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半角模型專項(xiàng)練習(xí)
解題要點(diǎn)剖析
所謂半角模型，就是在平面圖形中，一個(gè)角與另一個(gè)角共頂點(diǎn)，且該角的大小是另一個(gè)角大小的一半.半角模型是平面幾何中一個(gè)最常見(jiàn)的圖形，此類題目通常用“旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)”看待圖形的幾何變換，即將這個(gè)半角繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，使得兩個(gè)分散的角變換成為一個(gè)三角形，相當(dāng)于構(gòu)造出兩個(gè)三角形全等或相似.
常見(jiàn)含半角旋轉(zhuǎn)模型如圖14-1所示.
經(jīng)典考題解析
例1 (武漢)如圖 14-2所示,在 中,AB=AC= ,點(diǎn) D,E 都在邊 BC 上,∠DAE=60°.若BD=2CE,則 DE 的長(zhǎng)為 .
思路分析 將繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°,得到連接 FE,得 ,此時(shí) DE=EF,可得. .過(guò)點(diǎn) E 作EH⊥CF，垂足為點(diǎn) H，設(shè)CE=x，利用直角三角形及勾股定理，可計(jì)算出x的值，這樣就可求出 DE 的長(zhǎng).
規(guī)范解答 解:在△ABC中,
∴∠B=∠ACB=30°,BC=6.
如圖14-3 所示,將△ABD 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°,得到△ACF,連接FE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知AD=AF,∠BAD=∠CAF,BD=CF,∠ABD=∠ACF=30°.
∵∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠CAE=∠CAF+∠CAE=60°.
∴∠DAE=∠FAE.
又∵AE=AE,
∴△ADE≌△AFE.
∴DE=EF.
過(guò)點(diǎn) E 作EH⊥CF,垂足為點(diǎn) H,設(shè) CE=x,則 CF=BD=2CE=2x,DE=6-3x.
在 Rt△CEH 中,∵∠ECH=∠ACB+∠ACF=60°,
則
在 Rt△EFH 中,由勾股定理,得
解得 (不合題意，舍去).
解后反思 此題中.AB=AC 及 屬于半角模型，所以通過(guò)旋轉(zhuǎn)考慮“輔助線”的作法，將△ABD 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn) 大小后，分散的 就轉(zhuǎn)化為∠EAF 的大小，從而與半角∠DAE 相等，形成全等三角形，這樣就可解決問(wèn)題.
例2已知點(diǎn) P 是∠MAN 的角平分線上的一點(diǎn)，. ，垂足為點(diǎn)B， AN,垂足為點(diǎn)C.
(1) 如圖14-4(1)所示,點(diǎn) D,E 分別在線段AB,AC 上,且 求證：DE=BD+CE;
(2)如圖14-4(2)所示,若點(diǎn)D 在AB 的延長(zhǎng)線上,點(diǎn) E 在射線CA 上,則 DE,BD,CE 三者的數(shù)量關(guān)系有變化嗎 若有變化，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
思路分析 (1)由已知，可知點(diǎn) P 是角平分線上的點(diǎn)，且PB⊥AM，垂足為點(diǎn) B，PC⊥AN,垂足為點(diǎn)C,可得PB=PC,若在 AC 的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使得CF=BD,則△PBD≌△PCF,然后再證明△PDE≌△PFE,可得出結(jié)論.
(2) 參考第(1)問(wèn)的作圖法,可得結(jié)論DE=CE-BD.
規(guī)范解答 解：(1) 如圖14-5 所示，在AC 邊的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使得( 連接PF.
∵點(diǎn)P 是∠MAN 的角平分線上的一點(diǎn),PB⊥AM,垂足為點(diǎn) B,. 垂足為點(diǎn)C,
∴PB=PC,∠PBD=∠PCF=90°.
在△PBD 和△PCF 中,
∴△PBD≌△PCF.
∴ PD=PF,∠BPD=∠CPF.
∴∠EPF=∠EPC+∠CPF=∠EPC+∠BPD=∠DPE.
在△DPE 和△FPE 中,
∴△DPE≌△FPE.
∴DE=FE.
∵FE=CE+CF,
∴DE=BD+CE.
(2) DE=CE--BD.
