資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題5 不等式（組）問題
考點掃描☆聚焦中考
不等式（組）問題近幾年中考中填空題或選擇題以中低檔型出現,解答題以中檔型出現;三種題型必考其一.解答題占的分值在8分~10分之間,以解不等式和應用題考查為主.涉及本知識點的重點有不等式的基本性質；解一元一次不等式（組）,并會表示解集;一元一次不等式（組）的應用.從考查熱點涉及本知識點的有：不等式的基本性質；解一元一次不等式（組）并在數軸上表示解集；不等式（組）的整數解；一元一次不等式（組）的應用.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 北京）已知a﹣1＞0，則下列結論正確的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
例2（2023 鹽城）解不等式2x﹣3＜，并把它的解集在數軸上表示出來．
例3（2023 西藏）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
例4（2023 蘭州）解不等式組：．
例5（2022 綏化）不等式組的解集為x＞2，則m的取值范圍為 　　．
例6（2023 眉山）關于x的不等式組的整數解僅有4個，則m的取值范圍是（　　）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
例7（2023 懷化）某中學組織學生研學，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿．
（1）求原計劃租用A種客車多少輛？這次研學去了多少人？
（2）若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？
（3）在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應該怎樣租車才最合算？
考點過關☆專項突破
類型一 不等式的性質
1．（2023 德陽）如果a＞b，那么下列運算正確的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜
2．（2022 包頭）若m＞n，則下列不等式中正確的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是實數，若a＞b，c＝d，則（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
4．（2022 宿遷）如果x＜y，那么下列不等式正確的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
5．（2022 泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小關系為 　 　．
類型二 不等式（組）的解法
1．（2023 攀枝花）下列各數是不等式x﹣1≥0的解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（2023 廣西）x≤2在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022 聊城）關于x，y的方程組的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（　　）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
4．（2022 梧州）不等式組的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022 益陽）若x＝2是下列四個選項中的某個不等式組的一個解，則這個不等式組是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 遂寧）若關于x的不等式組的解集為x＞3，則a的取值范圍是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
7．（2023 盤錦）不等式≥的解集是 　 　．
8．（2023 黃石）若實數a使關于x的不等式組的解集為﹣1＜x＜4，則實數a的取值范圍為 　 　．
9．（2022 內蒙古）關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是 　 ．
10．（2023 寧夏）解不等式組 ．
下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任務一：該同學的解答過程第 　　步出現了錯誤，錯誤原因是 　　；
不等式①的正確解集是 　 　；
任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
11．（2023 菏澤）解不等式組．
類型三 不等式（組）的整數解
1．（2023 宿遷）不等式x﹣2≤1的最大整數解是 　　．
2．（2023 綿陽）關于x的不等式組有且只有兩個整數解，則符合條件的所有整數m的和為（　　）
A．11 B．15 C．18 D．21
3．（2023 宜賓）若關于x的不等式組所有整數解的和為14，則整數a的值為 　　．
4．（2022 陜西）求不等式﹣1＜的正整數解．
5．（2023 常州）解不等式組，把解集在數軸上表示出來，并寫出整數解．
6．（2022 淮安）解不等式組：并寫出它的正整數解．
類型四 不等式（組）的應用
1．（2023 麗水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
2．（2023 西寧）象征吉祥富貴的丁香花是西寧市市花．為美化丁香大道，園林局準備購買某種規格的丁香花，若每棵6元，總費用不超過5000元，則最多可以購買 　 　棵．
3．（2023 遼寧）某超市銷售甲、乙兩種驅蚊手環，某天賣出3個甲種驅蚊手環和1個乙種驅蚊手環，收入128元；另一天，以同樣的價格賣出1個甲種驅蚊手環和2個乙種驅蚊手環，收入76元．
（1）每個甲種驅蚊手環和每個乙種驅蚊手環的售價分別是多少元？
（2）某幼兒園欲購買甲、乙兩種驅蚊手環共100個，總費用不超過2500元，那么最多可購買甲種驅蚊手環多少個？
4．（2023 河南）某健身器材專賣店推出兩種優惠活動，并規定購物時只能選擇其中一種．
活動一：所購商品按原價打八折；
活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）
（1）購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由；
（2）購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價；
（3）購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內，選擇活動二比選擇活動一更合算？設一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．
5．（2022 瀘州）某經銷商計劃購進A，B兩種農產品．已知購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元．
（1）A，B兩種農產品每件的價格分別是多少元？
（2）該經銷商計劃用不超過5400元購進A，B兩種農產品共40件，且A種農產品的件數不超過B種農產品件數的3倍．如果該經銷商將購進的農產品按照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A，B兩種農產品各多少件時獲利最多？
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題5 不等式（組）問題
考點掃描☆聚焦中考
不等式（組）問題近幾年中考中填空題或選擇題以中低檔型出現,解答題以中檔型出現;三種題型必考其一.解答題占的分值在8分~10分之間,以解不等式和應用題考查為主.涉及本知識點的重點有不等式的基本性質；解一元一次不等式（組）,并會表示解集;一元一次不等式（組）的應用.從考查熱點涉及本知識點的有：不等式的基本性質；解一元一次不等式（組）并在數軸上表示解集；不等式（組）的整數解；一元一次不等式（組）的應用.
