資源簡介

1.2.3　全稱量詞和存在量詞
【學習目標】
1.通過已知的數學實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.(數學抽象)
2.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定以及真假判別.(邏輯推理)
3.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定以及真假判別.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.常見的全稱量詞有哪些 如何表示 全稱量詞命題的定義是什么
【答案】常見的全稱量詞有“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等,用符號“ ”表示.設語句p(x)中變量x的取值范圍為集合M,則語句“對M的任一個元素x,有p(x)成立”是命題,叫作全稱量詞命題.
2.常見的存在量詞有哪些 如何表示
【答案】常見的存在量詞有“存在一個”“至少有一個”“有些”“某一個”“有的”等,用符號“ ”表示.
3.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定分別是什么命題
【答案】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞. (　　)
(2)全稱量詞的含義是“任意性”,存在量詞的含義是“存在性”. (　　)
(3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞,存在量詞命題一定含有存在量詞. (　　)
(4) x∈M,p(x)與 x∈M, p(x)的真假性相反. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.下列語句是存在量詞命題的是(　　).
A.整數n是2和5的倍數
B.存在整數n,使n能被11整除
C.若3x-7=0,則x=
D. x∈M,p(x)
【答案】B
【解析】A中語句不能判斷真假,A不是命題;C不是存在量詞命題;D是全稱量詞命題;命題存在整數n,使n能被11整除,含有存在量詞“存在”,B是存在量詞命題.
3.命題“ x∈R,x2-2x+1=0”的否定是　　　　.
【答案】 x∈R,x2-2x+1≠0
【合作探究】
探究1：含有量詞的命題
情境設置
問題1:命題p:任何一個實數除以1都等于這個數;q:等邊三角形的三邊都相等.它們各使用了什么量詞
【答案】命題p使用了全稱量詞“任何一個”,“等邊三角形的三邊相等”是指“任意一個等邊三角形的三邊都相等”,命題q使用了全稱量詞“任意”.
問題2:下列命題使用了什么量詞
p:存在實數x,使x2-3>0;
q:有的實數既不是質數也不是合數.
【答案】命題p使用存在量詞“存在”,命題q使用存在量詞“有的”.
新知生成
1.量詞
“每一個”和“有一個”等叫作量詞.
2.全稱量詞
“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等叫作全稱量詞,用符號“ ”表示.
3.存在量詞
“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某些”“有的”等叫作存在量詞,用符號“ ”表示.
4.全稱量詞命題
語句p(x)中變量x的取值范圍為集合M,則語句“對M的任一個元素x,有p(x)成立”是命題,叫作全稱量詞命題.可用符號簡記為“ x∈M,p(x)”.
5.存在量詞命題
語句“存在M的某個元素x,使p(x)成立”也是命題,叫作存在量詞命題.可用符號簡記為“ x∈M,p(x)”.
新知運用
例1　判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
(1)有的質數是偶數;
(2)所有的質數都是奇數;
(3)負數的平方是正數;
(4)每一個多邊形的外角和都是360°.
【解析】(1)“有的”是存在量詞,故命題為存在量詞命題;
(2)“所有的”是全稱量詞,故命題為全稱量詞命題;
(3)題中指“所有的”負數,故命題為全稱量詞命題;
(4)“每一個”是全稱量詞,故命題為全稱量詞命題.
【方法總結】判定命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞.要注意的是有些全稱量詞命題并不含有全稱量詞,這時我們就要根據命題涉及的意義去判斷.
鞏固訓練
指出下列命題中的全稱量詞或存在量詞,并用量詞符號“ ”或“ ”表示下列命題.
(1)所有實數x都能使|x|+1>0成立;
(2)對所有實數a,b,方程ax+b=0恰有一個解;
(3)存在整數x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)存在實數m,使得m與m的倒數之和等于1.
【解析】(1)“所有”是全稱量詞;表示: x∈R,|x|+1>0.
(2)“所有”是全稱量詞;表示: a,b∈R,方程ax+b=0恰有一個解.
