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專(zhuān)題4解析幾何中的面積問(wèn)題
（2024皖豫聯(lián)盟）已知橢圓C：的離心率為，上頂點(diǎn)為A，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，且．若四邊形的面積為，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____．
通過(guò)已知條件結(jié)合弦長(zhǎng)公式分別求出底邊AF2和高DE的長(zhǎng)度，利用平面圖形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.
設(shè)橢圓C的半焦距為c（c＞0），，則，橢圓C：．由題可知為等邊三角形，因?yàn)檫^(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，所以．由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，直線DE的方程為，與C的方程聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，
所以，解得c＝1，則a＝2．故c的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4．
1．已知，兩點(diǎn)分別為橢圓的左焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為 .
2．橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為 ．
通過(guò)對(duì)原本的幾何圖形進(jìn)行合適的分割（通常水平或豎直方向切分，這樣使得高可以直接和坐標(biāo)建立關(guān)聯(lián)，方便使用韋達(dá)定理），，讓它轉(zhuǎn)化為一系列更易計(jì)算的圖形面積.
（這里僅給出的不同算法）
3．在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn) 下頂點(diǎn) 右焦點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn). 若直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求四邊形的面積.
4．已知橢圓：的左 右頂點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為.
(1)設(shè)點(diǎn)為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).直線于軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積；
(2)設(shè)直線l與橢圓交于不同于右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，求的最大值.
利用直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）t的幾何意義，將線段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)的運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.
∵，∴，∴，∴
∵，∴
易知，的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）
設(shè)D的參為，E的參為
將代入中，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，∴
∵，∴，∴
5．已知橢圓：，橢圓：，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
(1)求直線AB的方程（用，表示）；
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OAPB的面積.
（提示：過(guò)橢圓C：上一點(diǎn)與C相切的直線方程為）
6．已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,點(diǎn)(0,)是橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線x=2與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P位于第一象限,A,B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn);
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的取值范圍;
②當(dāng)點(diǎn)A,B在橢圓上運(yùn)動(dòng),且滿(mǎn)足∠APQ=∠BPQ時(shí),直線AB的斜率是否為定值 若是,求出此定值;若不是,說(shuō)明理由.
7．已知雙曲線離心率為，，分別是左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，直線，分別交雙曲線右支于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，.
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的最大值.
8．已知雙曲線為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其右支上一點(diǎn)，在處作雙曲線的切線.
(1)若的坐標(biāo)為，求證：為的角平分線；
(2)過(guò)分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，求和的面積之積的最小值.
9．已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，直線經(jīng)過(guò)，斜率為，與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的面積.
10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的倍且過(guò)點(diǎn)（4，﹣）
（1）求雙曲線方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上；
（3）在（2）條件下，若M F2交雙曲線另一點(diǎn)N，求△F1MN的面積.
11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，雙曲線方程為，直線與雙曲線的交點(diǎn)為且．
（Ⅰ）求橢圓與雙曲線的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積取最大值時(shí)，求的面積．
12．如圖，拋物線與圓交于A，B，C，D四點(diǎn)，直線AC與直線BD交于點(diǎn)E．
(1)請(qǐng)證明E為定點(diǎn)， 并求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求拋物線M的方程．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．
【解析】由橢圓的方程可得，的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，及的長(zhǎng)度，當(dāng)三角形的面積最大時(shí)為過(guò)點(diǎn)的直線與直線平行且與橢圓相切，設(shè)過(guò)的直線方程與橢圓聯(lián)立，由判別式等于0可得參數(shù)的值，即可求解.
【詳解】由橢圓方程可得，
所以直線的方程為：，
由題意可得當(dāng)過(guò)的直線與直線平行且與橢圓相切時(shí)，
兩條平行線間的距離最大時(shí)，三角形的面積最大，
設(shè)過(guò)點(diǎn)與平行的切線方程為：，
直線與直線的距離為，
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得： ，
整理可得：，
，可得，解得，
所以當(dāng)時(shí)最大，
這時(shí)的最大值為：
.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓內(nèi)接三角形面積最值、直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.
2．4
【分析】設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立橢圓方程與直線方程求出第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)，則內(nèi)接矩形的面積可以用k表示出來(lái)，再結(jié)合基本不等式的知識(shí)可求最大值.
【詳解】由題意的方程可知：矩形的對(duì)角線的斜率存在．
設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為，不妨設(shè)．
聯(lián)立，
化為，取第一象限的頂點(diǎn)，
解得，所以
∴內(nèi)接矩形的面積．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為4．
故答案為：4.
