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專題8 有關橢圓的離心率問題
【華大新高考聯盟2024屆高三11月教學質量測評】已知橢圓的右焦點為在橢圓上但不在坐標軸上，若，且，則橢圓的離心率的值可以是（ ）
A. B. C. D.
設直線，并聯立直線與橢圓方程，得出坐標，結合得出坐標，由結合數量積運算得出，再解不等式得出橢圓的離心率的值.
設直線，其中，聯立解得，
不妨設，
則，，
而，故，
整理得，故，觀察可知，故選CD.
1．已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，若橢圓C上存在一點P，使得△PF1F2的內切圓的半徑為，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知焦點在x軸上的橢圓的內接平行四邊形的一組對邊分別經過其兩個焦點（如圖），當這個平行四邊形為矩形時，其面積最大，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
由得出坐標，由結合數量積運算得出，進而由其幾何意義得出，即，進而得出離心率范圍.
依題意，可得，又有，故，即，；又有，即圓與橢圓有公共點且公共點不在坐標軸上，
故，即，故，故選CD.
3．已知橢圓的左 右焦點分別為，點在橢圓上，若離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．已知的上、下焦點分別是，，若橢圓C上存在點P使得，，則其離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
由平面向量數乘運算結合中位線定理、得出，再由直角三角形的性質得出，進而得出，，從而得出離心率的范圍.
依題意，，故分別是線段的中點，故；
又有，故，則；
因為，故，即，得，故選CD.
5．國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結構與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．已知橢圓）的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．已知的三個頂點都在橢圓：（）上，其中為左頂點，為上頂點，若以為頂角的等腰三角形恰好有3個，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．設橢圓（）的右焦點為F，橢圓C上的兩點A、B關于原點對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．若橢圓上存在一點，使得函數圖象上任意一點關于點的對稱點仍在的圖象上，且橢圓的長軸長大于2，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．已知橢圓為橢圓的右焦點，曲線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
11．橢圓的內接四邊形的對角線交于點，滿足，，若直線的斜率為，則橢圓的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知橢圓的左、右焦點分別為.點在上且橫縱坐標均為非負數，圓與線段的延長線，線段以及軸均相切，的內切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】利用面積相等，得到由此得到消去整理化簡求出離心率的取值范圍.
【詳解】的面積為因為的內切圓半徑為，所以面積可表示為，所以
解得因為所以
兩邊平方得：又因為
整理得：
因為不等式兩邊同時除以，得：；
解得：
故選：A
2．A
【分析】設所在直線方程為，與橢圓方程聯立，利用弦長公式及兩平行線間的距離公式求出平行四邊形的面積，換元后求出面積最大值，再由矩形面積最大列式求得的范圍．
【詳解】橢圓C：的焦點在x軸上，
設所在直線方程為，其中為橢圓的半焦距.
則由 得
設，則，
所以，
因為所在直線方程為，
所以直線與的距離為：
，
設，則，
則
要使得最大值，則只需的值最大，即的值最小即可.
根據條件當這個平行四邊形為矩形時，其面積最大.
即當時有最大值，也即是時最小，
由函數在上單調遞減，在上單調遞增.
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.
因為函數在上，當時取得最小值，則.
所以，即，所以，
同時除以可得，解得,
故選：A
【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
3．D
【分析】由題意可知，結合橢圓的定義解得，再由求解.
【詳解】因為，所以，
由橢圓的定義得：，解得，
因為，所以，
兩邊同除以a得，解得 ，
因為 ，所以，
所以該離心率的取值范圍是
故選：D.
4．C
【分析】使用極化恒等式由得，根據向量運算得 ，結合條件得出的取值范圍建立關于的不等關系，從而求出離心率的取值范圍.
【詳解】設坐標原點為
所以
又
所以，即，故.
故選：C
【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的關系式，這個關系式可以用幾何關系得到，也可以用代數關系得到.
在本題中主要是通過建立關系 ，一方面由極化恒等式得，另一方面結合條件及向量運算得，從而建立a，b，c的不等關系.
