資源簡(jiǎn)介

1.2.2　充分條件和必要條件
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
3.理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是充分條件 什么是必要條件
2.“若p,則q”是假命題,p是q的充分條件嗎 q還是p的必要條件嗎
3.當(dāng)p是q的充要條件時(shí),此時(shí)q也是p的充要條件嗎
4.以下五種表述形式:①p q;②p是q的充分條件;③q的充分條件是p;④q是p的必要條件;⑤p的必要條件是q.它們是什么關(guān)系
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的必要而不充分條件. (　　)
(2)若p是q的充要條件,則p和q是相互等價(jià)的. (　　)
(3)當(dāng)q不是p的必要條件時(shí),“p / q”成立. (　　)
2.“同位角相等”是“兩條直線平行”的(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
3.使x>3成立的一個(gè)充分條件是(　　).
A.x>4　　　　　　　 B.x>0 C.x>2 D.x<2
4.“ac=bc”是“a=b”的　　　　　　條件.
【合作探究】
探究1：充分條件、必要條件
情境設(shè)置
問題1:如圖,已知p:開關(guān)A閉合,q:燈泡B亮.
p與q有什么關(guān)系
問題2:p:兩三角形相似,q:對(duì)應(yīng)角相等.p與q有什么關(guān)系
問題3:如果p是q的充分條件,那么p是唯一的嗎
新知生成
充分條件與必要條件
當(dāng)“若p,則q”成立,即p q時(shí),把p叫作q的充分條件,q叫作p的必要條件.
p q可以理解為若p成立,則q一定也成立,即p對(duì)于q的成立是充分的;反過來,若q不成立,則p一定不成立,即q對(duì)于p的成立是必要的.
新知運(yùn)用
例1　指出下列各題中p是q的什么條件.
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.
(2)p:兩個(gè)三角形相似,q:兩個(gè)三角形全等.
方法指導(dǎo)　根據(jù)充分、必要條件的定義判斷.
【方法總結(jié)】充分條件、必要條件的判斷方法
(1)定義法:首先分清條件和結(jié)論,然后判斷p q和q p是否成立,最后得出結(jié)論.
(2)命題判斷法:①如果命題“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;②如果命題“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時(shí)q也不是p的必要條件.
(3)集合法:對(duì)于涉及取值范圍的判斷題,可從集合的角度研究,若兩個(gè)集合具有包含關(guān)系,則小范圍 大范圍,大范圍推不出小范圍.
(4)傳遞法:由p1 p2 p3 … pn,得pn是p1的必要條件.
鞏固訓(xùn)練
若p:四邊形的對(duì)角線相等,q:四邊形是平行四邊形,則p是q的什么條件
探究2：充要條件
情境設(shè)置
問題1:若“x∈A”是“x∈B”的充要條件,則A與B有什么關(guān)系
問題2:“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里
問題3:p是q的充要條件,q是s的充要條件,p是s的充要條件嗎
新知生成
1.充要條件的定義
如果既有p q,又有q p,就記作p q.即p既是q的充分條件,又是q的必要條件,此時(shí)我們稱p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件.當(dāng)然,此時(shí)q也是p的充分必要條件.
2.用命題描述充要條件
如果一個(gè)命題和它的逆命題都成立,那么此命題的條件和結(jié)論互為充分必要條件.
3.充要條件的含義
p是q的充分必要條件是指p成立,當(dāng)且僅當(dāng)q成立,即p與q互相等價(jià).
新知運(yùn)用
例2　在下列各題中,試判斷p是q的什么條件.
(1)p:a=b,q:ac=bc;
(2)p:a+5是無理數(shù),q:a是無理數(shù);
(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
(4)p:A∩B=A,q:UB UA.
【方法總結(jié)】判斷p是q的充分必要條件的兩種思路
(1)命題角度:判斷p是q的充分必要條件,主要是判斷p q及q p這兩個(gè)命題是否成立.若p q成立,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;若q p成立,則p是q的必要條件,同時(shí)q是p的充分條件;若二者都成立,則p與q互為充要條件.
