資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題4 方程（組）問題
考點掃描☆聚焦中考
方程（組）問題在近幾年全國各地中考試題中，填空題或選擇題、解答題的形式都有考查，整式方程占比分相當大,難度有中檔難度附近，一般大多數考生能拿到分數.主要考查方程的相關定義、解方程，方程在實際問題中的應用.考查熱點涉及本知識點的有：①分式方程、一元二次方程及二次一次方程組的解法②由實際問題列出方程或者方程組求解；③方程（組）中含參求參數的值或者參數范圍.
考點剖析☆典型例題
例1 （2022 青海）根據等式的性質，下列各式變形正確的是（　　）
A．若＝，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b
C．若a2＝b2，則a＝b D．若﹣x＝6，則x＝﹣2
【答案】A
【點撥】根據等式的性質，進行計算逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、若＝，則a＝b，故A符合題意；
B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；
C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；
D、﹣x＝6，則x＝﹣18，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的性質是解題的關鍵．
例2（2021 廣元）解方程：+＝4．
【答案】x＝7．
【點撥】解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，據此解答即可．
【解析】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關鍵．
例3（2023 眉山）已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【點撥】把方程組的兩個方程相減得到2x﹣2y＝2m+6，結合x﹣y＝4，得到m的值．
【解析】解：∵關于x、y的二元一次方程組為，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關鍵是把方程組的兩個方程相減得到m的方程，此題難度不大．
例4（2023 新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【答案】D
【點撥】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．
【解析】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故選：D．
【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關鍵．
例5（2022 天津）方程x2+4x+3＝0的兩個根為（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【答案】D
【點撥】根據解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．
【解析】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故選：D．
【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關鍵．
例6（2023 陜西）解方程：．
【答案】x＝﹣
【點撥】利用解分式方程的步驟解方程即可．
【解析】解：原方程兩邊同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，
去括號得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，
移項，合并同類項得：﹣15x＝25，
解得：x＝﹣，
經檢驗，x＝﹣是分式方程的解，
故原方程的解為：x＝﹣．
【點睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．
例7（2022 重慶）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發，則甲出發半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；
（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．
【答案】（1）24千米/時；
（2）18千米/時．
【點撥】（1）設乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，利用路程＝速度×時間，結合甲追上乙時二者的行駛路程相等，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2x中即可求出甲騎行的速度；
（2）設乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2y千米/時，利用時間＝路程÷速度，結合乙比甲多用20分鐘，即可得出關于y的分式方程，解之經檢驗后即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2y中即可求出甲騎行的速度．
【解析】解：（1）設乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，
依題意得：×1.2x＝2+x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：甲騎行的速度為24千米/時．
（2）設乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2y千米/時，
依題意得：﹣＝，
解得：y＝15，
經檢驗，y＝15是原方程的解，且符合題意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：甲騎行的速度為18千米/時．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關系，正確列出分式方程．
考點過關☆專項突破
類型一 一元一次方程及其應用
1．（2022 濱州）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U、導體的電阻R之間有以下關系：I＝，去分母得IR＝U，那么其變形的依據是（　　）
A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
【答案】B
【點撥】根據等式的性質，對原式進行分析即可．
【解析】解：將等式I＝，去分母得IR＝U，實質上是在等式的兩邊同時乘R，用到的是等式的基本性質2．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了等式的性質，等式性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數或字母，等式仍成立．
2．（2023 永州）關于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【答案】A
【點撥】根據方程的解的定義把x＝1代入方程即可求出m的值．
【解析】解：∵x＝1是關于x的一元一次方程2x+m＝5的解，
∴2×1+m＝5，
∴m＝3，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟知：使方程左右兩邊相等的未知數的值是方程的解．
4．（2023 海南）若代數式x+2的值為7，則x等于（　　）
A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5
【答案】C
【點撥】根據題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】解：根據題意得：x+2＝7，
解得：x＝5．
故選：C．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，根據題意列出方程是解本題的關鍵．
3．（2022 百色）方程3x＝2x+7的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C
【點撥】方程移項合并，即可求出解．
【解析】解：移項得：3x﹣2x＝7，
合并同類項得：x＝7．
故選：C．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
4．（2022 黔西南州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同類項，得x＝﹣4④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【點撥】對題目的解題過程逐步分析，即可找出出錯的步驟．
【解析】解：方程兩邊同乘6應為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出錯的步驟為：①，
故選：A．
【點睛】本題考查解一元一次方程，解題關鍵在于能準確觀察出出錯的步驟．
5．（2023 成都）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一，書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問木長多少尺？設木長x尺，則可列方程為（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
【答案】A
【點撥】設木長x尺，根據題意列出方程解答即可．
【解析】解：設木長x尺，根據題意可得：
，
故選：A．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確得出等量關系是解題的關鍵．