5．D
【分析】設內層橢圓方程為，則外層橢圓方程為（），分別列出過和的切線方程，聯立切線和內層橢圓，由分別轉化出的表達式，結合可求與關系式，齊次化可求離心率.
【詳解】設內層橢圓方程為（），因為內、外層橢圓離心率相同，
所以外層橢圓方程可設成（），
設切線方程為，與聯立得，
，
由，
化簡得：，
設切線方程為，
同理可求得，
所以，
，
所以，因此.
故選：D
6．B
【分析】由已知即向量數量積定義可得，應用余弦定理求得，根據等面積法可得，再由正弦定理列方程求離心率，結合目標式、基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.
【詳解】由題設，故，
又，則，
由余弦定理知：，
所以，而，
因為的內切圓的半徑，故，
所以，則，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，當且僅當時等號成立，
所以目標式最小值為.
故選：B
7．A
【分析】由題意知只需橢圓與圓有四個公共點，求出的關系得離心率的取值范圍
【詳解】由題意知的第三個頂點在以為圓心，以為半徑的圓上，要使以為頂角的等腰三角形恰好有3個，則需要滿足橢圓與圓有四個公共點，
由 得，
所以或，
當時，橢圓與圓有兩個交點，分別為左右頂點，當位于右頂點處滿足條件；
當時，要滿足橢圓與圓有兩個不同交點，需要，
即，即，解得，所以.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：要滿足條件的三角形有3個，關鍵是將條件轉化為橢圓與圓有四個公共點解決.
8．B
【分析】設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性結合，得到四邊形為矩形，設，，在直角中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到，再根據，得到的范圍，從而利用對勾函數的值域得到的范圍，進而由即可得解.
【詳解】如圖所示：
設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，則，所以平行四邊形為矩形，故，
設，，則，
在直角中，，，
所以，則，
所以，
令，得，
又由，得，
因為對勾函數在上單調遞增，所以，
所以 ，即，則，故，
所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用橢圓的對稱性證得四邊形為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定理，結合條件得到關于的齊次不等式，從而得解.
9．D
【分析】首先求出函數的對稱中心，即可得到橢圓經過點，從而得到，再根據，即可得到關于離心率的不等式，解得即可.
【詳解】因為，
所以的圖象可由奇函數的圖像向右平移個單位，再向上平移個單位得到，
所以的圖象關于點對稱，
所以橢圓經過點，則，即，
即，
所以，又因為，所以，解得，
又，所以，即.
故選：D
【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵是求出的對稱中心，得到關于離心率的不等式，從而求出離心率的取值范圍.
10．A
【分析】直線與橢圓的兩個交點且，其中與關于x軸對稱，設直線為代入橢圓，應用韋達定理結合求參數a，即可求離心率.
【詳解】由題設，橢圓右焦點，且曲線恒過，不妨令，
對于直線與橢圓的兩個交點，其中與關于x軸對稱，
所以，即，故，
令直線為代入橢圓方程整理得：，
則，，而，
，則，可得（負值舍），
所以.
故選：A
11．B
【分析】設出點，由已知求出，利用兩點在橢圓上，化簡計算解出直線的方程，可得直線的斜率，解方程求出離心率．
【詳解】設點，，且，
可得，即，解得，
由兩點在橢圓上，
有，
得：，
即，
同理可得，
因此，直線的方程為，
從而直線的斜率為，
由，可得
故選：B
12．A
【分析】設圓、與軸的切點分別為，，圓心、在的角平分線上，從而切點也在的角平分線上，所以，由切線的性質求得，，由圓面積比得半徑比，然后由相似形得出的關系式，從而求得離心率.
【詳解】由已知及平面幾何知識可得圓心、在的角平分線上.如圖，
設圓、與軸的切點分別為，，由平面幾何知識可得，直線為兩圓的公切線，
切點也在的角平分線上，所以，
由橢圓的定義知，則，
所以，
所以，
所以，
.
又圓與圓的面積之比為9，
所以圓與圓的半徑之比為3，
因為，所以，
即，整理得，故橢圓的離心率.
故選：A.
【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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