(2)集合角度:關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件,當(dāng)不容易判斷p q及q p的真假時(shí),也可以從集合角度去判斷,結(jié)合集合中“小集合 大集合”的關(guān)系來理解,這對(duì)解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的.
此外,對(duì)于較復(fù)雜的關(guān)系,常用 , , 等符號(hào)進(jìn)行傳遞,畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖,可降低解題難度.
鞏固訓(xùn)練
a,b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
探究3：充要條件的證明
情境設(shè)置
已知關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件是m>2.
問題1:由m>2得到方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,這個(gè)過程指的是“充分性”還是“必要性”
.
問題2:由方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根直接求解得到m>2指的是“充分性”還是“必要性”
問題3:互為充要條件中條件和結(jié)論是相對(duì)的,在充要條件問題的證明中,條件是確定的嗎
新知生成
充要條件的證明一般分為兩個(gè)步驟,即分別證明“充分性”和“必要性”.解題時(shí)要避免將充分性當(dāng)作必要性來證明,這就需要分清條件與結(jié)論,若“條件” “結(jié)論”,則是證明充分性,若“結(jié)論” “條件”,則是證明必要性.
新知運(yùn)用
例3　證明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是ac<0.
方法指導(dǎo)　解答本題可先確定p和q,再分充分性(由ac<0證明方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根)和必要性(由方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根證明ac<0)進(jìn)行證明.
【方法總結(jié)】有關(guān)充要條件的證明問題,要分清哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論,誰是誰的什么條件,由“條件” “結(jié)論”是證明命題的充分性,由“結(jié)論” “條件”是證明命題的必要性.證明要分兩個(gè)環(huán)節(jié):一是證明充分性;二是證明必要性.
鞏固訓(xùn)練
已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
探究4：充分條件、必要條件的應(yīng)用
情境設(shè)置
問題1:記集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分而不必要條件,則集合A,B的關(guān)系是什么 若p是q的必要而不充分條件呢
問題2:記集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M N,則p是q的什么條件 N M,M=N呢
新知生成
用集合法判斷充分必要條件
對(duì)于集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},具體情況如下:
若A B,則p是q的充分條件;
若A B,則p是q的必要條件;
若A=B,則p是q的充要條件;
若A B,則p是q的充分而不必要條件;
若B A,則p是q的必要而不充分條件.
新知運(yùn)用
例4　已知p:實(shí)數(shù)x滿足3a【方法總結(jié)】充分條件、必要條件的應(yīng)用
(1)已知條件是結(jié)論的充分條件,即由條件推出結(jié)論,由此建立邏輯關(guān)系解決問題.
(2)已知條件是結(jié)論的必要條件,即由結(jié)論推出條件,由此建立邏輯關(guān)系解決問題.
從集合的角度來看,滿足條件的對(duì)象所構(gòu)成的集合與滿足結(jié)論的對(duì)象所構(gòu)成的集合之間是子集關(guān)系.
鞏固訓(xùn)練
設(shè)集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m【隨堂檢測(cè)】
1.(多選題)使ab>0成立的充分條件是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>0,b>0 B.a+b>0
C.a<0,b<0 D.a>1,b>1
2.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其《從軍行》傳誦至今,“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門關(guān),黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”,由此推斷,“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的(　　).
A.必要而不充分條件
B.充分而不必要條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
3.若a∈R,則“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　　).
A.充分條件
B.必要條件
C.既不充分又不必要條件
D.充要條件
4.求方程ax2+2x+1=0只有負(fù)實(shí)根的充要條件.
21.2.2　充分條件和必要條件
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
3.理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
預(yù)學(xué)憶思
1.什么是充分條件 什么是必要條件
【答案】“若p,則q”是真命題,即p q,把p叫作q的充分條件,q叫作p的必要條件.
2.“若p,則q”是假命題,p是q的充分條件嗎 q還是p的必要條件嗎
【答案】p / q,p不是q的充分條件,q不是p的必要條件.
