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專題10 同解方程解拋物線與圓結合問題
【2023·山東省棗莊市高三下學期第二次模擬考試】己知點在拋物線上，過點A作圓的兩條切線分別交拋物線于B，C兩點，則直線BC的方程為______.
先求得拋物線方程，設切線方程，結合直線與圓相切得，再將切線方程與拋物線聯立消含參表示縱坐標，利用點在拋物線上含參表示斜率結合點斜式及坐標關系、韋達定理消元求直線方程即可.
將點代入拋物線得，
設過點A的直線為，
由直線與圓相切可得：，即，
，，其中、為AB、AC的斜率倒數，
直線與拋物線聯立，整理可得：，
則，同理，
所以，
故BC：，
即，化簡得.
1．已知點P為直線上一動點，過點P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，點A，B在直線l上的射影分別為D，C，若四邊形的面積為32，則點P的橫坐標為 ．
（2011·浙江·高考真題）
2．已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點M
（1）求點M到拋物線C1的準線的距離；
（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．
角度一：先利用點在拋物線上計算得拋物線上兩點連線所得直線方程：，將點坐標換做點坐標，則點對應B點或C點，利用直線與圓的位置關系計算得，根據韋達定理知，，再代入拋物線上兩點連線方程即可；
角度二、同角度一先得出拋物線上兩點連線所得直線方程，再利用直線與圓的位置關系得，
結合在拋物線上得，從而得出BC方程.
角度一、
先推導拋物線上兩點連線的方程：
設拋物線上兩點，，
得兩點式：，
即 ，
即，
即，
可設過A的直線為：，其中P為拋物線上一點，即B或C，
與圓相切得：，
即，所以，，
所以BC：，
即.
角度二、
同角度一，先推導拋物線上兩點連線的方程，
則設過A的直線為：，其中P為拋物線上一點，即B或C，
與圓相切得：，
即，即，
B、C為的解，B、C在直線上，
過兩點直線唯一，故BC：.
總評：
該題包含兩個環節，過圓外一點作圓的兩條切線，拋物線上兩點的連線方程.
經典的“筷子夾湯圓”可以得到以直線斜率或斜率倒數為變量的方程，通過根與系數關系簡化計算.
法三顯然把這一問題的解法又作了一次上升，利用點是方程的解，結合同一性，快速得到直線的方程.
需要注意的是，本題計算較為簡單是拋物線帶來的“福利”，若點在橢圓或雙曲線上，雖然邏輯相同，但計算量會增大，詳見相似題.
3．已知曲線：，D為直線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．證明：直線過定點．
4．如圖，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C： 上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸.
5．拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．
（1）求C，的方程；
（2）設是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關系，并說明理由．
6．已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.
7．已知拋物線（）的頂點為，直線與拋物線的交點（異于點）到點的距離為，
（1）求的標準方程；
（2）過點作斜率為（）的直線與交于點（異于點），直線關于直線對稱的直線與交于點（異于點），求證：直線過定點．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】設出點P的坐標及過點P作拋物線的切線方程，求出二切點坐標間關系，再由四邊形面積的函數關系計算作答.
【詳解】依題意，設點，顯然過點P的拋物線的切線斜率存在，設切線方程為：，
由消去y并整理得：，則，
令切線的斜率為，切線的斜率為，于是得，
設切點，切點，則有，，有，，
點，有，
，
四邊形為直角梯形，其面積為，解得，
所以點P的橫坐標為.
故答案為：
【點睛】結論點睛：拋物線在點處的切線斜率；
拋物線在點處的切線斜率.
2．（1） （2）
【詳解】（1）
由于拋物線C1：x2=y準線方程為：y=﹣，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心M（0，4），
利用點到直線的距離公式可以得到距離d==．
（2）設點P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；
由題意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，
設過點P的圓c2的切線方程為：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①
則，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0
設PA，PB的斜率為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2應該為上述方程的兩個根，
∴，；
①代入y=x2得：x2﹣kx+kx0﹣x02=0 因為x0應為此方程的根，
故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0
∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=
由于MP⊥AB，∴kAB KMP=﹣1
故P∴．
3．證明見解析
【分析】設，，，根據導函數的幾何意義結合斜率公式可得，整理可知，同理，即點，為該直線上的兩點，故證明該直線過定點即可.
