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專題 9 圓錐曲線第三定義的應用
【2023~2024學年河南省新鄉市第一次模擬】16．已知分別是雙曲線的左、右頂點，且，為上一點，，則點到軸的距離為__________．
設，點到軸的距離為，由雙曲線方程、斜率公式可得，結合正切的定義、勾股定理得出．
設，點到軸的距離為，
則，
所以，解得，所以點到軸的距離為．
1．橢圓：的左頂點為，點是橢圓上的兩個動點，若直線的斜率乘積為定值，則動直線恒過定點的坐標為 .
2．已知直線與雙曲線相交于M、N兩點，雙曲線C的左、右頂點分別為A、B，若直線AM與BN相交于點P，則下列說法正確的有 （填寫正確命題的序號）
①實數的取值范圍為或；②直線AM與直線BN的斜率之積為定值；③點P在橢圓上；④三角形PAB的面積最大值為ab.
由雙曲線方程、距離公式以及，聯立方程組，得出點到軸的距離．
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴設，∴，
②－③得⑤，且①可寫為
將⑤代入得⑥，③可寫為⑦
聯立⑥⑦，只有兩元
∴故距離為．
3．設為常數，動點分別與兩定點，的連線的斜率之積為定值，若點的軌跡是離心率為的雙曲線，則的值為（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．
4．已知是橢圓上關于原點對稱的兩點，若橢圓上存在點，使得直線斜率的絕對值之和為1，則橢圓的離心率的取值范圍是 .
作軸于H，由結合余弦定理得出，再由等面積法結合雙曲線方程得出
，作軸于H，
，
，
又因為P在雙曲線上：
由①②③聯立得：．
5．已知分別為橢圓（）的左、右頂點，是橢圓上的不同兩點且關于軸對稱，設直線的斜率分別為，若點到直線的距離為1，則該橢圓的離心率為
A． B． C． D．
6．設點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（ ）
A． B．
C． D．
7．橢圓C：的左右頂點分別為，點P在C上且直線斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是
A． B． C． D．
8．雙曲線C：的左、右頂點分別為，，點P在C上且直線斜率的取值范圍是[-4，-2]，那么直線斜率的取值范圍是
A． B． C． D．
9．已知平行四邊形內接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
10．設橢圓的左,右頂點為是橢圓上不同于的一點,設直線的斜率分別為,則當取得最小值時,橢圓的離心率為
A． B． C． D．
11．“過原點的直線交雙曲線于，兩點，點為雙曲線上異于，的動點，若直線，的斜率均存在，則它們之積是定值”．類比雙曲線的性質，可得出橢圓的一個正確結論：過原點的直線交橢圓于，兩點，點為橢圓上異于，的動點，若直線，的斜率均存在，則它們之積是定值（ ）
A． B． C． D．
12．已知雙曲線：（，）的上、下頂點分別為，，點在雙曲線上（異于頂點），直線，的斜率乘積為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【詳解】當直線BC的斜率存在時，設直線BC的方程為y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
設B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由題知kAB kAC==﹣，
則（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
則x1 x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
則m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k.
當m=2k時，直線BC的方程為y=kx+2k=k（x+2）.
此時直線BC過定點（﹣2，0），顯然不適合題意.
當m=﹣k時，直線BC的方程為y=kx﹣k=k（x﹣1），此時直線BC過定點（1，0）.
當直線BC的斜率不存在時，若直線BC過定點（1，0），B C點的坐標分別為（1，），（1，﹣），滿足kAB kAC=﹣.
綜上，直線BC過定點（1，0）.
故答案為（1，0）.
點睛：定點 定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么 “定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的.定點 定值問題同證明問題類似，在求定點 定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點 定值顯現.
2．①②
【分析】由直線與雙曲線交于兩點即可判斷①正確；根據，得可判斷②正確；由②得，進而得時，P在橢圓上，當，則點P在圓上，可判斷③；當點P在橢圓的上下頂點時，直線PA與雙曲線的漸近線平行
【詳解】解：①由直線與雙曲線交于兩點，則：或，故①正確；
②由點M在雙曲線C上，故設，則，即，
因為，則
又因為，所以，故②正確；
③，因為 ，，
所以，即
設，則，整理得
故當時故點P在橢圓上；
若，則點P在圓上，故③錯誤；
④由點P在橢圓的上下頂點時，則：，故此時直線PA與雙曲線的漸近線平行，
與直線PA與雙曲線有兩個焦點矛盾，
故AM與BN的交點不可能位于橢圓的上下頂點，故④不成立.
