資源簡介

1.1.2　子集和補(bǔ)集
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解集合間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.了解全集的概念,理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,能求給定子集的補(bǔ)集.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能理解用Venn圖表示集合的基本關(guān)系,體會(huì)圖形對理解抽象概念的作用.(直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.集合與集合之間的關(guān)系有哪幾種 如何用符號表示這些關(guān)系
【答案】集合與集合之間的關(guān)系有包含、真包含或相等,包含用符號“ ”表示,真包含用符號“ ”表示,相等用符號“=”表示.
2.集合的子集、真子集是怎么定義的
【答案】若A包含于B,則A是B的一個(gè)子集;若A B但A≠B,則A是B的真子集.
3.空集和其他集合間具有什么關(guān)系
【答案】空集是任何一個(gè)集合的子集,是任何非空集合的真子集.
4.補(bǔ)集與全集的關(guān)系是什么
【答案】補(bǔ)集是全集的子集.
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)空集沒有子集. (　　)
(2)若集合A是集合B的真子集,則集合B中必定存在元素不在集合A中. (　　)
(3)若a∈A,集合A是集合B的子集,則必定有a∈B. (　　)
(4)一個(gè)集合的補(bǔ)集中一定含有元素. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.已知集合M={x|x2=4},N為自然數(shù)集,則下列結(jié)論正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{2}=M　　　　　　　 B.2 M C.-2∈M D.M N
【答案】C
【解析】由題意知,M={-2,2},而N為自然數(shù)集,則-2 N,2∈N且-2,2∈M,
所以{2} M,故A,B,D錯(cuò)誤,C正確.
3.寫出集合{-1,1}的所有子集:　　　　　　　　.
【答案】 ,{-1},{1},{-1,1}
【解析】由子集的定義,得集合{-1,1}的所有子集有 ,{-1},{1},{-1,1}.
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},則UA=　　　　.
【答案】{2,4,6}
【解析】因?yàn)槿疷={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},所以UA={2,4,6}.
【合作探究】
探究1：子集與真子集
情境設(shè)置
小明同學(xué)與小李同學(xué)在討論集合A={x|x是正方形},B={x|x是菱形},C={x|x是平行四邊形}之間的關(guān)系時(shí),
小明說:“所有的正方形都是菱形,所以集合A屬于集合B;所有的菱形都是平行四邊形,所以集合B屬于集合C.”
小李說:“集合A,B,C的關(guān)系只能用圖形表示.”
問題1:小明說的是否正確
【答案】不正確,這是兩個(gè)集合之間的關(guān)系,應(yīng)該是集合A包含于集合B,集合B包含于集合C.
問題2:小李說的正確嗎
【答案】不正確,可以用封閉圖形來表示,比如,
也可以用符號表示,如A B C.
新知生成
1.子集
(1)如果集合A的每個(gè)元素都是集合B的元素,就說A包含于B,或者說B包含A,記作A B(或B A),讀作“A包含于B”(或“B包含A”).
(2)若集合A包含于集合B,則稱集合A是集合B的一個(gè)子集.
2.集合相等
如果集合B是集合A的子集,集合A也是集合B的子集,就說兩個(gè)集合相等,記作A=B.
3.真子集
如果A B但A≠B,就說集合A是集合B的真子集,記作A B,讀作“A真包含于B”.
4.Venn圖
大圓和小圓分別表示兩個(gè)集合,小圓畫在大圓里,表示前者是后者的真子集.這類表示集合間關(guān)系的示意圖叫作韋恩圖(Venn圖).如B A可用Venn圖表示為
5.子集的性質(zhì)
(1)每個(gè)集合都是它自己的子集,即A A.
(2)空集包含于任意集合,是任意集合的子集.
6.包含關(guān)系具有傳遞性
對于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
新知運(yùn)用
例1　(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用適當(dāng)?shù)姆柼羁?A　　　B,A　　　C,{2}　　　C,2　　　C.
(2)已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},則集合M與N之間的關(guān)系是　　　　.
(3)集合M={1,2,3}的真子集個(gè)數(shù)是(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】(1)=　 　 　∈　(2)N M　(3)B
【解析】(1)由題意得A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7},∴A=B,A C,{2} C,2∈C.
(2)∵y=(x-1)2-2≥-2,∴M={y|y≥-2},∴N M.
　　(3)集合M的真子集所含有的元素的個(gè)數(shù)可以為0個(gè),1個(gè)或2個(gè).含有0個(gè)為 ,含有1個(gè)有3個(gè)真子集{1},{2},{3},含有2個(gè)元素有3個(gè)真子集{1,2},{1,3}和{2,3},共有7個(gè)真子集,故選B.
【方法總結(jié)】判斷集合間關(guān)系的方法
(1)定義法
①對任意x∈A時(shí),均有x∈B,則A B.
