資源簡介

專題6 有關張角的最值問題
(山東省日照市2024屆高三上學期期中校際聯合考試數學試卷T16)已知函數，點A，B是函數圖象上不同的兩個點，則（為坐標原點）的取值范圍是________.
基于張角的動態形成過程，結合動點A、B所在圖象的幾何特征，通過數形結合，易知當OA，OB分別與曲線相切時，最大.
令，，∴，
畫草圖，
顯然當OA，OB分別與曲線相切時，最大
設相切時，則，得
設OA傾斜角為，則
設相切時，則，
設OB傾斜角為，則，
又顯然當A，B，O三點可以共線，此時，
綜上.
1.定義：點P為曲線外的一點，A，B為曲線上的兩個動點，當取最大值時，為點P對曲線的張角.已知點P為直線l：上的動點，A，B為圓O：上的兩個動點，設點P對圓O的張角為，則的最大值為 .
【答案】
【分析】當過點O的直線與直線l垂直時張角最大，即可求解.
【詳解】由題可知點P在圓O外，當PA，PB均與圓O相切時，
最大，則也最大，此時.
要使最大，則最小，又的最小值為點O到直線l的距離，
所以，所以.
故答案為：
2. 如圖，對于曲線G所在平面內的點O，若存在以O為頂點的角，使得對于曲線G上的任意兩個不同的點恒有成立，則稱角為曲線G的相對于點O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點O的“確界角”.已知曲線C：（其中e是自然對數的底數），點O為坐標原點，曲線C的相對于點O的“確界角”為，則 .
【答案】1
【分析】求過原點曲線的兩條切線，求解兩切線的夾角即可.
【詳解】函數，
因為，
所以該函數在單調遞減，在單調遞增.
過原點作的切線，設切點，
由，則切線的斜率為，
直線過，
∴，∴，
即，由函數與的圖象在有且只有一個交點，
且當時滿足方程，故方程有唯一解，則；
過原點作的切線，設切點，
由，得切線的斜率，
則切線過原點，
則有，∴，
則，則有，
∴兩切線垂直，曲線C的相對于點O的“確界角”為，
則，.
故答案為：1.
基于動點A、B的變化，通過坐標，將張角，分別將正切值通過函數關系表達，然后通過導數法和基本不等式求出最值.
，，
考查，
當時，，而，
∴時，，當時，
∴，∴，∴
1.已知曲線C，直線，點，，以曲線C上任意一點M為圓心、MF為半徑的圓與直線l相切，過點的直線與曲線C交于A，B兩點，則的最大值為 .
【答案】
【分析】先由動點的軌跡得出曲線軌跡方程，通過選設直線方程與拋物線方程聯立得出韋達定理，接著驗證過定點的兩直線的斜率之和為零，得出兩直線關于軸對稱，從而將求的正切值轉化為求的正切值，再結合表達式運用基本不等式，函數單調性即得.
【詳解】
如圖，
依題意，曲線C上任意一點M到定點的距離等于點到定直線的距離，故點M的軌跡是拋物線，其軌跡方程為：.
設直線AB的方程為，由消去得：，不妨設，，則必有且，，分別記直線的斜率為，則 ，
所以.（兩直線的斜率之和為0.則兩直線關于x軸對稱）
設，則，當且僅當時等號成立，所以，（利用基本不等式求出的范圍）
則，不妨設記，則，因在上為減函數且恒為正數，故在上為增函數，則有故的最大值為.
故答案為：.
2. 已知橢圓的左，右頂點分別為，動點P在C上（異于點），點Q是弦的中點，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】設出點坐標，求得坐標，進而求得的表達式，并利用三角恒等變換、基本不等式等知識求得的最大值.
【詳解】依題意，設，
根據橢圓的對稱性，以及題目所求“的最大值”，不妨設，
，則，即，
所以
由于，所以由基本不等式可得，
當且僅當時等號成立.
故答案為：
【點睛】在橢圓中，求解最值有關問題，如線段長度、面積、角度等量的最值，可考慮先求得其表達式，然后根據表達式的結構選取合適的求最值的方法來進行求解，如本題中，利用三角換元，然后結合基本不等式來求.還可以考慮二次函數的性質、函數的單調性等知識來進行求解.
通過常見的切線放縮：，將，從而使得最值更快的求解出來.