考點剖析☆典型例題
例1 （2023 北京）已知a﹣1＞0，則下列結論正確的是（　　）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1 B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【答案】B
【點撥】根據不等式的性質，進行計算即可解答．
【解析】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故選：B．
【點睛】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．
例2（2023 鹽城）解不等式2x﹣3＜，并把它的解集在數軸上表示出來．
【答案】x＜1．
【點撥】先去分母，再去括號、移項、合并同類項，系數化為1，求出不等式的解集，再在數軸上表示出來即可．
【解析】解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x﹣4，
去括號，得6x﹣9＜x﹣4，
移項合并同類項，得5x＜5，
系數化為1，得x＜1
∴原不等式的解集為：x＜1．
在數軸上表示為：
【點睛】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．
例3（2023 西藏）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【點撥】先分別求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解析】解：，
由①x≤2，
由②得x＞﹣1，
不等式組的解集為﹣1＜x≤2．
故選：C．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
例4（2023 蘭州）解不等式組：．
【答案】3＜x＜4．
【點撥】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解析】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x＜4，
則不等式組的解集為3＜x＜4．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
例5（2022 綏化）不等式組的解集為x＞2，則m的取值范圍為 　m≤2　．
【答案】m≤2．
【點撥】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大，結合不等式組的解集可得答案．
【解析】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式組的解集為x＞2，
∴m≤2，
故答案為：m≤2．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解題的關鍵．
例6（2023 眉山）關于x的不等式組的整數解僅有4個，則m的取值范圍是（　　）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
【答案】A
【點撥】先解不等式組，再根據僅有4個整數解得出m的不等式組，再求解．
【解析】解：解不等式組得：m+3＜x＜3，
由題意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故選：A．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數解，掌握解不等式組的方法是解題的關鍵．
例7（2023 懷化）某中學組織學生研學，原計劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座位；若租用可坐乘客60人的B種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿．
（1）求原計劃租用A種客車多少輛？這次研學去了多少人？
（2）若該校計劃租用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？
（3）在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應該怎樣租車才最合算？
【答案】（1）原計劃租用A種客車26輛，這次研學去了1200人；
（2）該學校共有3種租車方案，
方案1：租用5輛B種客車，20輛A種客車；
方案2：租用6輛B種客車，19輛A種客車；
方案3：租用7輛B種客車，18輛A種客車；
（3）租用5輛B種客車，20輛A種客車最合算．
【點撥】（1）設原計劃租用A種客車x輛，則這次研學去了（45x+30）人，根據這次去研學的人數不變，可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（2）設租用B種客車y輛，則租用A種客車（25﹣y）輛，根據“租用的25輛客車可乘坐人數不少于1200人，且租用的B種客車不超過7輛”，可得出關于y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結合y為正整數，即可得出各租車方案；
（3）利用總租金＝每輛A種客車的租金×租用A種客車的輛數+每輛B種客車的租金×租用B種客車的輛數，可分別求出選擇各方案所需總租金，比較后，即可得出結論．
【解析】解：（1）設原計劃租用A種客車x輛，則這次研學去了（45x+30）人，
根據題意得：45x+30＝60（x﹣6），
解得：x＝26，
∴45x+30＝45×26+30＝1200．
答：原計劃租用A種客車26輛，這次研學去了1200人；
（2）設租用B種客車y輛，則租用A種客車（25﹣y）輛，
根據題意得：，
解得：5≤y≤7，
又∵y為正整數，
∴y可以為5，6，7，
∴該學校共有3種租車方案，