3．
【分析】寫(xiě)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)后，可求得四邊形面積；
【詳解】由題意，，，，
所以直線方程為，
由得或，所以，
所以.
4．(1)四邊形的面積為定值2
(2)
【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線的方程和直線的方程，列出的表達(dá)式化簡(jiǎn)即可得面積為2.
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，可得，而，即可求得的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的方程為，所以.
設(shè)，則，即.
，則直線的方程為：，
令，得；
同理，直線的方程為：，
令，得.
所以
.
即四邊形的面積為定值2.
（2）由題意知，直線的斜率不為0，
則不妨設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立消去得，
，化簡(jiǎn)整理，得.
設(shè)，則.
因?yàn)椋?
因?yàn)椋裕?br/>得，
將代入上式，
得，
得，
整理得到：，解得或（舍去），.
所以直線的方程為，則直線恒過(guò)點(diǎn)，
所以.
設(shè)，則，
易知在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
又，
所以.
【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)切線方程，聯(lián)立即可求解，
（2）聯(lián)立和橢圓的方程，得韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式表達(dá)面積即可求解.
【詳解】（1）不妨設(shè)，，：，：，
∴A，B處的切線方程分別為，，
因?yàn)檫@兩條直線均過(guò)，
∴，
∴：.
（2）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立 ，
∵，代入上式，化簡(jiǎn)得，
則，，
∴，
到直線的距離，
O到直線的距離，
∴，
當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證面積也為，
所以綜上：四邊形OAPB的面積為定值
6．（1）；（2）見(jiàn)解析
【分析】⑴設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0)，由橢圓的性質(zhì)求出，由此求得橢圓的方程
⑵①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，直線AB的方程為，與橢圓聯(lián)立，得到，由此利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式求出四邊形APBQ的面積的取值范圍
②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線PA的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求得答案
【詳解】(1)設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),由題意可知,b=,a2=b2+c2,解得a=2,
∴橢圓C的方程為=1.
(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=x+t,
聯(lián)立
消y可得,2x2+4tx+4t2-8=0,
即x2+2tx+2t2-4=0,
則有x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.
對(duì)于=1,令x=2,得P(2,1),Q(2,-1),
將P,Q分別代入直線可得,t=0,t=-2,
由點(diǎn)A,B在直線x=2的兩側(cè),故-2四邊形APBQ的面積為
S=S△APQ+S△BPQ
=|PQ|·|x2-x1|
=×2×|x2-x1|
=
=,
而-2②當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),直線PA,PB的斜率之和為0,
不妨設(shè)直線PA的斜率為k,則直線PB的斜率為-k,
所以直線PA的方程為y-1=k(x-2),
即kx-y+1-2k=0,
聯(lián)立
消去y可得,(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,
所以x1+2=.
同理直線PB的方程為y-1=-k(x-2),
可得,x2+2=,
所以x1+x2=,x1-x2=,
所以kAB=
=
=
=,
故直線AB的斜率為定值.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓錐曲線的定義，性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了直線和圓錐曲線相交的性質(zhì)，直線的斜率公式，韋達(dá)定理的應(yīng)用，有一定的計(jì)算量，屬于難題．
7．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，可判斷，表示出，，即可求出，再根據(jù)離心率求出，從而求出，即可得解；
（2）由（1）可知直線，的方程。聯(lián)立直線與雙曲線方程求出、，由，代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再換元利用函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）依題意設(shè)，，，
若，此時(shí)，，則，，不符合題意，所以，
則，，又，
所以，解得，又，所以，則，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知直線：，：，
由，消去整理得，
所以，又，所以，
由，消去整理得，
所以，又，所以，
綜上可得，
所以，，
又，
又
，
所以，
令，則，
所以，
令，則，所以，
所以當(dāng)時(shí)，
即時(shí).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
8．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）易得點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)交軸于點(diǎn)，由判斷；
（2）過(guò)的切線，由時(shí)，得到，聯(lián)立，得到，再由，然后由求解.
【詳解】（1）解：由題意點(diǎn)處的切線為，
所以過(guò)點(diǎn)處的切線方程為，
交軸于點(diǎn)，則，
即，所以為的角平分線；
（2）過(guò)的切線，
當(dāng)時(shí)，即不為右頂點(diǎn)時(shí)，，
即，
（或由直線與單支有兩個(gè)交點(diǎn)，則也可）
聯(lián)立
設(shè)，則
所以
又
所以，
，
當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為右頂點(diǎn)時(shí)，，
所以，
所以的最小值為.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知漸近線相同，設(shè)出雙曲線的方程為，即可代入點(diǎn)求出答案；
（2）根據(jù)第一問(wèn)中雙曲線的方程得出，，根據(jù)已知得出直線的方程，即可聯(lián)立消去，設(shè)，，則可根據(jù)韋達(dá)定理得出，，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得出，即可計(jì)算得出答案.