解后反思 本題由∠ABP=∠ACP=90°,得∠A+∠BPC=180°,且∠DPE= 故含有“半角”模型和“對(duì)角互補(bǔ)”模型的兩個(gè)基本模型圖，“輔助線”的作法利用了“旋轉(zhuǎn)”的思路，即通過(guò)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法將兩個(gè)分散的角聚集在一起形成一個(gè)三角形，然后根據(jù)兩個(gè)三角形全等得出相應(yīng)線段之間的關(guān)系.
例3 在正方形ADCB 中,點(diǎn)E 在直線CD上,點(diǎn) F 在直線BC 上,
(1) 如圖14-6(1)所示,點(diǎn)E 在邊CD 上,點(diǎn) F 在邊 BC 上時(shí),求證:EF=DE+BF;
(2)如圖14-6(2)所示,點(diǎn) E 在CD 的延長(zhǎng)線上,點(diǎn) F 在 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí),則(1)中的結(jié)論變化嗎 如果變化，請(qǐng)寫出線段EF，BF，DE 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)如圖14-6(3)所示,點(diǎn) E 在CD 的反向延長(zhǎng)線上,點(diǎn) F 在BC 的反向延長(zhǎng)線時(shí),請(qǐng)直接寫出線段EF，BF，DE 的數(shù)量關(guān)系.
思路分析(1) 將△ABF 繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,得到△ADM,再證明△AEF≌△AEM,從而得到EF=DE+BF.
(2) 在 BC 上取一點(diǎn)M,使得 BM=DE,可證明. ,再證明△AEF≌△AMF,得EF=BF--DE.
(3) 思考的思路同第(2)問(wèn),結(jié)論:EF=DE--BF.
規(guī)范解答 (1) 證明:延長(zhǎng)CD 至點(diǎn)M,使得DM=BF,連接AM,如圖14-7(1)所示.在正方形ADCB中,有 AD=AB,∠ABF=∠ADE=90°,
∴∠ABF=∠ADM=90°.
∴△ABF≌△ADM.
∴ AF=AM,∠DAM=∠BAF.
∵∠EAF=45°,∠DAE+∠EAF+∠BAF=90°,
∴∠EAM=∠DAM+∠DAE=∠DAE+∠BAF=∠EAF=45°.
在△EAM 和△EAF 中,
∴△EAM≌△EAF.
∴ EF=EM.
∵EM=DE+DM.
∴EF=DE+BF.
(2) EF=BF-DE.
理由:如圖14-7(2)所示,在 BC 上取一點(diǎn)M,使得 連接AM.在正方形ADCB 中,
°,
∴ ∠DAE+∠DAF+∠FAM=90°.
∵∠EAD+∠DAF=∠EAF=45°,
∴∠FAM=45°.
∴∠FAM=∠EAF.
在△FAM 和△EAF 中,
∴△FAM≌△FAE.
∴EF=MF.
∵FM=BF-BM,
∴ EF=BF-DE.
(3)EF=DE-BF.
解后反思 由于正方形 ADCB 中存在AB=AD 且 因此圖形中含有“半角”模型，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，將∠BAD 被∠EAF 分成的兩個(gè)角中的一個(gè)繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)后的兩個(gè)角合為一個(gè)角，再通過(guò)全等三角形來(lái)尋找線段間的數(shù)量關(guān)系.
例4(淄博)如圖14-8所示，正方形ABCD 的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N 分別是邊BC,CD 上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) B,C,D 重合),AM,AN 分別交BD 于點(diǎn)E,F,且 始終保持45°不變.
(1) 求證:
(2)求證:AF⊥FM.
(3) 請(qǐng)?zhí)剿?在∠MAN 的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠BAM 等于多少度時(shí), 寫出你的結(jié)論，并加以證明.
思路分析 (1) 如圖 14-8 所示,因?yàn)?所以 ∠CAM,由四邊形 ABCD 是正方形,得∠ADB=∠ACB=45°,這樣△DAF∽△CAM,即 也可由∠BAC=∠MAN=45°,∠AOF=∠ABM=90°,得出△AOF∽△ABM,即
(2)由第(1)問(wèn)的結(jié)論及∠DAC=∠MAN=45°,得△DAC∽△AMF,即可證 AF⊥FM.