方案1：租用5輛B種客車，20輛A種客車；
方案2：租用6輛B種客車，19輛A種客車；
方案3：租用7輛B種客車，18輛A種客車；
（3）選擇方案1的總租金為300×5+220×20＝5900（元）；
選擇方案2的總租金為300×6+220×19＝5980（元）；
選擇方案3的總租金為300×7+220×18＝6060（元）．
∵5900＜5980＜6060，
∴租用5輛B種客車，20輛A種客車最合算．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用、一元一次方程的應用以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次方程，（3）根據各數量之間的關系，求出選擇各方案所需總租金．
考點過關☆專項突破
類型一 不等式的性質
1．（2023 德陽）如果a＞b，那么下列運算正確的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜
【答案】D
【點撥】不等式的基本性質：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，由此即可判斷．
【解析】解：A、若a＞b，則a﹣3＞b﹣3，故A不符合題意；
B、若a＞b，則a+3＞b+3，故B不符合題意；
C、若a＞b，則3a＞3b，故C不符合題意；
D、若a＞b，則＜，正確，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查不等式的性質，關鍵是掌握不等式的性質．
2．（2022 包頭）若m＞n，則下列不等式中正確的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【答案】D
【點撥】A、不等式的兩邊同時減去2，不等號的方向不變；
B、不等式的兩邊同時乘以﹣，不等號的方向改變；
C、不等式的兩邊同時減去m，不等號的方向不變；
D、不等式的兩邊同時乘以﹣2，不等號的方向改變．
【解析】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合題意；
B、﹣mn，∴不符合題意；
C、m﹣n＞0，∴不符合題意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了不等式的性質，掌握不等式的3個性質是解題關鍵．
3．（2022 杭州）已知a，b，c，d是實數，若a＞b，c＝d，則（　　）
A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d
【答案】A
【點撥】根據不等式的性質判斷A選項；根據特殊值法判斷B，C，D選項．
【解析】解：A選項，∵a＞b，c＝d，
∴a+c＞b+d，故該選項符合題意；
B選項，當a＝2，b＝1，c＝d＝3時，a+b＜c+d，故該選項不符合題意；
C選項，當a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3時，a+c＜b﹣d，故該選項不符合題意；
D選項，當a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3時，a+b＜c﹣d，故該選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了不等式的性質，掌握不等式的兩邊同時加上或減去同一個整式（或相等的整式），不等號的方向不變是解題的關鍵．
4．（2022 宿遷）如果x＜y，那么下列不等式正確的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
【答案】D
【點撥】根據不等式的性質進行分析判斷．
【解析】解：A、在不等式x＜y的兩邊同時減去1，不等號的方向不變，即x﹣1＜y﹣1，不符合題意；
B、在不等式x＜y的兩邊同時加上1，不等號的方向不變，即x+1＜y+1，不符合題意；
C、在不等式x＜y的兩邊同時乘﹣2，不等號法方向改變，即﹣2x＞﹣2y，不符合題意；
D、在不等式x＜y的兩邊同時乘2，不等號的方向不變，即2x＜2y，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了不等式的性質．不等式的性質1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數或式子，不等號的方向不變；不等式的性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．據此逐一判斷即可．
5．（2022 泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小關系為 　b＜c＜a　．
【答案】b＜c＜a
【點撥】代數式的比較，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空題不需要過程的特殊性，還可以考慮特殊值代入法．考慮到答案唯一，因此特殊值代入法最合適，也最簡單．
【解析】解：解法1：令m＝1，n＝0，
則a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
【點睛】本題考查不等式的性質，但是直接利用不等式的性質并不容易求解，考慮到填空題不需要過程，所以特殊值代入法也是最好的選擇．
類型二 不等式（組）的解法
1．（2023 攀枝花）下列各數是不等式x﹣1≥0的解的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】D
【點撥】移項即可得出答案．
【解析】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1，
故選：D．
【點睛】本題考查不等式的解集，解題的關鍵是正確理解不等式的解的概念，本題屬于基礎題型．
