資源簡介

1.1.3　集合的交與并
【學習目標】
1.理解兩個集合的交集與并集的含義,能求兩個集合的交集與并集.(數學抽象、數學運算)
2.能使用Venn圖表達集合的基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.(直觀想象、數學運算)
3.掌握交集與并集的相關性質并會應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.兩個集合的交集與并集的含義是什么
【答案】把所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集;把集合A,B中的元素放在一起組成的集合,叫作A與B的并集.
2.如何用Venn圖表示集合的交集和并集
【答案】兩個集合A,B交集的Venn圖如圖(1)所示,兩個集合A,B并集的Venn圖如圖(2)所示.
3.交集和并集有哪些性質
【答案】交集和并集的性質如下:
A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若A,B中分別有2個元素,則A∪B中必有4個元素. (　　)
(2)若A∪B=A,B≠ ,則B中的每個元素都屬于集合A. (　　)
(3)并集定義中的“或”能改為“和”. (　　)
(4)若A∩B=C∩B,則A=C. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-1≤x<3}　　　 B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}
【答案】C
【解析】在數軸上表示出兩個集合,如圖,可得P∪Q={x|x≤4}.
3.已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},則A∩B=　　　　.
【答案】{-1,0}
【解析】由A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},得A∩B={-1,0}.
4.若集合A={x|-32},C={x|x≤-3},則A∩B=　　　　,A∩C=　　　　.
【答案】{x|2【解析】由數軸法可知,A∩B={x|2【合作探究】
探究1：兩個集合的交
情境設置
媽媽去超市買水果,洋洋喜歡吃葡萄、圣女果、蘋果、橙子、枇杷,哥哥喜歡吃圣女果、香梨、蘋果、櫻桃.
問題1:媽媽哪些水果要多買一些
【答案】兩人都喜歡吃的水果是圣女果、蘋果,這兩種水果要多買一些.
問題2:若將洋洋喜歡吃的水果構成的集合記為A,哥哥喜歡吃的水果構成的集合記為B,兩人都喜歡吃的水果構成的集合記為C,如何表達這三個集合之間的關系
【答案】洋洋喜歡吃的水果構成的集合A={葡萄,圣女果,蘋果,橙子,枇杷},哥哥喜歡吃的水果構成的集合B={圣女果,香梨,蘋果,櫻桃},兩人都喜歡吃的水果構成的集合C={圣女果,蘋果},則集合C為集合A和集合B的公共部分.
問題3:如何用Venn圖表示上述三個集合的關系
【答案】
新知生成
交集的概念
1.自然語言:把所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”).
2.符號語言:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
3.圖形語言:
新知運用
例1　(1)設集合M={m∈Z|-3　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{0,1}　 B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x|25},則A∩B=(　　).
A.{x|25}
C.{x|25}
方法指導　(1)化簡集合M,N,根據交集定義求交集;(2)將集合A,B在數軸上標出,用不等式表示其公共部分即可.
【答案】(1)B　(2)C
【解析】(1)易知M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},根據交集定義可知M∩N={-1,0,1},故選B.
(2)將集合A,B在數軸上標出,如圖所示,
由圖可知A∩B={x|2【方法總結】1.離散型集合交集的運算,多借助定義或Venn圖求解.
2.若A,B是無限連續的數集,多利用數軸來求解A∩B,取它們的公共部分.但要注意,利用數軸表示不等式時,含有端點的值用實心點表示,不含有端點的值用空心點表示.
鞏固訓練
已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},則M∩N=(　　).
A.x=3,y=-1 B.(3,-1)
C.{3,-1} D.{(3,-1)}
【答案】D
【解析】由得故M∩N={(3,-1)}.
探究2：兩個集合的并
情境設置
　　某次校運動會上,高一(1)班有10人報名參加田賽,有12人報名參加徑賽.
問題1:若沒有人兩項都報,你能算出高一(1)班參賽的人數嗎
【答案】能,高一(1)班參賽的人數為10+12=22.
問題2:若兩項都報的有3人,你能算出高一(1)班參賽的人數嗎
【答案】能,19人.參賽人數包括參加田賽的,也包括參加徑賽的,但由于元素互異性的要求,兩項都報的不能重復計算,故有10+12-3=19(人).
問題3:如何用Venn圖表示問題2中的案例
【答案】
新知生成
并集的概念
1.自然語言:把集合A,B中的元素放在一起組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”).
2.符號語言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
3.圖形語言:
新知運用
例2　(1)已知集合M={x∈N+|x<8},N={-1,4,5,7},則M∪N等于(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{4,5,7}
B.{1,2,3,4,5,6,7}
C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7}
D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}
(2)已知集合A=,B={x|3>2x-1},則A∪B=　　　　.