②當(dāng)A B時(shí),存在x∈B,且x A,則A B.
③若既有A B,又有B A,則A=B.
(2)數(shù)形結(jié)合法
對于不等式表示的數(shù)集,可在數(shù)軸上標(biāo)出集合直觀地進(jìn)行判斷,但要注意端點(diǎn)值的取舍.
鞏固訓(xùn)練
1.設(shè)x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,則集合A,B之間的關(guān)系是　　　　.
【答案】B A
【解析】因?yàn)锽=={(x,y)|y=x,且x≠0},所以B A.
2.能正確表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之間的關(guān)系的Venn圖是(　　).
【答案】B
【解析】由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其對應(yīng)的Venn圖如選項(xiàng)B所示.
3.滿足{1,2} M {1,2,3,4,5}的集合M有　　　　個(gè).
【答案】7
【解析】由題意得,{1,2} M {1,2,3,4,5},可以確定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一個(gè),因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類如下:
含有三個(gè)元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有四個(gè)元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有五個(gè)元素:{1,2,3,4,5}.
故滿足題意的集合M共有7個(gè).
探究2：利用集合間的關(guān)系求參數(shù)
例2　已知集合A={x|-2≤x≤5}.若A C,且C B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
方法指導(dǎo)　根據(jù)子集的性質(zhì),推出集合A與集合B的關(guān)系,然后建立不等式組求解.
【解析】因?yàn)锳 C,且C B,所以A B,則解得即3≤m≤4,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|3≤m≤4}.
【方法總結(jié)】利用集合的關(guān)系求解參數(shù)問題:(1)利用集合的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍問題,常涉及兩個(gè)集合,其中一個(gè)集合含有參數(shù),另一個(gè)集合已知,解答時(shí)常借助數(shù)軸來建立變量間的關(guān)系,需特別注意端點(diǎn)問題.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A B(B≠ )的含參數(shù)的問題時(shí),要注意討論A= 和A≠ 兩種情況,前者常被忽視,造成思考問題不全面的后果.
鞏固訓(xùn)練
已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若N={x|x2+x=0},且M N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)由題意得,方程x2+2x-a=0有實(shí)數(shù)解,
∴Δ=22-4×(-a)≥0,解得a≥-1,
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥-1}.
(2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M N,
∴當(dāng)M= 時(shí),Δ=22-4×(-a)<0,得a<-1.
當(dāng)M≠ 時(shí),若Δ=0,則a=-1,
此時(shí)M={-1},滿足M N,符合題意;
若Δ>0,則a>-1,M中有兩個(gè)元素,
∵M(jìn) N,∴M=N,∴無解.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤-1}.
探究3：補(bǔ)集
情境設(shè)置
觀察下列三個(gè)集合:
S={x|x是高一年級的同學(xué)},
A={x|x是高一年級參加軍訓(xùn)的同學(xué)},
B={x|x是高一年級沒有參加軍訓(xùn)的同學(xué)}.
問題1:如何確定高一年級的同學(xué)中誰參加了軍訓(xùn)
【答案】如果我們直接去統(tǒng)計(jì)張三、李四、王五等人誰參加了軍訓(xùn),這樣做可就麻煩多了.若確定出沒有參加軍訓(xùn)的同學(xué),則剩下的同學(xué)都參加了軍訓(xùn),問題可就簡單多了.
問題2:集合S與集合A,B之間有什么關(guān)系
【答案】A∪B=S,A∩B= .
問題3:如何在全集S中研究相關(guān)集合A和B之間的關(guān)系呢
【答案】由所有屬于集合S但不屬于集合A的元素組成的集合就是集合B.
新知生成
1.全集
如果在某個(gè)特定的場合,要討論的對象都是集合U的元素或子集,就可以約定把集合U叫作全集(或基本集).
2.補(bǔ)集
若集合A是全集U的子集,則U中所有不屬于A的元素組成的子集叫作A的補(bǔ)集,記作UA.
即UA={x|x∈U,且x A}.
當(dāng)U可以從上下文確知時(shí),A的補(bǔ)集也可以記作.顯然U(UA)=A.一般地,不論A是否是B的子集,都可用B\A表示B中不屬于A的元素組成的子集.
新知運(yùn)用
例3　(1)設(shè)集合U=R,M={x|x>2或x<-2},則UM=(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2}
(2)已知全集為U,集合A={1,3,5,7},UA={2,4,6},UB={1,4,6},則集合B=　　　　.
【答案】(1)A　(2){2,3,5,7}
【解析】(1)如圖,在數(shù)軸上表示出集合M,可知UM={x|-2≤x≤2}.
(2)∵A={1,3,5,7},UA={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7},又UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
【方法總結(jié)】求補(bǔ)集UA的方法
(1)列舉法表示:從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后,由所有余下的元素組成的集合.