2．（2023 廣西）x≤2在數軸上表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【點撥】先在數軸上找到點2，再確定實心點還是空心點，根據大于往右畫，小于往左畫得結論．
【解析】解：x≤2在數軸上表示為：
故選：C．
【點睛】本題考查了數軸上表示解集，掌握表示解集的方法是解決本題的關鍵．
3．（2022 聊城）關于x，y的方程組的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（　　）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
【答案】A
【點撥】兩個方程相減可得出x+y＝k﹣3，根據x+y≥5列出關于k的不等式，解之可得答案．
【解析】解：把兩個方程相減，可得x+y＝k﹣3，
根據題意得：k﹣3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范圍是k≥8．
故選：A．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的基本性質等知識點．
4．（2022 梧州）不等式組的解集在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【點撥】求出兩個不等式的公共解，并將解集在數軸上表示出來即可．
【解析】解：
所以不等式組的解集為﹣1＜x＜2，
在數軸上表示為：
，
故選：C．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到是關鍵．
5．（2022 益陽）若x＝2是下列四個選項中的某個不等式組的一個解，則這個不等式組是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】先把不等式組的解集求出來，然后根據解集判斷x＝2是否是解集一個解．
【解析】解：A、∵不等式組的解集為x＜﹣1，∴x＝2不在這個范圍內，故A不符合題意；
B、∵不等式組的解集為﹣1＜x＜1，∴x＝2不在這個范圍內，故B不符合題意；
C、∵不等式組無解，∴x＝2不在這個范圍內，故C不符合題意；
D、∵不等式組的解集為x＞1，∴x＝2在這個范圍內，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了不等式組的解集，不等式組解集的確定方法：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了．
6．（2023 遂寧）若關于x的不等式組的解集為x＞3，則a的取值范圍是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【答案】D
【點撥】用含a的式子表示出不等式的解，結合條件進行求解即可．
【解析】解：，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞a，
∵不等式組的解集是x＞3，
∴a≤3．
故選：D．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解答的關鍵是明確“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則．
7．（2023 盤錦）不等式≥的解集是 　x≥﹣3　．
【答案】x≥﹣3．
【點撥】按解一元一次不等式的步驟解不等式即可．
【解析】解：去分母得，3（x+1）≥2x，
去括號得，3x+3≥2x，
移項合并同類項得，x≥﹣3．
故答案為：x≥﹣3．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是關鍵．
8．（2023 黃石）若實數a使關于x的不等式組的解集為﹣1＜x＜4，則實數a的取值范圍為 　a≤﹣1　．
【答案】a≤﹣1．
【點撥】求出不等式組的解，根據其解集求出a的取值范圍即可．
【解析】解：解不等式組，得．
∵它的解集為﹣1＜x＜4，
∴a≤﹣1．
故答案為：a≤﹣1．
【點睛】本題考查不等式的解集，正確求解不等式是本題的關鍵．
9．（2022 內蒙古）關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是 　a≥2　．
【答案】見試題解答內容
【點撥】先把a當作已知條件求出各不等式的解集，再根據不等式組無解求出a的取值范圍即可．
【解析】解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式組無解，
∴a≥2，
故答案為：a≥2．
【點睛】此題主要考查了解一元一次不等式組，關鍵是掌握解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小解沒了．
10．（2023 寧夏）解不等式組 ．
下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
x＞1…第4步
任務一：該同學的解答過程第 　4　步出現了錯誤，錯誤原因是 　不等式的基本性質3應用錯誤　；
不等式①的正確解集是 　x＜1　；
任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
【答案】任務一：4，不等式的基本性質3應用錯誤，x＜1；
任務二：﹣1≤x＜1．
【點撥】任務一：根據解不等式的基本步驟解答即可；
任務二：先移項，再合并同類項，把x的系數化為1即可．
【解析】解：任務一：4，不等式的基本性質3應用錯誤，x＜1；
任務二：﹣3x+x≤4﹣2，
﹣2x≤2，
x≥﹣1，
∴該不等式組的解集為﹣1≤x＜1．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解題的關鍵．
11．（2023 菏澤）解不等式組．
【答案】x≤．
