資源簡介

2.1.1　課時2　不等式的性質
【學習目標】
1.能從等式的性質類比不等式的性質.(數學抽象)
2.掌握不等式的性質及其成立的條件,會利用不等式的性質解決求范圍問題、證明不等式.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.不等式的性質“a>b,b>c a>c”改為“a>b,b>c a>c”成立嗎
2.在性質3的推論2中,能把“ ”改為“ ”嗎 為什么
3.如果a>b,且a,b同號,那么與的關系是什么
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a>b,則ac>bc一定成立. (　　)
(2)若a>b且db+d. (　　)
(3)若a>b且c>d,則ac>bd. (　　)
2.若a>b>0,dA.ac>bd>0　　　　　　B.ac>bd
C.a+c>b+d D.a+c>b+d>0
【合作探究】
探究1：不等式的性質
情境設置
小明說:“‘a=b’是‘ac2=bc2’成立的充要條件.”
問題1:小明的說法正確嗎 用什么性質判斷小明的說法是否正確
問題2:請大家回憶一下,等式有哪些性質
問題3:類比等式的性質,你能推出不等式的性質嗎
新知生成
不等式的基本性質
性質1:(對稱性)a>b b性質2:(傳遞性)a>b,b>c a>c.
性質3:(可加性)a>b a+c>b+c.
推論1:如果a+b>c,那么a>c-b.
推論2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
性質4:(可乘性)a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 ac推論3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
推論4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
性質5:如果a>b>0,那么>.
性質6:如果a>b,且ab>0,那么<;
如果a>b,且ab<0,那么>.
新知運用
例1　已知a,b,c,d為實數,則下列命題中是真命題的是(　　).
A.若a
B.若<,則a>b
C.若a2D.若a2方法指導　本題可以利用不等式的性質直接判斷命題的真假,也可以采用特殊值法判斷.
【方法總結】運用不等式的性質判斷命題真假時,要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能隨意捏造性質.解有關不等式的選擇題時,也可采用特殊值法進行排除,注意取值一定要遵循如下原則:一是滿足題設條件;二是取值要簡單,便于驗證計算.
鞏固訓練
(多選題)已知a,b,c∈R且a>b>c>0,則下列結論正確的是(　　).
A.2a>b+c　　　　　B.a(c-b)>b(c-b)
C.< D.b-c>a-c
探究2：不等式性質的應用
一、利用不等式性質證明簡單不等式
例2　若a>b>0,c.
方法指導　可結合不等式的基本性質,分析所證不等式的結構,有理有據地導出證明結果.
【方法總結】利用不等式的性質證明不等式的注意事項
(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題,一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質,并注意在解題中靈活準確地加以應用.
(2)應用不等式的性質進行推導時,應注意緊扣不等式的性質成立的條件,且不可省略條件或跳步推導,更不能隨意構造性質與法則.
二、利用不等式性質求取值范圍
例3　已知12　　【變式探究】已知2≤a+b≤4且1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范圍.
【方法總結】不等式具有可加性(需同向)與可乘性(需同正),但不能相減或相除,應用時要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍,注意等價變形.
鞏固訓練
1.已知02.若bc-ad≥0,bd>0.求證:≤.
【隨堂檢測】
s1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正確的個數是(　　).
①<;②<;③a2|b|.
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知a,b,c,d∈R且ab>0,->-,則(　　).
A.bcad
C.> D.<
3.已知-1≤x≤4,2≤y≤3,則z=2x-3y的取值范圍是　　　　.
4.已知a>b>0,c|c|,求證:
(1)b+c>0;(2)<.
22.1.1　課時2　不等式的性質
【學習目標】
1.能從等式的性質類比不等式的性質.(數學抽象)
2.掌握不等式的性質及其成立的條件,會利用不等式的性質解決求范圍問題、證明不等式.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.不等式的性質“a>b,b>c a>c”改為“a>b,b>c a>c”成立嗎
【答案】不成立,因為由a>c推不出a>b,b>c.
2.在性質3的推論2中,能把“ ”改為“ ”嗎 為什么
【答案】不能,因為由a+c>b+d,不能推出a>b,c>d,例如1+100>2+3,但顯然1<2.
3.如果a>b,且a,b同號,那么與的關系是什么
【答案】因為-=,且a>b,a,b同號,所以ab>0,b-a<0,所以<0,即<.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a>b,則ac>bc一定成立. (　　)
(2)若a>b且db+d. (　　)
(3)若a>b且c>d,則ac>bd. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×
2.若a>b>0,dA.ac>bd>0　　　　　　B.ac>bd
C.a+c>b+d D.a+c>b+d>0
【答案】C
【解析】若d<00>bd,A錯誤;
取a=3,b=2,c=-2,d=-3,則ac=bd,a+c>0>b+d,B錯誤,D錯誤;
因為a>b>0,db+d,C正確.
【合作探究】
探究1：不等式的性質
情境設置
小明說:“‘a=b’是‘ac2=bc2’成立的充要條件.”