6．（2023 麗水）古代中國的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩．今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國1斤等于16兩）．今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為 　　斤．
【答案】．
【點撥】可設原有生絲為x斤，根據比值是一定的，列出方程計算即可求解．
【解析】解：設原有生絲為x斤，
x：12＝30：（30﹣3），
解得x＝．
故原有生絲為斤．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，正確找到等量關系是解題關鍵．
7．（2023 北京）對聯是中華傳統文化的瑰寶，對聯裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯，對聯的長為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．
【答案】邊的寬為4cm，天頭長為24cm．
【點撥】設天頭長為6x cm，地頭長為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，根據題意得列方程即可得到結論．
【解析】解：設天頭長為6x cm，地頭長為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，
根據題意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：邊的寬為4cm，天頭長為24cm．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，正確地理解題意列出方程是解題的關鍵．
類型二 二元一次方程組及其應用
1．（2023 無錫）下列4組數中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】二元一次方程2x+y＝10的解有無數個，所以此題應該用排除法確定答案，分別代入方程組，使方程左右相等的解才是方程組的解．
【解析】解：A、把x＝1，y＝2代入方程，左邊＝2+2＝右邊，所以是方程的解；
B、把x＝2，y＝0代入方程，左邊＝右邊＝4，所以是方程的解；
C、把x＝0.5，y＝3代入方程，左邊＝4＝右邊，所以是方程的解；
D、把x＝﹣2，y＝4代入方程，左邊＝0≠右邊，所以不是方程的解．
故選：D．
【點睛】本題考查二元一次方程的解的定義，要求理解什么是二元一次方程的解，并會把x，y的值代入原方程驗證二元一次方程的解．
2．（2023 溫州）一瓶牛奶的營養成分中，碳水化合物含量是蛋白質的1.5倍，碳水化合物、蛋白質與脂肪的含量共30g．設蛋白質、脂肪的含量分別為x（g），y（g），可列出方程為（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
【答案】A
【點撥】由碳水化合物和蛋白質含量間的關系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，結合碳水化合物、蛋白質與脂肪的含量共30g，即可得出關于x，y的二元一次方程，此題得解．
【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白質的1.5倍，且蛋白質的含量為x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根據題意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．
3．（2023 內蒙古）某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．某隊在12場比賽中得20分．設該隊勝x場，負y場，則根據題意，列出關于x、y的二元一次方程組正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【點撥】依據題意，根據比賽12場可得x+y＝12，根據總積分20分，可得方程2x+y＝20，然后即可寫出相應的方程組．
【解析】解：由題意可得，
．
故選：D．
【點睛】本題考查二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組．
4．（2023 南通）若實數x，y，m滿足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，則代數式﹣2xy+1的值可以是（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【點撥】結合已知條件解含參的二元一次方程組，然后代入﹣2xy+1中確定其取值即可．
【解析】解：由題意可得，
解得：，
則﹣2xy+1
＝﹣2××+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+1
＝﹣+≤，
∵3＞＞2＞，
∴A，B，C不符合題意，D符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查解二元一次方程組，解得x，y的值后代入﹣2xy+1中整理出﹣+是解題的關鍵．
5．（2023 連云港）解方程組．
【答案】．
【點撥】利用加減消元法解方程組即可．
【解析】解：，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
將x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程組的解為：．
【點睛】本題考查解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本方法為代入消元法和加減消元法，必須熟練掌握．
6．（2023 廣西）【綜合與實踐】：有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”，某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務，
【知識背景】：如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：（m0+m） l＝M （a+y），其中秤盤質量m0克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為1厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．
【方案設計】：目標：設計簡易桿秤．設定m0＝10，M＝50，最大可稱重物質量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務一：確定l和a的值．
（1）當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
（2）當秤盤放入質量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
（3）根據（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任務二：確定刻線的位置．
（4）根據任務一，求y關于m的函數解析式；
（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
【答案】見解析
【點撥】（1）根據題意可直接進行求解；
（2）根據題意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程組進行求解；
（4）根據（3）可進行求解；
（5）分別把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解．
【解析】解：（1）由題意得：m＝0，y＝0，
∵m0＝10，M＝50，
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
（2）由題意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50），
∴101l﹣5a＝250；
（3）由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），
∴；
（5）由（4）可知：，
當m＝100時，則有y＝5；
∴相鄰刻線間的距離為5厘米．
【點睛】本題主要考查一次函數的應用、解二元一次方程組，讀懂題意，根據題干的描述正確列出等式是解題關鍵．
類型三 一元二次方程及其應用
1．（2022 連云港）若關于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m+n的值是 　1　．
【答案】1．
【點撥】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解析】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
2．（2022 梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　x1＝2，x2＝﹣7　．
【答案】x1＝2，x2＝﹣7．
【點撥】利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．
【解析】解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x1＝2，x2＝﹣7，
故答案為：x1＝2，x2＝﹣7．
【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關鍵．
3．（2022 雅安）若關于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【點撥】把常數項c移項后，在左右兩邊同時加上一次項系數6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解析】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故選：C．
【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
