資源簡介

2.1.2　基本不等式
【學習目標】
1.通過具體實例抽象出基本不等式的內容,能理解及證明基本不等式.(數學抽象、邏輯推理)
2.能熟練運用基本不等式來比較兩個實數的大小.(邏輯推理、數學運算)
3.能初步運用基本不等式證明簡單的不等式.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.如果a>0,b>0,用,分別代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎樣的不等式
【答案】a+b≥2.
2.不等式a2+b2≥2ab和≥成立的條件是否相同 若不同,請舉例說明.
【答案】成立的條件不同,前者成立的條件是a與b都為實數;而后者成立的條件是a與b都為非負數.例如,(-1)2+(-2)2≥2×(-1)×(-2)是成立的,而≥是不成立的.
3.基本不等式中的a,b可以是任意值為正數的代數式嗎
【答案】a,b可以是任意正數,也可以是代數式.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于任意a,b∈R,都有a2+b2≥2ab. (　　)
(2)當n∈N+時,n+>2. (　　)
(3)當x≠0時,x+≥2. (　　)
【答案】(1)√　(2)√　(3)×
2.已知a≠0,則下列不等式正確的是(　　).
A.a+≥2
B.(-a)+-≤-2
C.a2+≥2
D.(-a)2+-2≤-2
【答案】C
【解析】當a<0時,a+<0,(-a)+->0,故A,B錯誤.
當a≠0時,由基本不等式的性質可得a2+≥2,(-a)2+-2≥2,故C正確,D錯誤.
3.不等式x-2y+≥2成立的前提條件為　　　.
【答案】x>2y
【解析】因為基本不等式成立的前提條件是各項均為正,
所以x-2y>0,即x>2y.
4.已知a,b,c都是正數,求證:a+b+c---≥0.
【解析】∵a,b,c都是正數,
∴a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,
∴a+b+b+c+a+c≥2(++),
∴a+b+c≥++,
即a+b+c---≥0,當且僅當a=b=c時等號成立.
【合作探究】
探究1：不等式定理
情境設置
問題:我們知道(a-b)2≥0,你能得出什么樣的重要關系
【答案】因為(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab.
新知生成
定理:對任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立.
新知運用
例1　已知a,b,c∈R,求證:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
方法指導　觀察不等式和與積的特征,利用重要不等式證明.
【解析】由重要不等式可得a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,
同理,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,
∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2c2a2,
從而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
【方法總結】用重要不等式證明不等式時,應先依據不等式兩邊式子的結構特點進行恒等變形,使之具備重要不等式的結構和條件,然后合理地選擇重要不等式進行證明.
鞏固訓練
設a>0,b>0,證明:+≥a+b.
【解析】∵a>0,b>0,∴+a≥2b,+b≥2a,
∴+≥a+b.
探究2：不等式定理的推論
情境設置
如圖,AB是圓O的直徑,Q是AB上任意一點,AQ=a,BQ=b,過點Q作PQ垂直于AB且交圓O于點P,垂足為Q,連接AP,PB.
問題1:如何用a,b表示PO,PQ的長度
【答案】PO==.易證Rt△APQ∽Rt△PBQ,則PQ2=AQ·QB,即PQ=.
問題2:比較PO,PQ的長度,能得出什么結論
【答案】PO的長度大于或等于PQ的長度,通過兩者的關系可以得出≤.
新知生成
1.推論
對任意a,b≥0,必有≥,當且僅當a=b時等號成立.
2.算術平均數、幾何平均數
一般地,對于正數a,b,我們把稱為a,b的算術平均數,稱為a,b的幾何平均數.
3.基本不等式
定理和推論中的不等式通常稱為基本不等式.
新知運用
例2　(多選題)下列結論正確的是(　　).
A.y=x+的最小值為4
B.y=(x>0)的最大值為
C.y=x-1+(x>-1)的最小值為0
D.y=+的最小值為2
方法指導　利用基本不等式逐項分析即可.
【答案】BC
【解析】A中,沒有考慮x<0的情況,A錯誤;
B中,y==≤=,當且僅當x=,即x=1時等號成立,B正確;
C中,y=x-1+=x+1+-2≥2-2=0,當且僅當x+1=,即x=0時等號成立,C正確;
D中,y=+≥2=2,而當=時,x無解,故取不到2,D錯誤.
