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專題3 復雜背景的離心率的求解問題
【2023·湖北·高三統考階段練習 題8】如圖，為雙曲線的左右焦點，過的直線交雙曲線于兩點，為線段的中點，若對于線段上的任意點，都有成立，且內切圓的圓心在直線上.則雙曲線的離心率是（ ）
【方法名稱】幾何法
【思路分析】極化恒等式結合焦點三角形性質求解
解法2：如圖1，取中點為Q，連接EQ，PQ.則，
.
因，則，因直線外一點到直線連線中垂線段最短，則為垂線.因Q為中點，E為中點，則
，得.又DO為直角三角形斜邊中線，則.
如圖2，設內切圓的圓心為I，內切圓與交點為M，與交點為T，與交點為N.則，，又，則.
又由切線性質，可知，則
.
則離心率為.
故選：D
解法2：向量的線性運算、數量積運算律結合焦點三角形性質求解
取中點為，連接，.
則，，則，
同理，
又因為，所以，
而為上任一點，故是所有線段中的長度的最小值，故，
在中，分別為的中點，，故，故，
在，為的中點，所以，故，
在中，設內切圓與三邊的切點分別為，因為
所以而，故，故，
故，故選：D
【舉一反三】
1．已知為坐標原點，為橢圓的左、右焦點，，是橢圓上異于頂點的一點，點是以為底的等腰的內切圓的圓心，過作于點，，則橢圓的離心率為 .
2．已知橢圓的右焦點是，直線交橢圓于兩點﹐直線與橢圓的另一個交點為，若，則橢圓的離心率為 ．
【方法名稱】數形結合法
【思路分析】數量積結合二次函數的性質判斷垂直，再結合焦點三角形性質求解
解法3：如圖，設，
故，
設，依題意知當與重合時最小，即時最小，
而，故即，故.
如圖2，設內切圓的圓心為I，內切圓與交點為M，與交點為T，與交點為N.則，，又，則.
又由切線性質，可知，則
.
則離心率為.
故選：D
解法4：設，
則，故，
故，所以，
整理得到：
，其中，
由題設可得當且僅當時，取最小值，故，
所以，故，
所以，所以即，
如圖2，設內切圓的圓心為I，內切圓與交點為M，與交點為T，與交點為N.則，，又，則.
又由切線性質，可知，則
.
則離心率為.
故選：D
【舉一反三】
3．已知橢圓的上、下焦點分別為、，焦距為，與坐標軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，若，則橢圓的離心率為 ．
4．已知橢圓的左，右焦點分別為，，橢圓C在第一象限存在點M，使得，直線與y軸交于點A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為 .
【方法名稱】代數法
【思路分析】利用二次函數的最值結合距離公式求解
設，
，
由題意當時得取最小值，
所以
即為直角三角形斜邊上的中線，即
不妨設內切圓圓心為，半徑為，
同理可得：
解方程組可得
則離心率
故選：D
【舉一反三】
5．已知橢圓：的右焦點為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，弦的垂直平分線交軸于點P，若，則橢圓的離心率 ．
6．已知橢圓，是長軸的左、右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，且為常數，則橢圓離心率為 .
7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，點是直線與軸的交點，的內切圓與相切于點，若，則橢圓的離心率 ．
8．，是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為 .
9．若橢圓上存在一點M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點），則橢圓的離心率e的取值范圍為 .
10．已知橢圓的一個焦點為，橢圓上存在點，使得，則橢圓的離心率取值范圍是 ．
11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，若且，則橢圓C的離心率為 ．
12．已知橢圓左右焦點分別為，下頂點，過的直線交橢圓于點，點關于軸的對稱點為，若，則橢圓的離心率為 .
13．已知，分別為橢圓的左 右焦點，點P在第一象限內，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點M，若，則橢圓C的離心率為 .
14．已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點為，為橢圓上一點，直線與直線交于點，的角平分線與直線交于點，若，的面積是面積的6倍，則橢圓的離心率是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##0.6
【分析】延長交延長線于點，可得，為的中位線，從而可得，，再由橢圓的定義可求出的值，由即可求出橢圓的離心率.
【詳解】
因為，即，所以，
因為點是以為底的等腰三角形內切圓的圓心，則，
所以為的角平分線，延長交延長線于點，
在與中，，所以，
所以，，所以為的中點，
又為的中點，所以為的中位線，
所以，則，
所以，即，所以.
故答案為：.
2．##
【分析】設橢圓的左焦點為，利用已知條件結合橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.
【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，，，，

由直線交橢圓于兩點﹐及，
結合橢圓的對稱性可得，
所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，
設，則，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
將代入①得，即，
所以，
故答案為：
3．##
【分析】作出圖形，分析可知為等腰直角三角形，設，則，利用橢圓的定義可得出，，在中，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，即可求出該橢圓的離心率的值.
【詳解】因為點為線段的中點，，則，
所以，為等腰直角三角形，