4．（2023 廣西）據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
【答案】B
【點撥】根據2020年的人均可支配收入×（1+年平均增長率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解析】解：由題意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故選：B．
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
5．（2023 廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【答案】見解析
【點撥】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解析】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
【點睛】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程．
6．（2023 東營）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．
（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？
（2）羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
【答案】（1）當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2 的羊圈；（2）不能，理由見解析．
【點撥】（1）根據BC＝柵欄總長﹣2AB，再利用矩形面積公式即可求出；
（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函數解析式中，解方程，取在自變量范圍內的值即可．
【解析】解：（1）設矩形ABCD的邊AB＝x m，則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根據題意，得x（72﹣2x）＝640，
化簡，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
當x＝16時，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
當x＝20時，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由題意，得x（72﹣2x）＝650，
化簡，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程沒有實數根．
∴羊圈的面積不能達到 650m2．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找到周長等量關系是解決本題的關鍵．
類型四 分式方程及其應用
1．（2023 株洲）將關于x的分式方程去分母可得（　　）
A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x
【答案】A
【點撥】方程兩邊同乘2x（x﹣1），然后整理即可判斷哪個選項符合題意．
【解析】解：，
去分母，得：3（x﹣1）＝2x，
整理，得：3x﹣3＝2x，
故選：A．
【點睛】本題考查解分式方程，解答本題的關鍵是找出最簡公分母．
2．（2023 恩施州）分式方程＝的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0
【答案】B
【點撥】方程兩邊同乘最簡公分母（x﹣3）（x﹣1），化為整式方程求解，然后再進行檢驗可得出方程的解．
【解析】解：＝，
方程兩邊同乘最簡公分母（x﹣3）（x﹣1），
去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）＝24≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣3，
故選：B．
【點睛】此題主要是考查了分式方程的解法，能夠正確去得分母化為整式方程是解答此題的關鍵，注意分式方程要檢驗．
3．（2023 上海）在分式方程+＝5中，設＝y，可得到關于y的整式方程為（　　）
A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0
【答案】D
【點撥】設＝y，則＝，原方程可變為：y+＝5，再去分母得y2+1＝5y，即可得出結論．
【解析】解：設＝y，則＝，
分式方程+＝5可變為：y+＝5，
去分母得：y2+1＝5y，
整理得：y2﹣5y+1＝0，
故選：D．
【點睛】本題考查換元法解分式方程，熟練掌握換元法是解題的關鍵．
4．（2023 牡丹江）若分式方程＝1﹣的解為負數，則a的取值范圍是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2
C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
【答案】D
【點撥】求出分式方程的解，按照解為負數列出不等式進行計算即可得出a的取值范圍．
【解析】解：方程兩側同乘（x+2）得，a＝x+2﹣3，
∴x＝a+1，
∵解為負數，
∴a+1＜0，
即a＜﹣1，
要是分式有意義，x≠﹣2，即a+1≠﹣2，
∴a≠﹣3．
故選：D．
【點睛】本題考查了求分式方程的解以及一次不等式的解集，分式有意義的條件是本題考查的重點．
5．（2023 巴中）關于x的分式方程+＝3有增根，則m＝　﹣1　．
【答案】﹣1
【點撥】先去分母，再根據增根的意義列方程求解．
【解析】解：方程兩邊同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由題意得：x＝2是該整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點睛】本題考查了分式方程的增根，理解增根的意義是解題的關鍵．
6．（2023 張家界）《四元玉鑒》是我國古代的一部數學著作．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，大意是：現請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設6210文購買椽的數量為x株，則符合題意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1）＝ D．＝3x
【答案】C
【點撥】設6210元購買椽的數量為x株，根據單價＝總價÷數量，求出一株椽的價錢為，再根據少拿一株椽后剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，即可列出分式方程，得到答案．
【解析】解：設6210文購買椽的數量為x株，則一株椽的價錢為，
由題意得：3（x﹣1）＝，
故選：C．
【點睛】本題考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關系是解題關鍵．
7．（2023 浙江）小丁和小迪分別解方程﹣＝1過程如下：
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
【答案】×；×；正確步驟見解答過程．
【點撥】根據解分式方程的步驟進行計算并判斷即可．
【解析】解：小丁和小迪的解法都不正確，正確步驟如下：
﹣＝1，
兩邊同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移項，合并同類項得：x＝1，
檢驗：將x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
則x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【點睛】本題考查解分式方程，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
8．（2023 濟南）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同．
（1）求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元？
（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少？最少花費是多少元？
【答案】見解析
【點撥】（1）根據“用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同”列方程求解；
（2）先根據“購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍”求出取值范圍，再根據一次函數的性質求解．
【解析】解：（1）設A型編程機器人模型單價是x元，B型編程機器人模型單價是 （x﹣200）元．
根據題意：，
解這個方程，得：x＝500，
經檢驗，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元；
（2）設購買A型編程機器人模型m臺，購買B型編程機器人模型 （40﹣m）臺，
購買A型和B型編程機器人模型共花費w元，
由題意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w隨m的減小而減小．
當m＝10時，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用及一次函數的應用，找到相等關系是解題的關鍵．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題4 方程（組）問題
考點掃描☆聚焦中考
方程（組）問題在近幾年全國各地中考試題中，填空題或選擇題、解答題的形式都有考查，整式方程占比分相當大,難度有中檔難度附近，一般大多數考生能拿到分數.主要考查方程的相關定義、解方程，方程在實際問題中的應用.考查熱點涉及本知識點的有：①分式方程、一元二次方程及二次一次方程組的解法②由實際問題列出方程或者方程組求解；③方程（組）中含參求參數的值或者參數范圍.
