資源簡介

1.1.1 課時2 表示集合的方法
【學習目標】
1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法,感受集合語言的意義和作用.(數學抽象)
2.會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合.(數學抽象)
3.掌握區間的概念,能用區間表示集合.(數學抽象)
【自主預習】
預學憶思
1.集合的表示方法有哪些
【答案】列舉法和描述法.
2.列舉法的使用條件是什么
【答案】所有元素能一一列舉出來.
3.描述法的使用條件是什么
【答案】集合中的所有元素具有共同特征.
4.集合{x|a≤x≤b}(a【答案】它們相等,都表示數集.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)一個集合可以表示為{s,k,t,k}. (　　)
(2)集合{-5,-8}和{(-5,-8)}表示同一個集合. (　　)
(3)實數集R可以表示為[-∞,+∞]. (　　)
(4)集合{x|x>3,且x∈N}與集合(3,+∞)表示同一個集合. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.方程x2-1=0的解集用列舉法表示為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x2-1=0}　　　　 B.{x∈R|x2-1=0}
C.{-1,1} D.以上都不對
【答案】C
【解析】解方程x2-1=0,得x=±1,故方程x2-1=0的解集為{-1,1}.
3.集合{x|2【答案】(2,5]
4.由大于-1且小于5的自然數組成的集合用列舉法表示為　　　　,用描述法表示為　　　　　　　.
【答案】{0,1,2,3,4}　{x∈N|-1【解析】大于-1且小于5的自然數有0,1,2,3,4,故用列舉法表示為集合{0,1,2,3,4}.用描述法表示可用x表示代表元素,其滿足的條件是x∈N且-1【合作探究】
探究1：列舉法
情境設置
(1)我國現有的所有直轄市;
(2)12的所有正因數.
問題1:(1)(2)能構成一個集合嗎 若能,集合的元素有何特點
【答案】能,集合中的元素有限,可以一一列出.
問題2:可以用什么樣的方法表示(1)(2)所構成的集合
【答案】列舉法.(1)表示的集合為{北京市,上海市,天津市,重慶市};(2)表示的集合為{1,2,3,4,6,12}.
問題3:a與{a}是否相同
【答案】a與{a}是完全不同的,{a}表示一個集合,這個集合由一個元素a構成,a是集合{a}的元素.
新知生成
1.列舉法的定義
把集合中的元素一一列舉出來表示集合的方法,叫作列舉法.
2.列舉法的表示
用列舉法表示集合,常用的格式是在一個大括號里寫出每個元素的名字,相鄰的名字用逗號分隔.
注意:用列舉法表示集合的類型.
(1)當元素個數少時,全部列舉,如{1,2,3,4}.
(2)當元素個數多且有限時,可以列舉部分,中間用省略號表示,如“從1到1000的所有自然數”可以表示為{1,2,3,…,1000}.
(3)當元素個數無限但有規律時,也可以類似地用省略號列舉,如“自然數集N”可以表示為{0,1,2,3,…}.
新知運用
例1　用列舉法表示下列集合:
(1)滿足-2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A;
(2)方程(x-2)2(x-3)=0的解組成的集合B;
(3)15的正約數組成的集合C.
【解析】(1)因為-2≤x≤2,x∈Z,
所以x=-2,-1,0,1,2,
所以A={-2,-1,0,1,2}.
(2)因為2和3是方程的解,所以B={2,3}.
(3)因為15的正約數有1,3,5,15四個數字,
所以C={1,3,5,15}.
【方法總結】用列舉法表示集合應注意的兩點
(1)應先弄清集合中的元素是什么,是數還是點,還是其他元素.
(2)若集合中的元素是點,則應將有序實數對用小括號括起來表示一個元素.
鞏固訓練
用列舉法表示下列集合:
(1)11以內非負偶數的集合;
(2)方程(x+1)(x2-4)=0的所有實數根組成的集合;
(3)一次函數y=2x與y=x+1的圖象的交點組成的集合.