畫出的草圖，時，在單調遞增，
所以在單調遞增，
設，，
當且僅當時，取“＝”，所以，
（證明：）
令，則，∴，∴，即，∴
當直線OB與圖像相切時，最大
設OB方程，令，即，∴，∴，
∴，∴，∴
1．已知函數．A，B為函數的圖象上任意兩點，O為坐標原點，則的最大值為 ．
2．定義：點為曲線外的一點，為上的兩個動點，則取最大值時，叫點對曲線的張角.已知點為拋物線上的動點，設對圓的張角為，則的最小值為 .
3．已知 分別為橢圓 的左、右焦點， 是過橢圓右頂點且與長軸垂直的直線上的動點， 則 的最大值為 ．
4．已知是橢圓的左，右焦點，過點的直線與橢圓交于A，B兩點，設的內切圓圓心為，則的最大值為 .
5．已知是拋物線上兩點，且，為焦點，則最大值為 .
6．在足球比賽中，球員在對方球門前的不同的位置起腳射門對球門的威脅是不同的，出球點對球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖為室內5人制足球場示意圖，設球場（矩形）長大約為40米，寬大約為20米，球門長大約為4米.在某場比賽中有一位球員欲在邊線上某點處射門（假設球貼地直線運行），為使得張角最大，則大約為（ ）（精確到1米）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
7．足球場上有句順口溜：沖向球門跑，越近就越好；歪著球門跑，射點要選好在足球比賽中，球員在對方球門前的不同的位置起腳射門對球門的威脅是不同的，射點對球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖為標準對稱的足球場示意圖，設球場長，寬，球門長.在某場比賽中有一位左邊鋒球員欲在邊線AB上點M處射門，為使得張角最大，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知圓，過點與圓上一點的直線的斜率范圍是 ；若點A恰好為過其所在的直線中對圓O張角最大的點（張角是指這個點到圓所作兩條切線的夾角），則此直線的表達式為 ．
9．如圖，是兩個新建小區，到公路的垂直距離分別為，且，中國移動決定在線段兩點之間找一個點P建立一個信號塔（P不與重合），當P對兩地的張角越大時，信號的輻射范圍越大．
①當為直角時， ；
②當 ，信號的輻射范圍最大．
10．如圖所示，邊長為2（百米）的正方形區域是某綠地公園的一個局部，環線是修建的健身步道（不計寬度），其中彎道段是拋物線的一段，該拋物線的對稱軸與平行，端點是該拋物線的頂點且為的中點，端點在上，且長為（百米），建立適當的平面直角坐標系，解決下列問題.
(1)求彎道段所確定的函數的表達式；
(2)綠地管理部門欲在彎道段上選取一點安裝監控設備，使得點處監測段的張角最大，求點的坐標.
11．如圖，、是兩個小區所在地，、到一條公路的垂直距離分別為，，兩端之間的距離為.
（1）某移動公司將在之間找一點，在處建造一個信號塔，使得對、的張角與對、的張角相等，試確定點的位置.
（2）環保部門將在之間找一點，在處建造一個垃圾處理廠，使得對、所張角最大，試確定點的位置.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】首先根據題意分析出點A，B分別在兩段曲線上，并數形結合得到直線OA，OB分別與兩段曲線相切且A，B均為切點時最大，不妨設，（其中，），然后利用導數的幾何意義及平面幾何知識得到，，最后利用兩角和的正切公式即可得解．
【詳解】解：當時，由，得，
故當時，函數的圖象是四分之一圓．
在平面直角坐標系中作出函數的大致圖象，如圖所示，
要使最大，則A，B兩點分別在兩段曲線上，
不妨設，（其中，），
數形結合可知最大時，直線OA與的圖象相切且A為切點，
直線OB與圓相切且B為切點．
由，得，
當直線OA與的圖象相切時，，
化簡得．
令，易得為增函數且，所以，所以．
當直線OB與圓相切時，設直線OB的方程為，
則，得．
所以，
所以的最大值為．
故答案為：
2．
【分析】先根據新定義，利用二倍角公式判斷最小時最小，再設，利用距離公式，結合二次函數最值的求法求得最小值，即得結果.
【詳解】解：如圖，，
要使最小，則最大，即需最小.