考點剖析☆典型例題
例1 （2022 青海）根據等式的性質，下列各式變形正確的是（　　）
A．若＝，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b
C．若a2＝b2，則a＝b D．若﹣x＝6，則x＝﹣2
例2（2021 廣元）解方程：+＝4．
例3（2023 眉山）已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＝4，則m的值為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
例4（2023 新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
例5（2022 天津）方程x2+4x+3＝0的兩個根為（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
例6（2023 陜西）解方程：．
例7（2022 重慶）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發，則甲出發半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；
（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．
考點過關☆專項突破
類型一 一元一次方程及其應用
1．（2022 濱州）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U、導體的電阻R之間有以下關系：I＝，去分母得IR＝U，那么其變形的依據是（　　）
A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
2．（2023 永州）關于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
4．（2023 海南）若代數式x+2的值為7，則x等于（　　）
A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5
3．（2022 百色）方程3x＝2x+7的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
4．（2022 黔西南州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括號，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移項，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同類項，得x＝﹣4④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2023 成都）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一，書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問木長多少尺？設木長x尺，則可列方程為（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
6．（2023 麗水）古代中國的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩．今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國1斤等于16兩）．今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為 　　斤．
7．（2023 北京）對聯是中華傳統文化的瑰寶，對聯裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯，對聯的長為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．
類型二 二元一次方程組及其應用
1．（2023 無錫）下列4組數中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 溫州）一瓶牛奶的營養成分中，碳水化合物含量是蛋白質的1.5倍，碳水化合物、蛋白質與脂肪的含量共30g．設蛋白質、脂肪的含量分別為x（g），y（g），可列出方程為（　　）
A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30
3．（2023 內蒙古）某校舉行籃球賽，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．某隊在12場比賽中得20分．設該隊勝x場，負y場，則根據題意，列出關于x、y的二元一次方程組正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 南通）若實數x，y，m滿足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，則代數式﹣2xy+1的值可以是（　　）
A．3 B． C．2 D．
5．（2023 連云港）解方程組．
6．（2023 廣西）【綜合與實踐】：有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”，某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務，
【知識背景】：如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：（m0+m） l＝M （a+y），其中秤盤質量m0克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為1厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．
【方案設計】：目標：設計簡易桿秤．設定m0＝10，M＝50，最大可稱重物質量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務一：確定l和a的值．
（1）當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
（2）當秤盤放入質量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；
（3）根據（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任務二：確定刻線的位置．
（4）根據任務一，求y關于m的函數解析式；
（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
類型三 一元二次方程及其應用
1．（2022 連云港）若關于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m+n的值是 　 　．
2．（2022 梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　 　．
3．（2022 雅安）若關于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
4．（2023 廣西）據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
5．（2023 廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
6．（2023 東營）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．
（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？
（2）羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
類型四 分式方程及其應用
1．（2023 株洲）將關于x的分式方程去分母可得（　　）
A．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x
2．（2023 恩施州）分式方程＝的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0
3．（2023 上海）在分式方程+＝5中，設＝y，可得到關于y的整式方程為（　　）
A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0
4．（2023 牡丹江）若分式方程＝1﹣的解為負數，則a的取值范圍是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2
C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
5．（2023 巴中）關于x的分式方程+＝3有增根，則m＝　　．
6．（2023 張家界）《四元玉鑒》是我國古代的一部數學著作．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，大意是：現請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設6210文購買椽的數量為x株，則符合題意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．3（x﹣1）＝6210 C．3（x﹣1）＝ D．＝3x
7．（2023 浙江）小丁和小迪分別解方程﹣＝1過程如下：
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
8．（2023 濟南）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數量相同．
（1）求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元？
（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少？最少花費是多少元？
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