【解析】(1)11以內的非負偶數有0,2,4,6,8,10,所以構成的集合為{0,2,4,6,8,10}.
(2)(x+1)(x2-4)=0的根為x1=-1,x2=2,x3=-2,所以所有實數根組成的集合為{-2,-1,2}.
(3)聯立解得所以兩個函數圖象的交點為(1,2),構成的集合為{(1,2)}.
探究2：描述法
情境設置
問題1:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征
【答案】元素的共同特征為x∈R,且x<5.
問題2:如何用描述法表示不等式x-2<3的解集
【答案】{x∈R|x<5}.
問題3:下列四個集合是否相同
①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};
③C={(x,y)|y=x2+1};④P={y=x2+1}.
【答案】互不相同.①A={x|y=x2+1}表示使函數y=x2+1有意義的自變量x的取值范圍,且x的取值范圍是R,因此A=R;
②B={y|y=x2+1}表示函數y=x2+1中的函數值y的取值范圍,而y的取值范圍是y=x2+1≥1,因此B={y|y≥1};
③C={(x,y)|y=x2+1}表示滿足y=x2+1的點(x,y)組成的集合,因此C表示函數y=x2+1的圖象上的點組成的集合;
④P={y=x2+1}是用列舉法表示的集合,該集合中只有一個元素,且此元素是一個式子y=x2+1.
新知生成
1.描述法的概念
把集合中元素共有的,也只有該集合中元素才有的屬性描述出來,以確定這個集合,叫作描述法.
2.描述法的表示
用描述法表示集合,一般的格式是在一個大括號里寫出集合中元素的共有屬性.有些集合用一句話描述不方便,通常在大括號里先寫出集合元素的一般屬性或形式,再畫一條豎線,然后在豎線后面列出這些元素要滿足的相關條件.
新知運用
例2　用描述法表示下列集合:
(1)正偶數集;
(2)被3除余2的正整數的集合;
(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合.
【解析】(1)偶數可用式子x=2n,n∈Z表示,
但此題要求為正偶數,故限定n∈N+,
所以正偶數集可表示為{x|x=2n,n∈N+}.
(2)設被3除余2的數為x,則x=3n+2,n∈Z,
但元素為正整數,故x=3n+2,n∈N,
所以被3除余2的正整數集合可表示為{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)坐標軸上的點(x,y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0,即xy=0,故坐標軸上的點的集合可表示為{(x,y)|xy=0}.
【方法總結】用描述法表示集合應注意的問題
(1)寫清楚該集合的代表元素,如數或點等.
(2)說明該集合中元素的共同屬性.
(3)不能出現未被說明的字母.
(4)所有描述的內容都要寫在大括號內,用于描述的內容力求簡潔、準確.
鞏固訓練
用描述法表示下列集合:
(1)所有被3整除的整數組成的集合;
(2)不等式2x-3>5的解集;
(3)方程x2+x+1=0的所有實數解組成的集合;
(4)拋物線y=-x2+3x-6上所有的點組成的集合;
(5)集合{1,3,5,7,9}.
【解析】(1){x|x=3k,k∈Z}.
(2){x|x>4}.
(3){x|x2+x+1=0}.
(4){(x,y)|y=-x2+3x-6}.
(5){x|x=2n-1,1≤n≤5且n∈N+}.
探究3：區間的概念及表示
情境設置
問題1:對于一個集合,有哪些不同的表示方法
【答案】列舉法、描述法,還可以用區間表示集合.
問題2:區間(a,b)表示的集合是什么 a,b有什么限制
【答案】區間(a,b)表示的集合為{x|a新知生成
區間的定義、名稱、符號及數軸表示如下表(其中a定義 名稱 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區間 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞)
(續表)
定義 名稱 符號 數軸表示
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
{x|xR (-∞,+∞) 取遍數軸上所有的值
　　特別提醒:(1)“∞”讀作無窮大,是一個符號,不是數,當以-∞或+∞作為區間的一端時,這一端必須是小括號;
(2)區間是數集的另一種表示方法,區間的兩個端點必須保證左小、右大.