(2)由不等式構(gòu)成的無限集表示:借助數(shù)軸,取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合.
例4　設(shè)全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6},UA={5},求實(shí)數(shù)m.
【解析】∵UA={5},∴5∈U且|3-2m|=3,
即
由m2-m-1=5,得m2-m-6=0,
∴m=-2或m=3.
由|3-2m|=3,得m=0或m=3.
∴m=3.
【方法總結(jié)】集合A與UA中沒有公共元素;若集合中元素個(gè)數(shù)有限時(shí),可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合Venn圖求解,若集合中元素有無限個(gè)時(shí),可利用數(shù)軸分析法求參數(shù).
鞏固訓(xùn)練
1.(多選題)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4A.UA={x|x<1或3B.UB={x|x<2或x≥5}
C.UA UB
D.UB UA
【答案】AB
【解析】由補(bǔ)集的定義知A,B正確;由子集的定義知C,D都不正確.
2.已知全集U=R,集合P={x|x≤0或x≥6},M={x|a【答案】{x|0【解析】∵全集U=R,∴UP={x|0若M= ,即a≥2a+4,解得a≤-4,符合M UP.
若M≠ ,要使M UP,則需解得0≤a≤1.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤-4或0≤a≤1}.
【隨堂檢測】
1.下列關(guān)系正確的是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0∈ B. ={0}
C.{ } {0} D. {0}
【答案】D
【解析】0 , ≠{0},{ } {0}, {0}.故選D.
2.已知集合A={a,b},那么集合A的所有子集為(　　).
A.{a},{b} B.{a,b}
C.{a},{b},{a,b} D. ,{a},{b},{a,b}
【答案】D
【解析】由題意得,集合A={a,b}的子集有 ,{a},{b},{a,b}.故選D.
3.已知全集U={x|-3【答案】{x|-3【解析】∵U={x|-34.已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|mx-1=0}.
(1)求A;
(2)若B A,求實(shí)數(shù)m的取值集合.
【解析】(1)由x2-3x+2=0,解得x=1或2,故A={1,2}.
(2)當(dāng)B= 時(shí),m=0符合條件;
當(dāng)B≠ ,即m≠0時(shí),B=,由B A可得=1或2,解得m=1或m=.
綜上,m的取值集合為0,,1.
21.1.2　子集和補(bǔ)集
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解集合間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.了解全集的概念,理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,能求給定子集的補(bǔ)集.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.能理解用Venn圖表示集合的基本關(guān)系,體會(huì)圖形對理解抽象概念的作用.(直觀想象)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.集合與集合之間的關(guān)系有哪幾種 如何用符號表示這些關(guān)系
2.集合的子集、真子集是怎么定義的
3.空集和其他集合間具有什么關(guān)系
4.補(bǔ)集與全集的關(guān)系是什么
自學(xué)檢測
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)空集沒有子集. (　　)
(2)若集合A是集合B的真子集,則集合B中必定存在元素不在集合A中. (　　)
(3)若a∈A,集合A是集合B的子集,則必定有a∈B. (　　)
(4)一個(gè)集合的補(bǔ)集中一定含有元素. (　　)
2.已知集合M={x|x2=4},N為自然數(shù)集,則下列結(jié)論正確的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{2}=M　　　　　　　 B.2 M C.-2∈M D.M N
3.寫出集合{-1,1}的所有子集:　　　　　　　　.
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},則UA=　　　　.
【合作探究】
探究1：子集與真子集
情境設(shè)置
小明同學(xué)與小李同學(xué)在討論集合A={x|x是正方形},B={x|x是菱形},C={x|x是平行四邊形}之間的關(guān)系時(shí),
小明說:“所有的正方形都是菱形,所以集合A屬于集合B;所有的菱形都是平行四邊形,所以集合B屬于集合C.”
小李說:“集合A,B,C的關(guān)系只能用圖形表示.”
問題1:小明說的是否正確
問題2:小李說的正確嗎
新知生成
1.子集
(1)如果集合A的每個(gè)元素都是集合B的元素,就說A包含于B,或者說B包含A,記作A B(或B A),讀作“A包含于B”(或“B包含A”).
(2)若集合A包含于集合B,則稱集合A是集合B的一個(gè)子集.
2.集合相等
如果集合B是集合A的子集,集合A也是集合B的子集,就說兩個(gè)集合相等,記作A=B.
3.真子集
如果A B但A≠B,就說集合A是集合B的真子集,記作A B,讀作“A真包含于B”.
4.Venn圖
大圓和小圓分別表示兩個(gè)集合,小圓畫在大圓里,表示前者是后者的真子集.這類表示集合間關(guān)系的示意圖叫作韋恩圖(Venn圖).如B A可用Venn圖表示為
5.子集的性質(zhì)
(1)每個(gè)集合都是它自己的子集,即A A.