(3)由第(2)問(wèn),得∠AMF=∠DAC=45°,由 BD 與 AM 相交于點(diǎn) E,得∠BAM=∠BFM,由此,若∠BAM=∠NMF,則∠BFM=∠NMF,此時(shí)BD∥MN,可得△CMN 為等腰直角三角形.所以CM=CN,BM=DN,則△AMB≌△AND,故有∠DAN=∠BAM=22.5°.
規(guī)范解答 解:(1) 解法1:∵ 正方形ABCD 的對(duì)角線AC與BD 相交于點(diǎn)O,
∴∠DAO=∠MAN=45°.
∴∠DAF=∠CAM.·
又∵∠ADB=∠ACB=45°,
∴△DAF∽△CAM.
解法2:∵正方形 ABCD 的對(duì)角線AC 與BD 相交于點(diǎn)O,
∴∠BAC=∠MAN=45°,AC⊥BD.
∴∠BAM=∠FAO,∠AOF=∠ABM=90°.
∴△AOF∽△ABM.
(2) 由(1),可知
又∵∠DAC=∠MAN=45°,
∴△DAC∽△FAM.
∴∠AFM=∠ADC=90°.
∴ AF⊥FM.
(3)∵AM與BD 相交于點(diǎn)E,
∴∠AEB=∠FEM.
∴∠ABF+∠BAM=∠AMF+∠BFM.
由(2)可知,△DAC∽△FAM.
∴∠AMF=∠DCA=45°.
∴∠ABF=∠AMF=45°.
∴∠BAM=∠MFB.
當(dāng)∠FMN=∠BAM 時(shí),有∠FMN=∠MFB,
∴BF∥MN.
∴∠DBC=∠NMC=45°.
∴△NMC 是等腰直角三角形.
∴CM=CN.
∴ BM=DN.
∴△ADN≌△ABM.
∵∠MAN=45°,
∴∠BAM=∠DAN=22.5°.
即∠BAM=22.5°時(shí),∠FMN=∠BAM.
解后反思 本題由∠MAN=45°,得 及AB=AD,所以圖形中含“半角模型”，對(duì)于第(3)問(wèn)，利用了8字形這個(gè)基本圖形來(lái)解決問(wèn)題；也可以根據(jù) =∠MBF,得出四點(diǎn)A,B,M,F 共圓來(lái)解決問(wèn)題.
例5 (湖北)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1) 如圖 14-9(1)所示,若點(diǎn) D 關(guān)于直線AE 的對(duì)稱點(diǎn)為F,求證:4
(2)如圖14-9(2)所示,在(1)的條件下,若α=45°,求證:
(3) 如圖14-9(3)所示,若α=45°,點(diǎn)E 在BC 的延長(zhǎng)線上,則等式 還能成立嗎 請(qǐng)說(shuō)明理由.
思路分析 (1) 由點(diǎn) D 關(guān)于直線AE 的對(duì)稱點(diǎn)為F，可得. 所以∠DAF=2α=∠BAC.這樣可得兩個(gè)等腰三角形, 與 相似.
(2)通過(guò)證明△ADE≌△AFE 及△ABD≌△ACF,再由△ABC 是等腰直角三角形,得∠B=∠ACB=∠ACF=45°.故在 Rt△ECF 中,通過(guò)勾股定理證得結(jié)論.
(3) 由于 AB=AC,將△ABD 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到 連接EF.
規(guī)范解答 解:(1) ∵ 點(diǎn)D,F 關(guān)于直線AE 對(duì)稱,
∴ DE=EF.∠DAE=∠EAF=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
又∵
∴△DAF∽△BAC.
(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,
∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF.
又∵AB=AC,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF.
∴ BD=CF.
∵α=45°,
∴ △ABC 是等腰直角三角形.
∴∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°.
∴∠ECF=90°.
∴ 在△ECF 中,由勾股定理,得
(3)解法 1:如圖 14 - 10 所示,將△ABD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,得到△ACF,連接EF.
∴ BD=CF,AD=AF,∠ACF=∠ABD.
∵∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ACF=45°.
∴∠BCF=90°,即∠ECF=90°.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠DAF=∠DAE+∠FAE=2α.