方法指導　(1)根據并集的定義可得;(2)集合A是不等式組的解集,集合B是不等式3>2x-1的解集,先確定集合A和B的元素,再根據并集的定義,借助數軸寫出A∪B.
【答案】(1)D　(2){x|x<3}
【解析】(1)易知M={1,2,3,4,5,6,7},則M∪N={-1,1,2,3,4,5,6,7}.
(2)解不等式組得-2解不等式3>2x-1,得x<2,則B={x|x<2}.
用數軸表示集合A和B,如圖所示,
則A∪B={x|x<3}.
【方法總結】1.離散型集合并集的運算,多借助定義或Venn圖求解.
2.若A,B是無限連續的數集,多利用數軸來求解A∪B.但要注意,利用數軸表示不等式時,含有端點的值用實心點表示,不含有端點的值用空心點表示.
鞏固訓練
已知集合M={x|-35},則M∪N等于(　　).
A.{x|-5-3}
C.{x|-35}
【答案】B
【解析】如圖,在數軸上標出集合M,N,陰影部分即為M∪N.
探究3：集合交與并的運算性質
情境設置
已知集合A,B.
問題1:若A∪B= ,則集合A與集合B之間的關系是什么
【答案】A∪B= 說明A,B均為 .
問題2:若A∩B= ,則集合A與集合B之間的關系是什么
【答案】A∩B= 說明集合A,B中沒有公共元素.
問題3:若A∪B=A,A∩B=A,則集合A與集合B之間的關系是什么
【答案】因為A∪B=A B A,A∩B=A A B,
所以A=B.
新知生成
1.交集的性質
(1)A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A;
(2)A∩B A;
(3)A∩B=A A B.
2.并集的性質
(1)A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A;
(2)A A∪B;
(3)A∪B=B A B.
新知運用
例3　已知集合A={x|-1(1)當k=-1時,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求實數k的取值范圍.
方法指導　(1)由k=-1,得B={x|0【解析】(1)當k=-1時,B={x|0因為集合A={x|-1(2)因為A∪B=A,所以B A.
當B= 時,k+1≥3-k,解得k≥1;
當B≠ 時,由B A得
解得0≤k<1.
綜上,k的取值范圍是{k|k≥0}.
【方法總結】利用集合交集、并集的性質解題的方法:(1)在利用集合的交集、并集性質解題時,常常會遇到A∩B=A,A∪B=B等這類問題,解答時常借助于交集、并集的定義及上節學習的集合間的關系去分析,如A∩B=A A B,A∪B=B A B等,解答時應靈活處理.(2)當集合B A時,如果集合A是一個確定的集合,而集合B不確定,運算時要考慮B= 的情況,切不可漏掉.
鞏固訓練
若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,則實數m的取值范圍是　　　　.
【答案】{m|-2≤m≤-1}
【解析】∵A∪B=B,
∴A B,如圖所示,
∴解得-2≤m≤-1.
∴實數m的取值范圍為{m|-2≤m≤-1}.
【隨堂檢測】
1.設U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},則A∩(UB)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|0≤x<1} B.{x|0C.{x|x<0} D.{x|x>1}
【答案】B
【解析】∵B={x|x>1},∴UB={x|x≤1},∴A∩(UB)={x|02.(多選題)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},則(　　).
A.A∩B=xx< B.A∩B≠
C.A∪B=xx< D.A∪(RB)=R
【答案】ABD
【解析】∵A={x|x<2},B={x|3-2x>0}=xx<,RB=xx≥,
∴A∩B=xx<,A∩B≠ ,A∪(RB)=R.故選ABD.
3.滿足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的個數是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】由{1,3}∪A={1,3,5},知A {1,3,5}且A中一定含有元素5,因此集合A可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5},共4個.故選D.
4.已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C∪A=A,求實數a的取值范圍.
【解析】(1)由題意得,A∩B={x|3≤x≤7},A∪B={x|x≥1}.
(2)因為C∪A=A,所以C A,
所以a-1≥3,即a≥4,
故a的取值范圍為[4,+∞).
21.1.3　集合的交與并
【學習目標】
1.理解兩個集合的交集與并集的含義,能求兩個集合的交集與并集.(數學抽象、數學運算)
2.能使用Venn圖表達集合的基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.(直觀想象、數學運算)
3.掌握交集與并集的相關性質并會應用.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.兩個集合的交集與并集的含義是什么
2.如何用Venn圖表示集合的交集和并集
3.交集和并集有哪些性質
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若A,B中分別有2個元素,則A∪B中必有4個元素. (　　)
(2)若A∪B=A,B≠ ,則B中的每個元素都屬于集合A. (　　)
(3)并集定義中的“或”能改為“和”. (　　)
(4)若A∩B=C∩B,則A=C. (　　)
2.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|-1≤x<3}　　　 B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}
3.已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},則A∩B=　　　　.