(2)空集包含于任意集合,是任意集合的子集.
6.包含關(guān)系具有傳遞性
對于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
新知運(yùn)用
例1　(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用適當(dāng)?shù)姆柼羁?A　　　B,A　　　C,{2}　　　C,2　　　C.
(2)已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},則集合M與N之間的關(guān)系是　　　　.
(3)集合M={1,2,3}的真子集個(gè)數(shù)是(　　).　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.6 B.7 C.8 D.9
【方法總結(jié)】判斷集合間關(guān)系的方法
(1)定義法
①對任意x∈A時(shí),均有x∈B,則A B.
②當(dāng)A B時(shí),存在x∈B,且x A,則A B.
③若既有A B,又有B A,則A=B.
(2)數(shù)形結(jié)合法
對于不等式表示的數(shù)集,可在數(shù)軸上標(biāo)出集合直觀地進(jìn)行判斷,但要注意端點(diǎn)值的取舍.
鞏固訓(xùn)練
1.設(shè)x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,則集合A,B之間的關(guān)系是　　　　.
2.能正確表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之間的關(guān)系的Venn圖是(　　).
3.滿足{1,2} M {1,2,3,4,5}的集合M有　　　　個(gè).
探究2：利用集合間的關(guān)系求參數(shù)
例2　已知集合A={x|-2≤x≤5}.若A C,且C B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
方法指導(dǎo)　根據(jù)子集的性質(zhì),推出集合A與集合B的關(guān)系,然后建立不等式組求解.
【解析】因?yàn)锳 C,且C B,所以A B,則解得即3≤m≤4,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|3≤m≤4}.
【方法總結(jié)】利用集合的關(guān)系求解參數(shù)問題:(1)利用集合的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍問題,常涉及兩個(gè)集合,其中一個(gè)集合含有參數(shù),另一個(gè)集合已知,解答時(shí)常借助數(shù)軸來建立變量間的關(guān)系,需特別注意端點(diǎn)問題.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A B(B≠ )的含參數(shù)的問題時(shí),要注意討論A= 和A≠ 兩種情況,前者常被忽視,造成思考問題不全面的后果.
鞏固訓(xùn)練
已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若N={x|x2+x=0},且M N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
探究3：補(bǔ)集
情境設(shè)置
觀察下列三個(gè)集合:
S={x|x是高一年級的同學(xué)},
A={x|x是高一年級參加軍訓(xùn)的同學(xué)},
B={x|x是高一年級沒有參加軍訓(xùn)的同學(xué)}.
問題1:如何確定高一年級的同學(xué)中誰參加了軍訓(xùn)
問題2:集合S與集合A,B之間有什么關(guān)系
問題3:如何在全集S中研究相關(guān)集合A和B之間的關(guān)系呢
新知生成
1.全集
如果在某個(gè)特定的場合,要討論的對象都是集合U的元素或子集,就可以約定把集合U叫作全集(或基本集).
2.補(bǔ)集
若集合A是全集U的子集,則U中所有不屬于A的元素組成的子集叫作A的補(bǔ)集,記作UA.
即UA={x|x∈U,且x A}.
當(dāng)U可以從上下文確知時(shí),A的補(bǔ)集也可以記作.顯然U(UA)=A.一般地,不論A是否是B的子集,都可用B\A表示B中不屬于A的元素組成的子集.
新知運(yùn)用
例3　(1)設(shè)集合U=R,M={x|x>2或x<-2},則UM=(　　).　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2}
(2)已知全集為U,集合A={1,3,5,7},UA={2,4,6},UB={1,4,6},則集合B=　　　　.
【方法總結(jié)】求補(bǔ)集UA的方法
(1)列舉法表示:從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后,由所有余下的元素組成的集合.
(2)由不等式構(gòu)成的無限集表示:借助數(shù)軸,取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合.
例4　設(shè)全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6},UA={5},求實(shí)數(shù)m.
【方法總結(jié)】集合A與UA中沒有公共元素;若集合中元素個(gè)數(shù)有限時(shí),可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合Venn圖求解,若集合中元素有無限個(gè)時(shí),可利用數(shù)軸分析法求參數(shù).
鞏固訓(xùn)練
1.(多選題)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4A.UA={x|x<1或3B.UB={x|x<2或x≥5}
C.UA UB
D.UB UA
2.已知全集U=R,集合P={x|x≤0或x≥6},M={x|a【隨堂檢測】
1.下列關(guān)系正確的是(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0∈ B. ={0}
C.{ } {0} D. {0}
2.已知集合A={a,b},那么集合A的所有子集為(　　).
A.{a},{b} B.{a,b}
C.{a},{b},{a,b} D. ,{a},{b},{a,b}
3.已知全集U={x|-34.已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|mx-1=0}.
(1)求A;
(2)若B A,求實(shí)數(shù)m的取值集合.
2

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