新知運用
例3　用區間表示下列集合:
(1);
(2)不等式-2x<-4的所有解組成的集合.
【解析】(1)區間表示為(-2,3].
(2)由-2x<-4,得x>2,解集為(2,+∞).
【方法總結】用區間表示集合,要注意端點值能否取到,能取到用閉區間,取不到用開區間.
鞏固訓練
用區間表示下列集合.
(1){x|x≥-2}:　　　　　　　　.
(2){x|1≤x<3}:　　　　　　　　.
(3){x|-3(4)R:　　　　　　　　.
【答案】(1)[-2,+∞)　(2)[1,3)　(3)(-3,0]∪(1,2)　(4)(-∞,+∞)
【解析】(1){x|x≥-2}=[-2,+∞).
(2){x|1≤x<3}=[1,3).
(3){x|-3(4)R=(-∞,+∞).
【隨堂檢測】
1.集合{x∈N+|x-3<2}用列舉法可表示為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
【答案】B
【解析】{x∈N+|x-3<2}={x∈N+|x<5}={1,2,3,4}.
2.集合{x|x≤-2}用區間可表示為(　　).
A.(-∞,-2] B.(-∞,-2)
C.[-2,+∞) D.(-2,+∞)
【答案】A
【解析】{x|x≤-2}表示小于或等于-2的數組成的集合,即用區間表示為(-∞,-2].
3.用描述法表示方程x<-x-3的解集為　　　　.
【答案】xx<-
【解析】∵x<-x-3,∴x<-.
∴ 解集為xx<-.
4.用另一種方法表示下列集合:
(1){-3,-1,1,3,5};
(2)已知M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},寫出集合P.
【解析】(1){x|x=2k-1,k∈Z且-1≤k≤3}.
(2)P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.
21.1.1 課時2 表示集合的方法
【學習目標】
1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法,感受集合語言的意義和作用.(數學抽象)
2.會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合.(數學抽象)
3.掌握區間的概念,能用區間表示集合.(數學抽象)
【自主預習】
預學憶思
1.集合的表示方法有哪些
2.列舉法的使用條件是什么
3.描述法的使用條件是什么
4.集合{x|a≤x≤b}(a自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)一個集合可以表示為{s,k,t,k}. (　　)
(2)集合{-5,-8}和{(-5,-8)}表示同一個集合. (　　)
(3)實數集R可以表示為[-∞,+∞]. (　　)
(4)集合{x|x>3,且x∈N}與集合(3,+∞)表示同一個集合. (　　)
2.方程x2-1=0的解集用列舉法表示為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x2-1=0}　　　　 B.{x∈R|x2-1=0}
C.{-1,1} D.以上都不對
3.集合{x|24.由大于-1且小于5的自然數組成的集合用列舉法表示為　　　　,用描述法表示為　　　　　　　.
【合作探究】
探究1：列舉法
情境設置
(1)我國現有的所有直轄市;
(2)12的所有正因數.
問題1:(1)(2)能構成一個集合嗎 若能,集合的元素有何特點
問題2:可以用什么樣的方法表示(1)(2)所構成的集合
問題3:a與{a}是否相同
新知生成
1.列舉法的定義
把集合中的元素一一列舉出來表示集合的方法,叫作列舉法.
2.列舉法的表示
用列舉法表示集合,常用的格式是在一個大括號里寫出每個元素的名字,相鄰的名字用逗號分隔.
注意:用列舉法表示集合的類型.
(1)當元素個數少時,全部列舉,如{1,2,3,4}.
(2)當元素個數多且有限時,可以列舉部分,中間用省略號表示,如“從1到1000的所有自然數”可以表示為{1,2,3,…,1000}.