4.若集合A={x|-32},C={x|x≤-3},則A∩B=　　　　,A∩C=　　　　.
【合作探究】
探究1：兩個集合的交
情境設置
媽媽去超市買水果,洋洋喜歡吃葡萄、圣女果、蘋果、橙子、枇杷,哥哥喜歡吃圣女果、香梨、蘋果、櫻桃.
問題1:媽媽哪些水果要多買一些
問題2:若將洋洋喜歡吃的水果構成的集合記為A,哥哥喜歡吃的水果構成的集合記為B,兩人都喜歡吃的水果構成的集合記為C,如何表達這三個集合之間的關系
問題3:如何用Venn圖表示上述三個集合的關系
新知生成
交集的概念
1.自然語言:把所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”).
2.符號語言:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
3.圖形語言:
新知運用
例1　(1)設集合M={m∈Z|-3　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{0,1}　 B.{-1,0,1}
C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x|25},則A∩B=(　　).
A.{x|25}
C.{x|25}
方法指導　(1)化簡集合M,N,根據交集定義求交集;(2)將集合A,B在數軸上標出,用不等式表示其公共部分即可.
【方法總結】1.離散型集合交集的運算,多借助定義或Venn圖求解.
2.若A,B是無限連續的數集,多利用數軸來求解A∩B,取它們的公共部分.但要注意,利用數軸表示不等式時,含有端點的值用實心點表示,不含有端點的值用空心點表示.
鞏固訓練
已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},則M∩N=(　　).
A.x=3,y=-1 B.(3,-1)
C.{3,-1} D.{(3,-1)}
探究2：兩個集合的并
情境設置
　　某次校運動會上,高一(1)班有10人報名參加田賽,有12人報名參加徑賽.
問題1:若沒有人兩項都報,你能算出高一(1)班參賽的人數嗎
問題2:若兩項都報的有3人,你能算出高一(1)班參賽的人數嗎
問題3:如何用Venn圖表示問題2中的案例
新知生成
并集的概念
1.自然語言:把集合A,B中的元素放在一起組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”).
2.符號語言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
3.圖形語言:
新知運用
例2　(1)已知集合M={x∈N+|x<8},N={-1,4,5,7},則M∪N等于(　　).　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{4,5,7}
B.{1,2,3,4,5,6,7}
C.{1,2,3,4,5,6,7,-1,4,5,7}
D.{-1,1,2,3,4,5,6,7}
(2)已知集合A=,B={x|3>2x-1},則A∪B=　　　　.
方法指導　(1)根據并集的定義可得;(2)集合A是不等式組的解集,集合B是不等式3>2x-1的解集,先確定集合A和B的元素,再根據并集的定義,借助數軸寫出A∪B.
【方法總結】1.離散型集合并集的運算,多借助定義或Venn圖求解.
2.若A,B是無限連續的數集,多利用數軸來求解A∪B.但要注意,利用數軸表示不等式時,含有端點的值用實心點表示,不含有端點的值用空心點表示.
鞏固訓練
已知集合M={x|-35},則M∪N等于(　　).
A.{x|-5-3}
C.{x|-35}
探究3：集合交與并的運算性質
情境設置
已知集合A,B.
問題1:若A∪B= ,則集合A與集合B之間的關系是什么
問題2:若A∩B= ,則集合A與集合B之間的關系是什么
問題3:若A∪B=A,A∩B=A,則集合A與集合B之間的關系是什么
新知生成
1.交集的性質
(1)A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A;
(2)A∩B A;
(3)A∩B=A A B.
2.并集的性質
(1)A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A;
(2)A A∪B;
(3)A∪B=B A B.
新知運用
例3　已知集合A={x|-1(1)當k=-1時,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求實數k的取值范圍.
方法指導　(1)由k=-1,得B={x|0【方法總結】利用集合交集、并集的性質解題的方法:(1)在利用集合的交集、并集性質解題時,常常會遇到A∩B=A,A∪B=B等這類問題,解答時常借助于交集、并集的定義及上節學習的集合間的關系去分析,如A∩B=A A B,A∪B=B A B等,解答時應靈活處理.(2)當集合B A時,如果集合A是一個確定的集合,而集合B不確定,運算時要考慮B= 的情況,切不可漏掉.
鞏固訓練
若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,則實數m的取值范圍是　　　　.
【隨堂檢測】
1.設U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},則A∩(UB)=(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|0≤x<1} B.{x|0C.{x|x<0} D.{x|x>1}
2.(多選題)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},則(　　).
A.A∩B=xx< B.A∩B≠
C.A∪B=xx< D.A∪(RB)=R
3.滿足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的個數是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C∪A=A,求實數a的取值范圍.
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