(3)“存在”是存在量詞;表示: x,y∈Z,3x-2y=10.
(4)“存在”是存在量詞;表示: m∈R,m+=1.
探究2：全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷
情境設置
問題:命題“車間今天生產的零件都合格”究竟是真命題還是假命題 如何判斷呢
【答案】如果生產的每一個零件都是合格的,那么這個命題就是真命題;只要有一個零件不合格,這個命題就是假命題.
新知生成
判斷全稱量詞命題與存在量詞命題真假的方法
1.對于全稱量詞命題“ x∈M,p(x)”:
(1)要證明它是真命題,需對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;
(2)要判斷它是假命題,只要在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)不成立即可.(通常舉反例)
2.對于存在量詞命題“ x0∈M,p(x0)”:
(1)要證明它是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可.(通常舉正例)
(2)要判斷它是假命題,需對集合M中每一個元素x,證明p(x)不成立.
新知運用
例2　指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷它們的真假.
(1) x∈N,2x+1是奇數;
(2)存在一個x∈R,使=0;
(3)對任意實數a,|a|>0;
(4)有一個角α,使sin α=.
【解析】(1)是全稱量詞命題.因為 x∈N,2x+1都是奇數,所以該命題是真命題.
(2)是存在量詞命題.因為不存在x∈R,使=0成立,所以該命題是假命題.
(3)是全稱量詞命題.因為|0|=0,所以|a|>0不恒成立,所以該命題是假命題.
(4)是存在量詞命題.因為當α=30°時,sin α=,所以該命題是真命題.
鞏固訓練
判斷下列命題的真假.
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一個四邊形不是平行四邊形;
(3) x∈N,x2>0.
【解析】(1)因為-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
所以“ x∈Z,x3<1”是真命題.
(2)真命題,如梯形.
(3)因為0∈N,02=0,所以命題“ x∈N,x2>0”是假命題.
探究3：含量詞命題的否定
情境設置
問題1:全稱量詞命題和存在量詞命題的否定有什么特點
【答案】全稱量詞命題和存在量詞命題的否定分別是存在量詞命題和全稱量詞命題.
問題2:如何對省略量詞的命題進行否定
【答案】先找出省略的量詞,然后進行否定.
新知生成
全稱量詞命題: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
存在量詞命題: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
新知運用
例3　寫出下列命題的否定并判斷其真假:
(1)p: x∈R,x-2≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: x∈R,x2+2x+3≤0;
(4)s:至少有一個實數x,使x3+1=0.
方法指導　先判斷是全稱量詞命題還是存在量詞命題,然后根據含有量詞的命題的否定格式進行否定.
【解析】(1) p: x∈R,x-2<0.
因為 x∈R,x-2≥0恒成立,所以 p是假命題.
(2) q:至少存在一個正方形不是矩形.
因為所有的正方形都是矩形,所以 q是假命題.
(3) r: x∈R,x2+2x+3>0.
因為 x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立,所以 r是真命題.
(4) s: x∈R,x3+1≠0.
因為當x=-1時,x3+1=0,
所以 s是假命題.
【方法總結】寫含量詞命題的否定的方法:(1)一般地,寫含量詞命題的否定,首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并找到量詞及相應結論,然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞,存在量詞改成全稱量詞,同時否定結論;(2)對于省略量詞的命題,應先挖掘命題中隱含的量詞,將命題改寫成含量詞的完整形式,再依據規則來寫出命題的否定.
鞏固訓練
對下列含有量詞的命題作否定,并判斷其真假.
(1)存在某個整數a,使得a2=a;
(2)任意實數都可以寫成平方和的形式;
(3)每個能被寫成兩個奇數之和的整數都是偶數;
(4) m>0,方程x2+x-m=0有實數根;
(5) m>0,方程x2+x+m=0有實數根.
【解析】(1)對于任意的整數a,都有a2≠a;假命題.
(2)存在實數不可以寫成平方和的形式;真命題.