(3)當元素個數無限但有規律時,也可以類似地用省略號列舉,如“自然數集N”可以表示為{0,1,2,3,…}.
新知運用
例1　用列舉法表示下列集合:
(1)滿足-2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A;
(2)方程(x-2)2(x-3)=0的解組成的集合B;
(3)15的正約數組成的集合C.
【方法總結】用列舉法表示集合應注意的兩點
(1)應先弄清集合中的元素是什么,是數還是點,還是其他元素.
(2)若集合中的元素是點,則應將有序實數對用小括號括起來表示一個元素.
鞏固訓練
用列舉法表示下列集合:
(1)11以內非負偶數的集合;
(2)方程(x+1)(x2-4)=0的所有實數根組成的集合;
(3)一次函數y=2x與y=x+1的圖象的交點組成的集合.
探究2：描述法
情境設置
問題1:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征
問題2:如何用描述法表示不等式x-2<3的解集
問題3:下列四個集合是否相同
①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};
③C={(x,y)|y=x2+1};④P={y=x2+1}.
新知生成
1.描述法的概念
把集合中元素共有的,也只有該集合中元素才有的屬性描述出來,以確定這個集合,叫作描述法.
2.描述法的表示
用描述法表示集合,一般的格式是在一個大括號里寫出集合中元素的共有屬性.有些集合用一句話描述不方便,通常在大括號里先寫出集合元素的一般屬性或形式,再畫一條豎線,然后在豎線后面列出這些元素要滿足的相關條件.
新知運用
例2　用描述法表示下列集合:
(1)正偶數集;
(2)被3除余2的正整數的集合;
(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合.
【方法總結】用描述法表示集合應注意的問題
(1)寫清楚該集合的代表元素,如數或點等.
(2)說明該集合中元素的共同屬性.
(3)不能出現未被說明的字母.
(4)所有描述的內容都要寫在大括號內,用于描述的內容力求簡潔、準確.
鞏固訓練
用描述法表示下列集合:
(1)所有被3整除的整數組成的集合;
(2)不等式2x-3>5的解集;
(3)方程x2+x+1=0的所有實數解組成的集合;
(4)拋物線y=-x2+3x-6上所有的點組成的集合;
(5)集合{1,3,5,7,9}.
}.
探究3：區間的概念及表示
情境設置
問題1:對于一個集合,有哪些不同的表示方法
問題2:區間(a,b)表示的集合是什么 a,b有什么限制
新知生成
區間的定義、名稱、符號及數軸表示如下表(其中a定義 名稱 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區間 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞)
(續表)
定義 名稱 符號 數軸表示
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
{x|xR (-∞,+∞) 取遍數軸上所有的值
　　特別提醒:(1)“∞”讀作無窮大,是一個符號,不是數,當以-∞或+∞作為區間的一端時,這一端必須是小括號;
(2)區間是數集的另一種表示方法,區間的兩個端點必須保證左小、右大.
新知運用
例3　用區間表示下列集合:
(1);
(2)不等式-2x<-4的所有解組成的集合.
【方法總結】用區間表示集合,要注意端點值能否取到,能取到用閉區間,取不到用開區間.
鞏固訓練
用區間表示下列集合.
(1){x|x≥-2}:　　　　　　　　.
(2){x|1≤x<3}:　　　　　　　　.
(3){x|-3(4)R:　　　　　　　　.
【隨堂檢測】
1.集合{x∈N+|x-3<2}用列舉法可表示為(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
2.集合{x|x≤-2}用區間可表示為(　　).
A.(-∞,-2] B.(-∞,-2)
C.[-2,+∞) D.(-2,+∞)
3.用描述法表示方程x<-x-3的解集為　　　　.
4.用另一種方法表示下列集合:
(1){-3,-1,1,3,5};
(2)已知M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},寫出集合P.
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