故答案為：①②
3．A
【解析】根據題意可分別表示出動點P與兩定點的連線的斜率，根據其之積為定值，求得x和y的關系式，對的范圍進行分類討論，當時，方程的軌跡為雙曲線，根據圓錐曲線的標準方程可推斷出離心率，從而求得λ的值．
【詳解】依題意可知，整理得，
當時，方程的軌跡為雙曲線，
即，
，，
，
.
故選：A
【點睛】本題主要考查雙曲線的應用，考查計算能力，屬于基礎題.
4．
【詳解】分析：由是橢圓上關于原點對稱的兩點，易知斜率之積為定值，結合均值不等式即可建立關于的不等式，從而得到橢圓的離心率的取值范圍.
詳解：不妨設橢圓C的方程為,,則，
所以，,兩式相減得，所以，所以直線斜率的絕對值之和為，由題意得，，所以=4，即，所以，所以.
故答案為
點睛：：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.
5．B
【詳解】設，則，，，又，點到的距離為，解得，故選B.
【 方法點睛】本題主要考查雙曲線的方程以及幾何性質、離心率的求法，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據圓錐曲線的統一定義求解．
6．C
【分析】設動點，根據已知條件，結合斜率公式，即可求解.
【詳解】解：設動點，則，
則，，，
直線與直線的斜率之積為定值，
，化簡可得，，
故點的軌跡方程為.
故選：C.
7．B
【詳解】設P點坐標為，則，，，
于是，故.
∵ ∴.故選B.
【考點定位】直線與橢圓的位置關系
8．C
【詳解】試題分析：根據雙曲線的方程可知，的坐標分別為，，設點的坐標為，則，，且因為點在雙曲線上，所以，不難發現，再結合，解得，故選C．
考點：雙曲線的簡單性質．
【思路點睛】本題中我們可以看到給出的兩條直線具有相關性，即具有公共點，且它們各自所經過的定點，是關于原點對稱的，此時不難想到兩條直線的斜率之間必然會有某種關系．那么解題的關鍵是找出兩條直線斜率之間的等式關系，再根據已知直線的斜率的取值范圍，求解未知直線的斜率．
9．A
【分析】由題意，關于原點對稱，設，，
，故選A.
【方法點晴】本題主要考查利用橢圓的簡單性質與離心率，屬于中檔題.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系.求離心率范圍問題應先將 用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的范圍.本題是利用，斜率之積的范圍為，得到 ，進而構造出關于的不等式，最后解出的范圍.
10．D
【分析】設，利用斜率公式求得，結合在橢圓上，化簡可得，令，則，利用導數求得使取最小值的，可得時，取得最小值，根據離心率定義可得結果.
【詳解】由橢圓方程可得，
設，則,
則，
，
，
令，則，
，
在上遞減，在上遞增，
可知當時，函數取得最小值，
，
，故選D.
【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質、直線的斜率公式的應用，以及橢圓的離心率，利用導數求函數的最值，屬于難題. 離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．
11．B
【解析】利用橢圓與雙曲線方程形式上的類似，結合橢圓方程化簡即可得到的值.
【詳解】“過原點的直線交雙曲線于，兩點，點為雙曲線上異于，的動點，若直線，的斜率均存在，則它們之積是定值”，
類比雙曲線的性質，可得出橢圓的一個正確結論：過原點的直線[交橢圓：于，兩點，若直線，的斜率均存在，則，
證明如下：
設，則，且，
設，
則，
所以
又，，
代入可得：
故選：B
【點睛】類比推理的一般步驟是: (1)找出兩類事物之間的相似性或一 致性; (2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想).
12．B
【解析】設點由直線，的斜率乘積為得到，則漸近線可求.
【詳解】設點，又，，則 ，
所以，又因為點在雙曲線上得，
所以，故，所以
則雙曲線的漸近線方程為.
故選：B
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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