3.當(dāng)p是q的充要條件時(shí),此時(shí)q也是p的充要條件嗎
【答案】是,因?yàn)閜 q,所以p,q互為充要條件.
4.以下五種表述形式:①p q;②p是q的充分條件;③q的充分條件是p;④q是p的必要條件;⑤p的必要條件是q.它們是什么關(guān)系
【答案】等價(jià)關(guān)系.
自學(xué)檢測(cè)
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的必要而不充分條件. (　　)
(2)若p是q的充要條件,則p和q是相互等價(jià)的. (　　)
(3)當(dāng)q不是p的必要條件時(shí),“p / q”成立. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)√
2.“同位角相等”是“兩條直線平行”的(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
【答案】C
3.使x>3成立的一個(gè)充分條件是(　　).
A.x>4　　　　　　　 B.x>0 C.x>2 D.x<2
【答案】A
【解析】只有x>4 x>3,其他選項(xiàng)均不可推出x>3.
4.“ac=bc”是“a=b”的　　　　　　條件.
【答案】必要而不充分
【解析】若ac=bc,當(dāng)c=0時(shí),不一定有a=b;反之,若a=b,則有ac=bc成立.故“ac=bc”是“a=b”的必要而不充分條件.
【合作探究】
探究1：充分條件、必要條件
情境設(shè)置
問題1:如圖,已知p:開關(guān)A閉合,q:燈泡B亮.
p與q有什么關(guān)系
【答案】p成立,則q一定成立.
問題2:p:兩三角形相似,q:對(duì)應(yīng)角相等.p與q有什么關(guān)系
【答案】p成立,則q一定成立.
問題3:如果p是q的充分條件,那么p是唯一的嗎
【答案】不唯一,如x>3是x>0的充分條件,x>5,x>10等都是x>0的充分條件.
新知生成
充分條件與必要條件
當(dāng)“若p,則q”成立,即p q時(shí),把p叫作q的充分條件,q叫作p的必要條件.
p q可以理解為若p成立,則q一定也成立,即p對(duì)于q的成立是充分的;反過來,若q不成立,則p一定不成立,即q對(duì)于p的成立是必要的.
新知運(yùn)用
例1　指出下列各題中p是q的什么條件.
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.
(2)p:兩個(gè)三角形相似,q:兩個(gè)三角形全等.
方法指導(dǎo)　根據(jù)充分、必要條件的定義判斷.
【解析】(1)x-3=0 (x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 / x-3=0,故p是q的充分條件,p不是q的必要條件.
(2)兩個(gè)三角形相似 / 兩個(gè)三角形全等,但兩個(gè)三角形全等 兩個(gè)三角形相似,故p是q的必要條件,p不是q的充分條件.
【方法總結(jié)】充分條件、必要條件的判斷方法
(1)定義法:首先分清條件和結(jié)論,然后判斷p q和q p是否成立,最后得出結(jié)論.
(2)命題判斷法:①如果命題“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;②如果命題“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時(shí)q也不是p的必要條件.
(3)集合法:對(duì)于涉及取值范圍的判斷題,可從集合的角度研究,若兩個(gè)集合具有包含關(guān)系,則小范圍 大范圍,大范圍推不出小范圍.
(4)傳遞法:由p1 p2 p3 … pn,得pn是p1的必要條件.
鞏固訓(xùn)練
若p:四邊形的對(duì)角線相等,q:四邊形是平行四邊形,則p是q的什么條件
【解析】因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線相等 / 四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形 / 四邊形的對(duì)角線相等,所以p是q的既不充分又不必要條件.
探究2：充要條件
情境設(shè)置
問題1:若“x∈A”是“x∈B”的充要條件,則A與B有什么關(guān)系
【答案】A=B.
問題2:“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里
【答案】p是q的充要條件說明p是條件,q是結(jié)論;p的充要條件是q說明q是條件,p是結(jié)論.