問題1:小明的說法正確嗎 用什么性質判斷小明的說法是否正確
【答案】不正確,用等式的性質.當a=b時,ac2=bc2一定成立,反過來,當ac2=bc2時,不能推出a=b,如c=0.故“‘a=b’是‘ac2=bc2’成立的充要條件”是錯誤的.
問題2:請大家回憶一下,等式有哪些性質
【答案】性質1:如果a=b,那么b=a.
性質2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性質3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性質4:如果a=b,那么ac=bc.
性質5:如果a=b,c≠0,那么=.
問題3:類比等式的性質,你能推出不等式的性質嗎
【答案】能.
新知生成
不等式的基本性質
性質1:(對稱性)a>b b性質2:(傳遞性)a>b,b>c a>c.
性質3:(可加性)a>b a+c>b+c.
推論1:如果a+b>c,那么a>c-b.
推論2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
性質4:(可乘性)a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 ac推論3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
推論4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
性質5:如果a>b>0,那么>.
性質6:如果a>b,且ab>0,那么<;
如果a>b,且ab<0,那么>.
新知運用
例1　已知a,b,c,d為實數,則下列命題中是真命題的是(　　).
A.若a
B.若<,則a>b
C.若a2D.若a2方法指導　本題可以利用不等式的性質直接判斷命題的真假,也可以采用特殊值法判斷.
【答案】D
【解析】取a=-1,b=1,則滿足a0,所以a0,此時a2c2=0a2>0,d2>c2>0,有b2d2>a2c2,故D為真命題.
【方法總結】運用不等式的性質判斷命題真假時,要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能隨意捏造性質.解有關不等式的選擇題時,也可采用特殊值法進行排除,注意取值一定要遵循如下原則:一是滿足題設條件;二是取值要簡單,便于驗證計算.
鞏固訓練
(多選題)已知a,b,c∈R且a>b>c>0,則下列結論正確的是(　　).
A.2a>b+c　　　　　B.a(c-b)>b(c-b)
C.< D.b-c>a-c
【答案】AC
【解析】由a>b>c>0,得a>b,a>c,∴2a>b+c,故A正確;
由a>b>c>0,得a>b,c-b<0,∴a(c-b)由b>c>0,得<,故C正確;
由a>b>c>0,得0探究2：不等式性質的應用
一、利用不等式性質證明簡單不等式
例2　若a>b>0,c.
方法指導　可結合不等式的基本性質,分析所證不等式的結構,有理有據地導出證明結果.
【解析】∵c-d>0.
又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.
∴(a-c)2>(b-d)2>0.
兩邊同時乘以,
得<.
又e<0,∴>.
【方法總結】利用不等式的性質證明不等式的注意事項
(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題,一定要在理解的基礎上記準、記熟不等式的性質,并注意在解題中靈活準確地加以應用.
(2)應用不等式的性質進行推導時,應注意緊扣不等式的性質成立的條件,且不可省略條件或跳步推導,更不能隨意構造性質與法則.
二、利用不等式性質求取值范圍
例3　已知12【解析】∵15又<<,∴<<,即<<4.
故-24　　【變式探究】已知2≤a+b≤4且1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范圍.
【解析】令a+b=μ,a-b=ν,則2≤μ≤4,1≤ν≤2.
由解得
∴4a-2b=4·-2·=μ+3ν,
又2≤μ≤4,3≤3ν≤6,∴5≤μ+3ν≤10,
∴5≤4a-2b≤10.
【方法總結】不等式具有可加性(需同向)與可乘性(需同正),但不能相減或相除,應用時要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍,注意等價變形.
鞏固訓練
1.已知0【答案】-<2a-b<
【解析】因為0且2a-b=(a+b)-(-a+b),
所以結合不等式的性質可得-<2a-b<.
2.若bc-ad≥0,bd>0.求證:≤.
【解析】因為bc-ad≥0,所以ad≤bc,
因為bd>0,所以≤,所以+1≤+1,
所以≤.
【隨堂檢測】
s1.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正確的個數是(　　).
①<;②<;③a2|b|.
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】①正確,②③④可舉反例排除,如對于②③,可設a=-9,b=1;對于④,可設a=-1,b=2.
2.已知a,b,c,d∈R且ab>0,->-,則(　　).
A.bcad
C.> D.<
【答案】A
【解析】∵ ab>0,
∴ 在->-兩側乘ab不變號,
即-bc>-ad,即bc3.已知-1≤x≤4,2≤y≤3,則z=2x-3y的取值范圍是　　　　.
【答案】[-11,2]
【解析】∵-1≤x≤4,2≤y≤3,∴-2≤2x≤8,-9≤-3y≤-6,∴-11≤2x-3y≤2,∴-11≤z≤2.
4.已知a>b>0,c|c|,求證:
(1)b+c>0;(2)<.
【解析】(1)∵|b|>|c|且b>0,c<0,∴b>-c,即b+c>0.
(2)∵c-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴>>0,∴<.
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