設，則，
由橢圓的定義可得，
所以，，
所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因此，該橢圓的離心率為.
故答案為：.
4．
【分析】首先設，再根據題意和橢圓的定義求得，轉化為關于的等式，進而求得橢圓的離心率.
【詳解】由題意得，
又由橢圓的定義得，
記，則，，
則，所以，
故，
則，則，即
等價于，得：或（舍）
故答案為：
5．##0.5
【分析】設直線的方程, 代入橢圓方程, 由韋達定理, 弦長公式及中點坐標公式, 求得中點坐標 坐標, 求得垂直平分線方程, 當時, 即可求得點坐標, 代入即可求得, 即可求得 , 即可求得和的關系, 即可求得橢圓的離心率.
【詳解】因為傾斜角為的直線過點，
設直線的方程為: , ,
線段的中點,
聯立 ，化為，
，
，
的垂直平分線為:,
令 , 解得 ,.
,
,則 ,
橢圓的離心率為,
故答案為:.
【點睛】關鍵點睛：運算能力是關鍵；本題考查簡橢圓的簡單幾何性質,直線與橢圓的位置關系,直線的垂直平分線的求法, 屬于較難題.
6．##
【分析】設，由三點共線，可得，再由點在橢圓上，得，然后化簡，再由其為常數可得，從而可求出離心率.
【詳解】由題意設，
因為三點共線，所以，得，
因為，所以，
所以
因為為常數，所以，
所以，得，
所以，所以離心率，
故答案為：

7．
【分析】設內切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質知，結合橢圓定義建立的關系求得.
【詳解】
設內切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質知，，，
由對稱性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案為：
8．
【分析】根據，得到，且是的角平分線，再結合和角平分線定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.
【詳解】解：因為，
所以，則是的角平分線，
所以，
又因為，
所以，設，
由橢圓定義得，
即，解得，
則，
則，
所以，則，
故答案為：
9．
【分析】方法一：設點M的坐標是，則，由題意，即，結合點M在橢圓上，可得，即可求出橢圓的離心率的取值范圍；
方法二：設點M的坐標是，由已知可得出關于、的方程組，求出，可得出關于、、的不等式組，由此可解得橢圓的離心率的取值范圍；
方法三：設橢圓的一個短軸端點為P，由題意，則，進而可求得橢圓的離心率的取值范圍.
【詳解】方法一：設點M的坐標是，則.
∵，，∴，.
∵，∴，即.
又點M在橢圓上，即，
∴，即，
∴，即，
又，∴，
故橢圓的離心率e的取值范圍是.
方法二：設點M的坐標是，
由方法一可得消去，得，
∵，∴，
由②得，此式恒成立.
由①得，即，∴，則.
又，∴.
綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是.
方法三：設橢圓的一個短軸端點為P，
∵橢圓上存在一點M，使，
∴，則，（最大時，M為短軸端點）
∴，即，
又，∴，
故橢圓的離心率e的取值范圍為.
故答案為：.
10．
【分析】不妨設，設，表示出，，依題意可得有解，根據數量積的坐標表示得到方程在上有解，由二次方程根的分布知識得到關于的不等式，解得即可．
【詳解】依題意不妨設為橢圓的左焦點，則，
設，則，，，則，
若存在點使得，則存在點使得，
即在上有解，
即在上有解，
令，顯然，，
所以，即且，
由，即，解得或，
由，即，解得或，
又，所以，即．
故答案為：．

11．##
【分析】如圖所示，作，垂足為由，可得，E點為的中點．，由，可得利用勾股定理即可得出．
【詳解】如圖所示，

作，垂足為
，，點為的中點．
，
，則，
則，即，，
在中，，在中，，
，化簡可得：，
，，解得
故答案為 ：
12．##
【分析】由題意聯立直線的方程和橢圓方程可求出點的坐標，進而求出點坐標，因為，則，代入可得，化簡方程即可求出離心率.
【詳解】設，，
則直線的方程為：，
所以聯立可得：，
解得：或，
所以，則，
因為點，關于軸的對稱點，則，
，
因為，則，
化簡可得：，即，
即，則.
故答案為：.
13．##
【分析】根據G為△重心，是中線且滿足得，再應用余弦定理求解即可.
【詳解】因為G為△重心，是中線且滿足，
即，故,
所以，
且，，又，
，
在△中應用余弦定理得,
所以，則.
故答案為: .
14．
【分析】利用垂直關系而得出，利用內角平分線定理.利用面積比值得出結論。
【詳解】由題意知，，，，當時，.
由，得，.
又的角平分線與直線交于點，可知，所以.
，解得，橢圓的離心率是.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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