問題3:p是q的充要條件,q是s的充要條件,p是s的充要條件嗎
【答案】是.∵p是q的充要條件,∴p q.又q是s的充要條件,∴q s.故p s,即p是s的充要條件.
新知生成
1.充要條件的定義
如果既有p q,又有q p,就記作p q.即p既是q的充分條件,又是q的必要條件,此時(shí)我們稱p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件.當(dāng)然,此時(shí)q也是p的充分必要條件.
2.用命題描述充要條件
如果一個(gè)命題和它的逆命題都成立,那么此命題的條件和結(jié)論互為充分必要條件.
3.充要條件的含義
p是q的充分必要條件是指p成立,當(dāng)且僅當(dāng)q成立,即p與q互相等價(jià).
新知運(yùn)用
例2　在下列各題中,試判斷p是q的什么條件.
(1)p:a=b,q:ac=bc;
(2)p:a+5是無理數(shù),q:a是無理數(shù);
(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
(4)p:A∩B=A,q:UB UA.
【解析】(1)因?yàn)閍=b ac=bc,而ac=bc / a=b,所以p是q的充分而不必要條件.
(2)因?yàn)閍+5是無理數(shù) a是無理數(shù),并且a是無理數(shù) a+5是無理數(shù),所以p是q的充要條件.
(3)因?yàn)閍2+b2=0 a=b=0,并且a=b=0 a2+b2=0,所以p是q的充要條件.
(4)因?yàn)锳∩B=A A B UA UB,并且UB UA B A A∩B=A,所以p是q的充要條件.
【方法總結(jié)】判斷p是q的充分必要條件的兩種思路
(1)命題角度:判斷p是q的充分必要條件,主要是判斷p q及q p這兩個(gè)命題是否成立.若p q成立,則p是q的充分條件,同時(shí)q是p的必要條件;若q p成立,則p是q的必要條件,同時(shí)q是p的充分條件;若二者都成立,則p與q互為充要條件.
(2)集合角度:關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件,當(dāng)不容易判斷p q及q p的真假時(shí),也可以從集合角度去判斷,結(jié)合集合中“小集合 大集合”的關(guān)系來理解,這對(duì)解決與邏輯有關(guān)的問題是大有益處的.
此外,對(duì)于較復(fù)雜的關(guān)系,常用 , , 等符號(hào)進(jìn)行傳遞,畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖,可降低解題難度.
鞏固訓(xùn)練
a,b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
【答案】D
【解析】若a2+b2>0,則a,b不同時(shí)為零;若a,b中至少有一個(gè)不為零,則a2+b2>0.故選D.
探究3：充要條件的證明
情境設(shè)置
已知關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根的充要條件是m>2.
問題1:由m>2得到方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,這個(gè)過程指的是“充分性”還是“必要性”
【答案】充分性;m≥2是條件,方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根是結(jié)論.
問題2:由方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根直接求解得到m>2指的是“充分性”還是“必要性”
【答案】必要性.方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根是條件,m>2是結(jié)論.
問題3:互為充要條件中條件和結(jié)論是相對(duì)的,在充要條件問題的證明中,條件是確定的嗎
【答案】互為充要條件中,條件和結(jié)論是相對(duì)的,在充要條件問題的證明中,條件是確定的.
新知生成
充要條件的證明一般分為兩個(gè)步驟,即分別證明“充分性”和“必要性”.解題時(shí)要避免將充分性當(dāng)作必要性來證明,這就需要分清條件與結(jié)論,若“條件” “結(jié)論”,則是證明充分性,若“結(jié)論” “條件”,則是證明必要性.
新知運(yùn)用
例3　證明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是ac<0.
方法指導(dǎo)　解答本題可先確定p和q,再分充分性(由ac<0證明方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根)和必要性(由方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根證明ac<0)進(jìn)行證明.
【解析】充分性:∵ac<0,
∴Δ=b2-4ac>0,<0.
∴方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根分別為x1,x2,
∵x1·x2=<0,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根.