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=2α-α=α,AF=AD.
又∵AE 是公共邊,
∴△DAE≌△FAE,即DE=EF.
解法2:作點(diǎn) F 與點(diǎn)D 關(guān)于直線AE 對(duì)稱,連接AF,EF,DF,CF.
∴AD=AF,DE=EF.
∴∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
即∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC.
∴∠BAD=∠CAF.
又∵AB=AC,AD=AF.
∴△BAD≌△CAF.
∴ BD=CF.
∴∠ACF=∠ABD=45°.
∴∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°.
∴CF⊥CE.
即
解后反思 本題是相似形綜合題，主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理.其圖形中含有“半角模型”，故從旋轉(zhuǎn)的角度思考問(wèn)題.解題時(shí)，注意小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵.
全真模擬訓(xùn)練
1. 閱讀下面材料：
小炎遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖(1)所示，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在正方形ABCD 的邊BC，CD 上，∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由.
小炎是這樣思考的：要想解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中起來(lái).她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD 有公共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問(wèn)題的方法.她的方法是將 繞著點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到 ，再利用全等的知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題(見(jiàn)圖2).
參考小炎思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：
(1) 如圖(3)所示,在四邊形ABCD 中, 點(diǎn)E,F 分別在邊BC,CD 上, 若 都不是直角，則當(dāng) 與 滿足 時(shí)，仍有
(2) 如圖(4)所示,在, 中, ,點(diǎn) D,E 均在邊 BC 上,且 若 ,求 DE 的長(zhǎng).
2.(北京)已知正方形ABCD，點(diǎn) E 為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DE，將線段 DE 繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到 DG,連接EC,AG.
(1) 當(dāng)點(diǎn) E 在正方形ABCD 內(nèi)部時(shí),
① 依題意補(bǔ)全圖形；
② 判斷AG 與CE 的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并寫出證明思路.
(2) 當(dāng)點(diǎn) B,D,G 在一條直線上時(shí),若 求 CE的長(zhǎng).
3.(北京)在正方形ABCD 中,點(diǎn) E 為邊CD 上一點(diǎn),連接BE.
(1) 請(qǐng)你在圖(1)中畫出, 使得 與 關(guān)于直線BE 對(duì)稱；
(2) 若邊AD 上存在一點(diǎn)F,使得. ，請(qǐng)你在圖(2)中探究. 與 的數(shù)量關(guān)系并證明；
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn) E 為邊CD 的三等分點(diǎn),且( 請(qǐng)寫出求 的思路(可以不寫出計(jì)算結(jié)果).
4.(北京)在 中, ,點(diǎn) D 在射線BC 上(與B,C 兩點(diǎn)不重合),以AD 為邊作正方形ADEF,使點(diǎn) E 與點(diǎn)B 在直線AD 的兩側(cè),射線 BA 與射線CF相交于點(diǎn)G.
(1) 若點(diǎn) D 在線段BC 上,如圖(1)所示.
① 依題意補(bǔ)全圖(1);
② 判斷BC 與CG 的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；
(2)如圖(2)所示,若點(diǎn)D 在線段BC 的延長(zhǎng)線上,且點(diǎn) G 為CF 的中點(diǎn),連接GE,AB ，則GE 的長(zhǎng)為 ，并簡(jiǎn)述求GE 長(zhǎng)的思路.
5.(江西)在菱形ABCD 中,, ，點(diǎn) P 是射線BD 上一動(dòng)點(diǎn)，以AP 為邊向右側(cè)作等邊三角形APE，點(diǎn)E 的位置隨點(diǎn)P 的位置變化而變化.
(1)如圖(1)所示,當(dāng)點(diǎn)E 在菱形ABCD 內(nèi)部或邊上時(shí),連接CE,BP 與CE 的數(shù)量關(guān)系是 ,CE 與AD 的位置關(guān)系是 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)E 在菱形ABCD 外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立 若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖(2)和圖(3)中的一種情況予以證明或說(shuō)理)；
(3)如圖(4)所示,當(dāng)點(diǎn) P 在線段BD 的延長(zhǎng)線上時(shí),連接 BE,若 ,求四邊形 ADPE 的面積.

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