【點撥】先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．
【解析】解：，
解不等式①，得：x＜2.5，
解不等式②，得：x≤，
∴該不等式組的解集是x≤．
【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．
類型三 不等式（組）的整數解
1．（2023 宿遷）不等式x﹣2≤1的最大整數解是 　3　．
【答案】3
【點撥】根據解一元一次不等式基本步驟：移項、合并同類項可得．
【解析】解：移項，得：x≤1+2，
合并同類項，得：x≤3，
則不等式的最大整數解為3；
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．
2．（2023 綿陽）關于x的不等式組有且只有兩個整數解，則符合條件的所有整數m的和為（　　）
A．11 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【點撥】表示出不等式組的解集，由不等式有且只有兩個整數解確定出m的取值，求出整數m的值，進而求出和．
【解析】解：解不等式3x+2＞m，得x＞，
解不等式≤1，得x≤3，
∵不等式組有且只有兩個整數解，
∴1≤＜2，
∴5≤m＜8，
∴整數m的取值為5，6，7，
∴所有整數m的和5+6+7＝18．
故選：C．
【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．
3．（2023 宜賓）若關于x的不等式組所有整數解的和為14，則整數a的值為 　2或﹣1　．
【答案】2或﹣1．
【點撥】求出a﹣1＜x≤5，根據所有整數解的和為14，列出關于a的不等式組，解得a的范圍，即可求得答案．
【解析】解：，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整數解的和為14，
∴不等式組的整數解為5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
∵a為整數，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案為：2或﹣1．
【點睛】本題考查不等式組的整數解，解題的關鍵是根據題意列出關于a的不等式組．
4．（2022 陜西）求不等式﹣1＜的正整數解．
【答案】不等式的正整數解有4，3，2，1．
【點撥】解不等式求出x的范圍，再取符合條件的正整數即可．
【解析】解：兩邊同時乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移項得：2x﹣x＜1+4，
合并同類項得：x＜5，
∴不等式的正整數解有：4，3，2，1．
【點睛】本題考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是掌握解一元一次不等式的一般步驟．
5．（2023 常州）解不等式組，把解集在數軸上表示出來，并寫出整數解．
【答案】﹣1＜x≤2，數軸見解答，整數解是：0，1，2．
【點撥】先求出不等式組的解集，再求出不等式組的整數解即可．
【解析】解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式組的解集是﹣1＜x≤2，
在數軸上表示為
，
∴不等式組的整數解是：0，1，2．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式（組）的應用，關鍵是能求出不等式組的解集．
6．（2022 淮安）解不等式組：并寫出它的正整數解．
【答案】1，2，3．
【點撥】解不等式組求出它的解集，再取正整數解即可．
【解析】解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式＜x﹣1得x＜4，
∴不等式組的解集為：﹣1≤x＜4．
∴不等式組的正整數解為：1，2，3．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的正整數解，利用一元一次不等式組的解法正確求得不等式組的解集是解題的關鍵．
類型四 不等式（組）的應用
1．（2023 麗水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為（　　）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n
【答案】A
【點撥】利用小霞原來存款數+15×月數n＞小明原來存款數+12×月數n，求出即可．
【解析】解：由題意可得：52+15n＞70+12n．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，得到兩人存款數的關系式是解決本題的關鍵．
2．（2023 西寧）象征吉祥富貴的丁香花是西寧市市花．為美化丁香大道，園林局準備購買某種規格的丁香花，若每棵6元，總費用不超過5000元，則最多可以購買 　833　棵．
【答案】833．
【點撥】設購買x棵丁香花，根據總費用不超過5000元得：6x≤5000，解出x的值，結合x為整數即可得到答案．
【解析】解：設購買x棵丁香花，
根據題意得：6x≤5000，
解得x≤833，
∵x為整數，
∴x的最大值為833，
∴最多可以購買833棵；
故答案為：833．
【點睛】本題考查一元一次不等式的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出一元一次不等式．
3．（2023 遼寧）某超市銷售甲、乙兩種驅蚊手環，某天賣出3個甲種驅蚊手環和1個乙種驅蚊手環，收入128元；另一天，以同樣的價格賣出1個甲種驅蚊手環和2個乙種驅蚊手環，收入76元．
（1）每個甲種驅蚊手環和每個乙種驅蚊手環的售價分別是多少元？
（2）某幼兒園欲購買甲、乙兩種驅蚊手環共100個，總費用不超過2500元，那么最多可購買甲種驅蚊手環多少個？
