當得到，之間的第一個關系時，可通過將選項中的，依次代入檢驗，快速選出正確選項.
5．D
【分析】設，連接，則有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再結合，即可求得答案.
【詳解】解：設，則，
由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，
連接，則有，，
由于在以為直徑的圓周上，
∴，
∵為平行四邊形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因為，
所以，，
所以雙曲線的方程為.
故選:D.
6．D
【分析】由雙曲線定義，的面積，直角中的銳角三角函數和中的正弦定理、余弦定理建立，，之間的關系方程，再求解即可.
【詳解】
由圓的方程知，，
又∵，∴在直角中，，
且.
在中，，的面積，
∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由雙曲線定義，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵為直角，∴易知為鈍角，∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又∵，將代入，解得.
∴雙曲線的方程為：.
故選：D.
【點睛】本題的解題關鍵，是建立起，，之間的關系，通過方程組進行求解.作為選擇題，可以適當運用解題技巧：當得到，之間的第一個關系時，可以通過將選項中的，依次代入檢驗，快速選出正確選項.
7．D
【解析】先根據長度關系以及雙曲線的定義求解出，然后利用對應的余弦定理即可求解出的值，從而雙曲線的方程可求.
【詳解】設，則，
，由得，
設，
由余弦定理可知：
由①，②得，又，，
∴雙曲線方程為.
故選：D.
【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，其中涉及到互為鄰補角對應的余弦定理以及雙曲線的定義，對學生的轉化與計算能力要求較高，難度較難.如果兩個角互為鄰補角，則兩角的余弦值和為零.
8．D
【分析】由題求得雙曲線的方程，利用角平分線定理及雙曲線的定義，解出，的長，選出正確選項.
【詳解】因為一條漸近線方程為，所以，
因為到l的距離，所以，雙曲線的方程為，A錯誤；
因為，，，由角平分線定理，，
即，B錯誤；
又因為，所以，，
因為，在中，由余弦定理得 ，則，
，，
，C錯誤；
的面積為，D正確；
故選：D.
【點睛】由雙曲線上點到兩個焦點的距離之差的絕對值為2a，求得，，結合三角形知識解決面積等問題.
9．
【解析】根據題意，作出示意圖，構造平行四邊形，根據雙曲線定義，結合余弦定理即可求解
【詳解】由過原點的直線與交于，兩點，
則，在雙曲線的兩支，且，
連結，，則四邊形為平行四邊形，
所以，，．
在中，由余弦定理得，
，
即，化簡得，．
又由雙曲線的定義，，即．
所以，
故．從而，故雙曲線的方程為．
故答案為：.
【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，注意其定義的使用，以及本題中平行四邊形的構造，屬中檔題.
10．
【分析】作圖，根據圖中的幾何關系以及條件求出b即可.
【詳解】依題意作下圖：
由條件 知：E是 的中點，并且 ，所以 是等腰三角形， ，
又 ， 的外接圓是以O為圓心， 為半徑的圓， ，
由 知 ，在 中， ，
， ，
根據雙曲線的定義有： ，即 ，
雙曲線的方程為： ；
故答案為：.
11．B
【分析】根據離心率求出，得漸近線方程為，設直線的傾斜角為，則，求出，利用面積求出即可得解.
【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，得，
所以雙曲線的漸近線方程為，
設直線的傾斜角為，則，
由對稱性不妨令點A，B分別在第一、四象限，坐標原點為O，則，
于是得，
而雙曲線的虛半軸長為b，即，
顯然四邊形為矩形，其面積，得，所以，
所以雙曲線的方程為．
故選：B．
12．D
【分析】由題意可得，則直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程.
【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，
所以，則雙曲線方程為，，，
所以直線為，設，
由，得，
則，
所以，
因為，，
所以，
因為的周長為36，所以，
所以，得，所以雙曲線方程為，
故選：D
13．B
【分析】根據給定條件，求出雙曲線在第一三象限的漸近線傾斜角正切，再結合四邊形面積求解作答.
【詳解】雙曲線H：的漸近線方程為：，令直線的傾斜角為，則，
由對稱性不妨令點分別在第一、四象限，坐標原點為O，則，
于是得，而雙曲線的虛半軸長為3，
即，顯然四邊形為矩形，其面積，解得
所以雙曲線的方程為.
故選：B
14．
【分析】根據條件求出雙曲線方程再結合圓的方程，聯立可解出點坐標，進一步計算即可.
【詳解】,,
又一條漸近線的傾斜角為，所以，結合，
可解的
所以雙曲線的方程為①，
又線段為直徑的圓的方程為②，
聯立①②，結合點在第一象限，可得,
又,則
故答案為：.
15．
【分析】先由焦點到漸近線的距離求出b，再利用向量知識及定義得到，，最后利用余弦定理及，求出a，即可求出雙曲線的標準方程
【詳解】∵雙曲線的一條漸近線為，即，
故焦點到漸近線的距離，∴.
∵向量與的夾角為，∴.
∵，
∴，∴，
由雙曲線的定義知，，∴，.
在中，由余弦定理知
，
又，∴，∴，
∴該雙曲線的標準方程為.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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