(3)存在能寫成兩個奇數之和的整數不是偶數;假命題.
(4) m>0,方程x2+x-m=0沒有實數根;假命題.
(5) m>0,方程x2+x+m=0沒有實數根;假命題.
【隨堂檢測】
1.下列命題是假命題的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. x∈R,|x|=0 B. x∈R,2x-10=1
C. x∈R,x3>0 D. x∈R,x2+1>0
【答案】C
【解析】當x=0時,x3=0,故選項C為假命題.
2.(多選題)下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(　　).
A. x∈R,x2-x+1≥0
B. x∈Z,y∈Z,2x+4y=3
C.菱形的對角線互相垂直
D.每個正方形都是軸對稱圖形
【答案】ACD
【解析】對于A, x∈R,x2-x+1=x-2+≥>0,是真命題,是全稱量詞命題,故A正確;
對于B, x∈Z,y∈Z,2x+4y=3,是存在量詞命題,故B錯誤;
對于C,根據菱形的性質知菱形的對角線互相垂直,是真命題,是全稱量詞命題,故C正確;
對于D,每個正方形都是軸對稱圖形,是全稱量詞命題,是真命題,故D正確.
故選ACD.
3.若對任意x>8,x>a恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　.
【答案】(-∞,8]
【解析】∵對任意x>8,x>a恒成立,∴大于8的數恒大于a,∴a≤8.
4.判斷下列命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題,如果是,寫出這些命題的否定,并說明否定的真假,不必證明;如果不是,則只需判斷命題真假,并給出證明.
(1)存在實數x,使得x2+2x+3≤0;
(2)有些三角形是等邊三角形;
(3)方程x2-8x-10=0的每一個根都不是奇數.
【解析】(1)存在實數x,使得x2+2x+3≤0,是存在量詞命題,
該命題的否定:對任意的實數x,x2+2x+3>0,為真命題.
(2)有些三角形是等邊三角形,是存在量詞命題,
該命題的否定:所有的三角形都不是等邊三角形,為假命題.
(3)方程x2-8x-10=0的每一個根都不是奇數,為全稱量詞命題,
該命題的否定:方程x2-8x-10=0的根至少有一個是奇數,為假命題.
21.2.3　全稱量詞和存在量詞
【學習目標】
1.通過已知的數學實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.(數學抽象)
2.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定以及真假判別.(邏輯推理)
3.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定以及真假判別.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.常見的全稱量詞有哪些 如何表示 全稱量詞命題的定義是什么
2.常見的存在量詞有哪些 如何表示
3.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定分別是什么命題
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞. (　　)
(2)全稱量詞的含義是“任意性”,存在量詞的含義是“存在性”. (　　)
(3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞,存在量詞命題一定含有存在量詞. (　　)
(4) x∈M,p(x)與 x∈M, p(x)的真假性相反. (　　)
2.下列語句是存在量詞命題的是(　　).
A.整數n是2和5的倍數
B.存在整數n,使n能被11整除
C.若3x-7=0,則x=
D. x∈M,p(x)
3.命題“ x∈R,x2-2x+1=0”的否定是　　　　.
【合作探究】
探究1：含有量詞的命題
情境設置
問題1:命題p:任何一個實數除以1都等于這個數;q:等邊三角形的三邊都相等.它們各使用了什么量詞
問題2:下列命題使用了什么量詞
p:存在實數x,使x2-3>0;
q:有的實數既不是質數也不是合數.
新知生成
1.量詞
“每一個”和“有一個”等叫作量詞.
2.全稱量詞
“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”等叫作全稱量詞,用符號“ ”表示.
3.存在量詞
“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某些”“有的”等叫作存在量詞,用符號“ ”表示.
4.全稱量詞命題
語句p(x)中變量x的取值范圍為集合M,則語句“對M的任一個元素x,有p(x)成立”是命題,叫作全稱量詞命題.可用符號簡記為“ x∈M,p(x)”.