【詳解】（1）雙曲線與雙曲線的漸近線相同，
則雙曲線的方程可化為，
將點(diǎn)代入可得：，解得，
故雙曲線的方程為：，即；
（2）由第一問(wèn)可得，，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，斜率為，
則直線的方程為，即，
代入雙曲線的方程中，得：，
設(shè)，，
則，，
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知與符號(hào)相反，
則，
因?yàn)椋?br/>所以，
則.
10．（1）x2﹣y2=6；（2）證明見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）求出離心率e，故可等軸設(shè)雙曲線的方程為x2﹣y2=λ（λ≠2），過(guò)點(diǎn)（4，﹣），可得16﹣10=λ，即可求雙曲線方程；
（2）求出向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明結(jié)論.
（3）利用M與F2可得直線方程，求出N的縱坐標(biāo)，然后求解三角形的面積.
【詳解】（1）∵焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，
∴e=，故可等軸設(shè)雙曲線的方程為x2﹣y2=λ（λ≠2），
∵過(guò)點(diǎn)（4，﹣），∴16﹣10=λ，
∴λ=6.
∴雙曲線方程為x2﹣y2=6.
（2）證明：由（1）可知：在雙曲線中，a=b=，∴c=2.
∴F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）.
∴=（﹣2﹣3，﹣m），
=（2﹣3，﹣m）.
∴=+m2=﹣3+m2.
∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9﹣m2=6，∴m2=3.
∴，
∴點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上；
（3）由（2）不妨M（3，），F(xiàn)2（2，0），直線M F2的方程為：y=（﹣2﹣）（x﹣2），代入雙曲線方程可得：
消去x可得：（6﹣4）y2﹣4（2﹣）y+6=0，
因?yàn)镸的縱坐標(biāo)為，
所以N的縱坐標(biāo)為： ，
解得y2=﹣（2+），
△F1MN的面積為： =12+4.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查直線和雙曲線的交點(diǎn)的求法，考查雙曲線中三角形的面積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
11．（Ⅰ）橢圓方程為．雙曲線方程為；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，可得，由可求點(diǎn),代入雙曲線的方程可得，從而可求出橢圓與雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)，，不妨設(shè)，，內(nèi)切圓半徑，由橢圓定義可知的周長(zhǎng)是，又因?yàn)椋?dāng)圓的半徑最大時(shí)，面積最大，又因?yàn)椋疵娣e最大時(shí)，圓的面積最大，又，所以設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得，換元，轉(zhuǎn)化為，由基本不等式求解即可．
【詳解】（Ⅰ）橢圓：的離心率為，則，
不妨設(shè)，由得，，
把代入雙曲線方程得，解得，
所以橢圓方程為．所以雙曲線的方程為．
（Ⅱ）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，，內(nèi)切圓半徑．
所以的周長(zhǎng)是，
所以，
所以當(dāng)圓的半徑最大時(shí)，面積最大，即，
設(shè)直線的方程為，
，消去得，
解得，，
所以，
不妨設(shè)，于是，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．
故直線與橢圓交于兩點(diǎn)使得的內(nèi)切圓的面積最大．
所以，所以，即，
故的面積為
12．(1)證明見(jiàn)解析，
(2)
【分析】
（1）設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將拋物線與圓方程聯(lián)立，消去，得到二元一次方程，表示出直線的方程，結(jié)合上面韋達(dá)定理和拋物線的點(diǎn)可得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，的面積可以由表示，利用第（1）問(wèn)的韋達(dá)定理得出的結(jié)論化簡(jiǎn)，可找出的面積的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的最值，求出，即可求出拋物線M的方程.
【詳解】（1）證明：設(shè)，，則，．
由得，
則有
解得．又，所以．
由圓與拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)在軸上，
設(shè)．直線的方程為，
則，所以．
又，得，
所以，所以為定點(diǎn)，坐標(biāo)為．
（2）由題意知的面積與的面積相等，設(shè)的面積為．
如圖，連接AD，BC，AB，CD四邊形ABCD為等腰梯形，其面積為，
則
由（1）知，，，
所以，
所以
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為6，這時(shí)拋物線的方程為．
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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