設，則，
∴當，即時，，，
此時或，.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：
本題的解題關鍵在于理解新定義，將的最小值問題轉化為線段最小問題，結合二次函數求最值即突破難點.
3．
【分析】設出點，由，求出，再利用基本不等式得出的范圍，得解.
【詳解】
由橢圓的方程知右頂點為，左右焦點分別為，，設，不妨設，則，，
，
當且僅當，即時等號成立，
又，
，
所以的最大值是.
故答案為：.
4．##
【分析】最大當且僅當最大，即最小，再利用余弦定理結合橢圓的定義求解作答.
【詳解】因為為的內切圓圓心，則，
顯然是銳角，當且僅當最大時，最大，且最大，
又，即有最小，
在橢圓中，，
在中，
，當且僅當時取等號，
因此當，即為正三角形時，取得最大值，取最大值，
所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】思路點睛：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正余弦定理，橢圓定義．
5．
【分析】根據拋物線的幾何意義，再利用余弦定理與基本不等式求余弦的最小值再判斷即可.
【詳解】拋物線的焦點，
由題得，，
即，
故
，
即，因為，且余弦函數在內單調遞減，
故，當且僅當時成立.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了拋物線的焦半徑公式與余弦定理的綜合運用等，需要根據題意列出對于的余弦定理，再利用基本不等式分析最值,屬于中等題型.
6．C
【分析】利用表示出，再結合基本不等式求解.
【詳解】由題意知，，設，則，所以，當且僅當，即時取等號，又因為，所以大約為10米.
故選：C.
7．B
【分析】設，利用兩角差的正切公式求出，再由均值不等式求最值即可求解.
【詳解】設，
則，,
所以，
因為 ,當且僅當,即等號成立，
所以時，有最大值，由正切函數單調性知，此時張角最大.
故選：B
8．
【分析】由過點A的直線與圓相切時，斜率取得最大值或最小值，設出直線方程，由解出斜率即可求解；先判斷出越小張角越大，顯然當垂直直線，求出直線斜率，寫出方程即可.
【詳解】
如圖建立平面直角坐標系，為坐標原點，顯然當過點A的直線與圓相切時，斜率取得最大值或最小值，
設過點A的直線：，直線與圓相切：解得：，則斜率范圍是．
如圖，當，則越小張角越大，當垂直直線時，最小即張角最大，
此時直線斜率，故直線方程為：，即.
故答案為：；.
9． 1或2##2或1 ##
【分析】（1）設，，當時，，代入式子求解即可；（2）當時，，通過換元，將式子變形，對正切函數求最值即可得到答案.
【詳解】設，
，
①當時，
，
解得或2，所以此時或；
②當時，，
由題意，張角要達到最大，，
令取負數時，
對應的是鈍角，時，，
當且僅當時取等，由正切函數單調性可知，
此時張角為達到最大．
即.
故答案為：1或2；
10．(1)；
(2).
【分析】（1）如圖建立平面直角坐標系，可得拋物線方程為，即得；
（2）設，利用兩角和公式可得，令再利用基本不等式可得的最大值，即求.
【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標系，
則，
設拋物線的方程為，則，
∴，即，
∴彎道段所確定的函數；
（2）設，過P作PQ⊥CD于Q，
則，
∴，
令則，
∴，
當且僅當，即，時取等號，
∴當時，最大，即最大，
∴點的坐標為時，點處監測段的張角最大.
11．(1)；（2）．
【詳解】試題分析：（1）設?，我們只要利用已知列出關于的方程即可，而這個方程就是在兩個三角形中利用正切的定義，，，因此有，解之得；實際上本題可用相似形知識求解，，則，由引開出方程解出；（2）要使得最大，可通過求，因為
，只要設，則都可用表示出來，從而把問題轉化為求函數的最值,同（1）可得，這里我們用換元法求最值，令，則有，注意到，可取負數，即為鈍角，因此在取負值中的最小值時，取最大值.
（1）設，，.
依題意有，. 3分
由，得，解得，故點應選在距點2處. 6分
（2）設，，.
依題意有，，
10分
令，由，得，，
12分
，，
當，所張的角為鈍角，最大角當，即時取得，故點應選在距點處. 14分
考點：(1)角相等的應用與列方程解應用題；（2）角與函數的最大值.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