必要性:∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根,
∴Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,
∴ac<0.
故一元二次方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是ac<0.
【方法總結(jié)】有關(guān)充要條件的證明問題,要分清哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論,誰是誰的什么條件,由“條件” “結(jié)論”是證明命題的充分性,由“結(jié)論” “條件”是證明命題的必要性.證明要分兩個(gè)環(huán)節(jié):一是證明充分性;二是證明必要性.
鞏固訓(xùn)練
已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
【解析】充分性:∵(a+b-1)(a2+b2-ab)=(a+b-1)·=0,ab≠0,
∴+b2>0,∴a+b=1.
必要性:∵a+b=1,∴(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
∴a+b=1的充要條件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
探究4：充分條件、必要條件的應(yīng)用
情境設(shè)置
問題1:記集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分而不必要條件,則集合A,B的關(guān)系是什么 若p是q的必要而不充分條件呢
【答案】若p是q的充分而不必要條件,則A B,若p是q的必要不充分條件,則B A.
問題2:記集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M N,則p是q的什么條件 N M,M=N呢
【答案】若M N,則p是q的充分條件;若N M,則p是q的必要條件;若M=N,則p是q的充要條件.
新知生成
用集合法判斷充分必要條件
對(duì)于集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},具體情況如下:
若A B,則p是q的充分條件;
若A B,則p是q的必要條件;
若A=B,則p是q的充要條件;
若A B,則p是q的充分而不必要條件;
若B A,則p是q的必要而不充分條件.
新知運(yùn)用
例4　已知p:實(shí)數(shù)x滿足3a【答案】-,0
【解析】由題意得,p對(duì)應(yīng)的集合為A={x|3a因?yàn)閜是q的充分條件,所以p q,所以A B,所以解得-≤a<0,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-,0.
【方法總結(jié)】充分條件、必要條件的應(yīng)用
(1)已知條件是結(jié)論的充分條件,即由條件推出結(jié)論,由此建立邏輯關(guān)系解決問題.
(2)已知條件是結(jié)論的必要條件,即由結(jié)論推出條件,由此建立邏輯關(guān)系解決問題.
從集合的角度來看,滿足條件的對(duì)象所構(gòu)成的集合與滿足結(jié)論的對(duì)象所構(gòu)成的集合之間是子集關(guān)系.
鞏固訓(xùn)練
設(shè)集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|2m【答案】-,+∞
【解析】因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的必要條件,所以B A.
當(dāng)B= 時(shí),2m≥1,即m≥,符合條件.
當(dāng)B≠ 時(shí),有-1≤2m<1 -≤m<.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是-,+∞.
【隨堂檢測(cè)】
1.(多選題)使ab>0成立的充分條件是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.a>0,b>0 B.a+b>0
C.a<0,b<0 D.a>1,b>1
【答案】ACD
【解析】因?yàn)閍>0,b>0 ab>0;a<0,b<0 ab>0;a>1,b>1 ab>0,所以選項(xiàng)ACD都是使ab>0成立的充分條件.
2.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其《從軍行》傳誦至今,“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門關(guān),黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”,由此推斷,“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的(　　).
A.必要而不充分條件
B.充分而不必要條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”,但“返回家鄉(xiāng)”一定有“攻破樓蘭”.
3.若a∈R,則“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　　).
A.充分條件
B.必要條件
C.既不充分又不必要條件
D.充要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)閍=2 (a-1)(a-2)=0,又(a-1)·(a-2)=0 / a=2,所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分條件,故選A.
4.求方程ax2+2x+1=0只有負(fù)實(shí)根的充要條件.
【解析】當(dāng)a=0時(shí),原方程為一元一次方程2x+1=0,有一個(gè)負(fù)實(shí)根x=-.
當(dāng)a≠0時(shí),原方程為一元二次方程,
又ax2+2x+1=0只有負(fù)實(shí)根,
所以解得0綜上,方程只有負(fù)實(shí)根的充要條件是0≤a≤1.
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