【詳解】證明：設，，，
因為，所以，則，又，
所以切線的斜率，整理得，即，
同理得：，從而直線的方程為，
所以直線過定點.
4．證明見解析
【分析】設P，A，B的縱坐標分別為，根據中點坐標公式得PA，PB的中點坐標，代入拋物線方程，可得，即得結論；
【詳解】證明：設，，，
若拋物線上一動點，則的中點為，
當中點在拋物線上時，則，
即，
因為，的中點在拋物線上，
所以為方程的兩個不同的實數根.
所以，
即點的縱坐標為，因此，垂直于軸.
5．（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析
【分析】（1）根據已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設出標準方程，再利用對稱性設出坐標，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結論；
（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據對稱性，即可得出結論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標表示，再由與圓相切，得出與的關系，最后求出點到直線的距離，即可得出結論.
【詳解】（1）依題意設拋物線，
，
所以拋物線的方程為，
與相切，所以半徑為，
所以的方程為；
（2）[方法一]：設
若斜率不存在，則方程為或，
若方程為，根據對稱性不妨設，
則過與圓相切的另一條直線方程為，
此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；
若方程為，根據對稱性不妨設
則過與圓相切的直線為，
又，
，此時直線關于軸對稱，
所以直線與圓相切；
若直線斜率均存在，
則，
所以直線方程為，
整理得，
同理直線的方程為，
直線的方程為，
與圓相切，
整理得，
與圓相切，同理
所以為方程的兩根，
，
到直線的距離為：
，
所以直線與圓相切；
綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.
[方法二]【最優解】：設．
當時，同解法1．
當時，直線的方程為，即．
由直線與相切得，化簡得，
同理，由直線與相切得．
因為方程同時經過點，所以的直線方程為，點M到直線距離為．
所以直線與相切．
綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．
【整體點評】第二問關鍵點：過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標（或橫坐標）表示，將問題轉化為只與縱坐標（或橫坐標）有關；法一是要充分利用的對稱性，抽象出與關系，把的關系轉化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點到直線距離進行證明，方法二更為簡單，開拓學生思路
6．（1）；（2）.
【詳解】試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據離心率求出的值，最后根據、、三者的關系求出的值，從而確定橢圓的標準方程；（2）分兩種情況進行計算：第一種是在從點所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關系得到，并設從點所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯立得到關于的一元二次方程，利用得到有關的一元二次方程，最后利用以及韋達定理得到點的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標軸垂直的情況下求出點的坐標，并驗證點是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點的軌跡方程.
（1）由題意知，且有，即，解得，
因此橢圓的標準方程為；
（2）①設從點所引的直線的方程為，即，
當從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設為、，則，
將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，
，
化簡得，即，
則、是關于的一元二次方程的兩根，則，
化簡得；
②當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時點也在圓上.
綜上所述，點的軌跡方程為.
考點：本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關系以及動點的軌跡方程，將直線與二次曲線的公共點的個數利用的符號來進行轉化，計算量較大，從中也涉及了方程思想的靈活應用.
7．（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）求得交點坐標為，利用兩點之間的距離公式即可得解；
（2）由直線與拋物線聯立可求得，,結合已知條件可知，利用點斜式可知直線的方程為，即可證得結論.
【詳解】（1）聯立，得，即交點坐標為，
所以，，
拋物線的標準方程為
（2）證明：設，，
將代入拋物線方程得，所以，．
設直線，同理，，
因為與直線關于直線對稱，由圖形對稱性，計算可得．
所以，，
又，
所以直線的方程為，
化簡有，所以恒過定．
【點睛】思路點睛：解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；
（2）強化有關直線與拋物線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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