5.存在量詞命題
語句“存在M的某個元素x,使p(x)成立”也是命題,叫作存在量詞命題.可用符號簡記為“ x∈M,p(x)”.
新知運用
例1　判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
(1)有的質數是偶數;
(2)所有的質數都是奇數;
(3)負數的平方是正數;
(4)每一個多邊形的外角和都是360°.
【方法總結】判定命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞.要注意的是有些全稱量詞命題并不含有全稱量詞,這時我們就要根據命題涉及的意義去判斷.
鞏固訓練
指出下列命題中的全稱量詞或存在量詞,并用量詞符號“ ”或“ ”表示下列命題.
(1)所有實數x都能使|x|+1>0成立;
(2)對所有實數a,b,方程ax+b=0恰有一個解;
(3)存在整數x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)存在實數m,使得m與m的倒數之和等于1.
探究2：全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷
情境設置
問題:命題“車間今天生產的零件都合格”究竟是真命題還是假命題 如何判斷呢
新知生成
判斷全稱量詞命題與存在量詞命題真假的方法
1.對于全稱量詞命題“ x∈M,p(x)”:
(1)要證明它是真命題,需對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;
(2)要判斷它是假命題,只要在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)不成立即可.(通常舉反例)
2.對于存在量詞命題“ x0∈M,p(x0)”:
(1)要證明它是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可.(通常舉正例)
(2)要判斷它是假命題,需對集合M中每一個元素x,證明p(x)不成立.
新知運用
例2　指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷它們的真假.
(1) x∈N,2x+1是奇數;
(2)存在一個x∈R,使=0;
(3)對任意實數a,|a|>0;
(4)有一個角α,使sin α=.
鞏固訓練
判斷下列命題的真假.
(1) x∈Z,x3<1;
(2)存在一個四邊形不是平行四邊形;
(3) x∈N,x2>0.
探究3：含量詞命題的否定
情境設置
問題1:全稱量詞命題和存在量詞命題的否定有什么特點
問題2:如何對省略量詞的命題進行否定
新知生成
全稱量詞命題: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
存在量詞命題: x∈M,p(x),它的否定: x∈M, p(x).
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
新知運用
例3　寫出下列命題的否定并判斷其真假:
(1)p: x∈R,x-2≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: x∈R,x2+2x+3≤0;
(4)s:至少有一個實數x,使x3+1=0.
方法指導　先判斷是全稱量詞命題還是存在量詞命題,然后根據含有量詞的命題的否定格式進行否定.
【方法總結】寫含量詞命題的否定的方法:(1)一般地,寫含量詞命題的否定,首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并找到量詞及相應結論,然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞,存在量詞改成全稱量詞,同時否定結論;(2)對于省略量詞的命題,應先挖掘命題中隱含的量詞,將命題改寫成含量詞的完整形式,再依據規則來寫出命題的否定.
鞏固訓練
對下列含有量詞的命題作否定,并判斷其真假.
(1)存在某個整數a,使得a2=a;
(2)任意實數都可以寫成平方和的形式;
(3)每個能被寫成兩個奇數之和的整數都是偶數;
(4) m>0,方程x2+x-m=0有實數根;
(5) m>0,方程x2+x+m=0有實數根.
【隨堂檢測】
1.下列命題是假命題的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. x∈R,|x|=0 B. x∈R,2x-10=1
C. x∈R,x3>0 D. x∈R,x2+1>0
2.(多選題)下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(　　).
A. x∈R,x2-x+1≥0
B. x∈Z,y∈Z,2x+4y=3
C.菱形的對角線互相垂直
D.每個正方形都是軸對稱圖形
3.若對任意x>8,x>a恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　.
4.判斷下列命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題,如果是,寫出這些命題的否定,并說明否定的真假,不必證明;如果不是,則只需判斷命題真假,并給出證明.
(1)存在實數x,使得x2+2x+3≤0;
(2)有些三角形是等邊三角形;
(3)方程x2-8x-10=0的每一個根都不是奇數.
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