【答案】（1）每個甲種驅蚊手環的售價是36元，每個乙種驅蚊手環的售價是20元；
（2）最多可購買甲種驅蚊手環31個．
【點撥】（1）設每個甲種驅蚊手環的售價是x元，每個乙種驅蚊手環的售價是y元，根據“賣出3個甲種驅蚊手環和1個乙種驅蚊手環，收入128元；賣出1個甲種驅蚊手環和2個乙種驅蚊手環，收入76元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購買甲種驅蚊手環m個，則購買乙種驅蚊手環（100﹣m）個，利用總價＝單價×數量，結合總價不超過2500元，可列出關于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數值，即可得出結論．
【解析】解：（1）設每個甲種驅蚊手環的售價是x元，每個乙種驅蚊手環的售價是y元，
根據題意得：，
解得：．
答：每個甲種驅蚊手環的售價是36元，每個乙種驅蚊手環的售價是20元；
（2）設購買甲種驅蚊手環m個，則購買乙種驅蚊手環（100﹣m）個，
根據題意得：36m+20（100﹣m）≤2500，
解得：m≤，
又∵m為正整數，
∴m的最大值為31．
答：最多可購買甲種驅蚊手環31個．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
4．（2023 河南）某健身器材專賣店推出兩種優惠活動，并規定購物時只能選擇其中一種．
活動一：所購商品按原價打八折；
活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）
（1）購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由；
（2）購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價；
（3）購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內，選擇活動二比選擇活動一更合算？設一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．
【答案】（1）選擇活動一更合算；
（2）一件這種健身器材的原價是400元；
（3）300≤a＜400或600≤a＜800．
【點撥】（1）根據已知列式計算即可；
（2）設一件這種健身器材的原價為x元，可得x＝x﹣80，即可解得答案；
（3）分兩種情況：當300≤a＜600時，a﹣80＜0.8a，當600≤a＜900時，a﹣160＜0.8a，分別解不等式可得答案．
【解析】解：（1）∵450×＝360（元），450﹣80＝370（元），
∴選擇活動一更合算；
（2）設一件這種健身器材的原價為x元，
若x＜300，則活動一按原價打八折，活動二按原價，此時付款金額不可能相等；
∴300≤x＜500，
∴x＝x﹣80，
解得x＝400，
∴一件這種健身器材的原價是400元；
（3）當300≤a＜600時，a﹣80＜0.8a，
解得a＜400；
∴300≤a＜400；
當600≤a＜900時，a﹣160＜0.8a，
解得a＜800；
∴600≤a＜800；
綜上所述，300≤a＜400或600≤a＜800．
【點睛】本題考查一元一次方程，一元一次不等式的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程和不等式解決問題．
5．（2022 瀘州）某經銷商計劃購進A，B兩種農產品．已知購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元．
（1）A，B兩種農產品每件的價格分別是多少元？
（2）該經銷商計劃用不超過5400元購進A，B兩種農產品共40件，且A種農產品的件數不超過B種農產品件數的3倍．如果該經銷商將購進的農產品按照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A，B兩種農產品各多少件時獲利最多？
【答案】（1）每件A種農產品的價格是120元，每件B種農產品的價格是150元；
（2）當購進20件A種農產品，20件B種農產品時獲利最多．
【點撥】（1）設每件A種農產品的價格是x元，每件B種農產品的價格是y元，根據“購進A種農產品2件，B種農產品3件，共需690元；購進A種農產品1件，B種農產品4件，共需720元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設該經銷商購進m件A種農產品，則購進（40﹣m）件B種農產品，利用總價＝單價×數量，結合購進A種農產品的件數不超過B種農產品件數的3倍且總價不超過5400元，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，設兩種農產品全部售出后獲得的總利潤為w元，利用總利潤＝每件的銷售利潤×銷售數量，即可得出w關于m的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．
【解析】解：（1）設每件A種農產品的價格是x元，每件B種農產品的價格是y元，
依題意得：，
解得：．
答：每件A種農產品的價格是120元，每件B種農產品的價格是150元．
（2）設該經銷商購進m件A種農產品，則購進（40﹣m）件B種農產品，
依題意得：，
解得：20≤m≤30．
設兩種農產品全部售出后獲得的總利潤為w元，則w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當m＝20時，w取得最大值，此時40﹣m＝40﹣20＝20．
答：當購進20件A種農產品，20件B種農產品時獲利最多．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于m的函數關系式．
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