資源簡介

專題7 圓錐曲線第二定義的應(yīng)用
【浙江省9+1高中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】人教A版選擇性必修第一冊在橢圓章節(jié)的最后《用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡：橢圓》中探究得出橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離之比是常數(shù)．已知橢圓C：，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，直線l：與x相交于點(diǎn)M，過F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），分別過點(diǎn)A，B向l作垂線，垂足為，則（ ）
A． B．
C．直線MA與橢圓相切時(shí)， D．
由第二定義得出，由結(jié)合相似性質(zhì)得出，進(jìn)而由第二定義證明，聯(lián)立直線和橢圓方程，由判別式等于0結(jié)合韋達(dá)定理、對稱性得出，由銳角三角函數(shù)的定義結(jié)合第二定義得出.
對A：，則，，，A對
對B：過A作，由，
，
∴，∴，B對
對于C：設(shè)，，
，∴，∴，C錯(cuò)，
對于D：，
又，則，D對.
1．《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對的.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù).若某條直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“成雙直線”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為
B．直線為成雙直線
C．若直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡上不同于的一點(diǎn)，且直線的斜率分別為，則
D．點(diǎn)為點(diǎn)的軌跡上的任意一點(diǎn)，，，則面積為
2．已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，則的最小值是 ，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
由銳角三角函數(shù)的定義結(jié)合第二定義得出，由正弦定理結(jié)合第二定義、得出，根據(jù)橢圓的對稱性得出軸，結(jié)合通徑公式得出，由，及、平行線的性質(zhì)證明.
解：在中：記，
又∵，∴，
在中，，∴，
同理，∴
B選項(xiàng)成立
對于C項(xiàng)：由對稱性及AB過F，當(dāng)直線MA與橢圓相切時(shí)，軸，此時(shí)，故C錯(cuò)
對于D：由以上結(jié)論：，及，即，而，∴
3．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .
4．已知橢圓上一點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，則點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離為（ ）
A． B． C． D．
5．橢圓上有一點(diǎn)，它到右準(zhǔn)線的距離是，則點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是（ ）
A． B． C． D．
6．拋物線的焦點(diǎn)為.對于上一點(diǎn)，若的準(zhǔn)線上只存在一個(gè)點(diǎn)，使得為等腰三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，射線與交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)到軸的距離是（ ）
A． B． C． D．1
8．已知雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，到右焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為 ．
10．若點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則P滿足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點(diǎn)Q，使得Q到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．BC
【分析】對A，根據(jù)題意先求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程判斷即可;對B，聯(lián)立與，得出二次方程，根據(jù)判別式判斷是否有解即可;對C，設(shè)，再表達(dá)出，結(jié)合橢圓的方程求解即可;對D，根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積公式求解即可.
【詳解】對A，設(shè)，則，即，化簡得，故A錯(cuò);
對B，聯(lián)立，消去得，，故直線上存在這樣的點(diǎn)，
所以為成雙直線，故B正確;
對C，設(shè)，則，所以
，故C正確.
對D，易得分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，，
設(shè)，根據(jù)余弦定理得，
解得，則，
（或根據(jù)結(jié)論得面積為，）故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
2． 3
【分析】根據(jù)橢圓方程求出離心率與右準(zhǔn)線方程，設(shè)在右準(zhǔn)線上的射影為，利用橢圓的第二定義，把轉(zhuǎn)化到右準(zhǔn)線的距離，利用“兩點(diǎn)間的距離最短”和條件，求出最小值以及對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：由橢圓的方程，可知，，，所以，右準(zhǔn)線．
如圖，設(shè)在右準(zhǔn)線上的射影為，
根據(jù)橢圓的第二定義，有，即，所以．
顯然，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，
即．
此時(shí)，將代入橢圓的方程得或（舍去），所以．
故答案為：；.
3．
【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡整理即可求解.
【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，
所以，即，
整理可得：，即，
故答案為：.
4．A
【分析】根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義可求得，由橢圓定義可求得.
【詳解】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，到右準(zhǔn)線的距離為，
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，解得：，
又，解得：，到它的左焦點(diǎn)距離為．
故選：A.
5．A
【解析】根據(jù)橢圓方程，先求出橢圓離心率，結(jié)合題中條件，由橢圓的第二定義，即可得出結(jié)果.
【詳解】由得，，則，
所以橢圓離心率為，
記點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是，又點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是，
根據(jù)橢圓的第二定義可得，
，即.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓第二定義的應(yīng)用，考查求橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，屬于基礎(chǔ)題型.
6．D
【解析】由拋物線的定義可得準(zhǔn)線垂直時(shí)，為等腰三角形，線段的垂直平分線交準(zhǔn)線于點(diǎn)此時(shí)為等腰三角形，所以點(diǎn)與重合，即可得為等邊三角形，利用即可求解.
【詳解】
所以準(zhǔn)線垂直時(shí)，由拋物線的定義可得，此時(shí)為等腰三角形，
作線段的垂直平分線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，
此時(shí)為等腰三角形，
因?yàn)槿舻臏?zhǔn)線上只存在一個(gè)點(diǎn)，使得為等腰三角形，
所以與重合，所以，所以，
所以為等邊三角形，
，，
所以，整理可得：，
解得：或（舍）
所以則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是緊扣準(zhǔn)線上只存在一個(gè)點(diǎn)，使得為等腰三角形，可得準(zhǔn)線垂直時(shí)的點(diǎn)應(yīng)該是線段的垂直平分線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，可得為等邊三角形.
7．B
【分析】結(jié)合拋物線定義可得：，即，即，則，求得直線的方程，聯(lián)立即可求得的橫坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)到軸的距離．
【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為，如圖過作，
由拋物線定義得：，由，
則，則，，
則，
即，則，
拋物線方程，焦點(diǎn)，則直線的方程為：，
，整理得：，
解得：，或，
由于射線與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
點(diǎn)到軸的距離，
故選：B．
8．B
【分析】根據(jù)得，，再換元利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】解：由雙曲線的第二定義可知，，
右支上的點(diǎn)，滿足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，則，
令，，可得
而在，單調(diào)遞減，，，，
故選：B
9．2
【分析】利用橢圓上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距離為1，可得2m＝2a＝3+1，解得a＝m，可得b2＝m2﹣1，．設(shè)P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為d，再利用橢圓的第二定義可得，即可解得d．
【詳解】∵橢圓上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距離為1，
∴2m＝2a＝3+1，
解得a＝m＝2，∴b2＝m2﹣1＝3，
∴1．
設(shè)P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為d，則，解得d＝2．
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、橢圓的第二定義，屬于基礎(chǔ)題．
10．
【分析】若Q到的距離為有，由題設(shè)有，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)，即可求離心率的范圍.
【詳解】由題意，，即，整理有，
所以或，
若Q到的距離為，則Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，又Q在C的右支上，
所以，則，又，
綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若Q到的距離為，根據(jù)給定性質(zhì)有Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，再由雙曲線性質(zhì)及已知條件列不等式組求離心率范圍.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