【方法總結】基本不等式≥(a≥0,b≥0)反映了兩個非負數的和與積之間的關系.對它的準確掌握要抓住兩個方面
(1)定理成立的條件:a,b都是非負數.
(2)“當且僅當”的含義:①當a=b時,≥的等號成立,即a=b =;②僅當a=b時,≥的等號成立,即= a=b.
鞏固訓練
下列命題正確的是(　　).
A.當a,b∈R時,+≥2=2
B.當a>0,b>0時,(a+b)+≥4
C.當a>4時,a+≥2=6
D.當a>0,b>0時,≥
【答案】B
【解析】A中,當<0時不等式不成立,所以A不正確;B中,因為a+b≥2>0,+≥2>0,相乘得(a+b)+≥4,當且僅當a=b時等號成立,所以B正確;C中,a+≥2=6中的等號不成立,所以C不正確;D中,由基本不等式知,≤(a>0,b>0),所以D不正確.故選B.
探究3：基本不等式的簡單應用
情境設置
小區有一個面積為8的直角三角形花壇.
問題1:上述情境中,能否求出兩條直角邊的邊長之和的最小值
【答案】設兩條直角邊的邊長分別為a,b(a>0,b>0),由已知ab=8,得a+b≥2=8,當且僅當a=b=4時,兩條直角邊的邊長之和最小,最小值為8.
問題2:若這個直角三角形的兩條直角邊的邊長之和為4,如何求該直角三角形面積的最大值呢
【答案】設兩條直角邊的邊長分別為a,b(a>0,b>0),則a+b=4,因為a>0,b>0,所以a+b≥2,
所以ab≤=4,當且僅當a=b=2時等號成立.
所以該直角三角形面積的最大值為2.
新知生成
1.利用基本不等式求最值時,必須按照以下原則
(1)符合基本不等式≥成立的前提條件(a≥0,b≥0).
(2)化不等式的一邊為定值.
(3)必須存在取“=”的條件,即“=”成立.
2.基本不等式的變形
(1)ab≤2≤(a,b∈R);
(2)≤≤(a,b均為正實數).
新知運用
一、利用基本不等式求最值
例3　(1)已知0(2)已知x>2,則x+的最小值為　　　　.
方法指導　通過常數拼湊使得兩個式子的和或積為定值,再利用基本不等式求出最值,注意“一正、二定、三相等”的條件以及拼湊中的等價變形過程.
【答案】(1)　(2)6
【解析】(1)∵00,∴x(4-3x)=·3x(4-3x)≤=,
當且僅當3x=4-3x,即x=時等號成立,故x=.
(2)∵x>2,∴x-2>0,∴x+=(x-2)++2≥2+2=6,
當且僅當x-2=,即x=4時等號成立.
【方法總結】若是求和的最小值,通常化積為定值;若是求積的最大值,通常化和為定值,其解答技巧是恰當變形,合理拆分項或配湊因式.
二、利用基本不等式證明
例4　已知a,b,c>0,求證:++≥a+b+c.
【解析】∵a,b,c>0,∴利用基本不等式可得+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,∴+++a+b+c≥2a+2b+2c,故++≥a+b+c,當且僅當a=b=c時等號成立.
【方法總結】利用基本不等式證明不等式時,要先觀察題中需證明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式證明,則考慮對代數式進行拆項、變形、配湊等,使之滿足能使用基本不等式的條件;若題目中含有已知條件,則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯系,當已知條件中隱含“1”時,要注意“1”的代換.另外,解題過程中要時刻注意等號能否取到.
鞏固訓練
(1)已知m>0,n>0,且m+n=16,求mn的最大值.
(2)已知a,b,c為正數,且a+b+c=1,證明:++≥9.
【解析】(1)∵m>0,n>0且m+n=16,
∴由基本不等式可得mn≤==64,
當且僅當m=n=8時,mn取得最大值64.
(2)++=++
=3+++
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9.
當且僅當a=b=c=時等號成立.
【隨堂檢測】
1.若0　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.aC.a<【答案】B
【解析】(法一)∵0(法二)取a=2,b=8,則=4,=5,∴a<<2.數學里有一種證明方法叫做無字證明(Proofs without words),一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數學命題.由于這種證明方法的特殊性,無字證明被認為比嚴格的數學證明更為優雅.現有圖形如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,O為斜邊AB的中點,D為斜邊AB上異于頂點的一個動點,設AD=a,BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為(　　).
A.≥(a>0,b>0)
B.≤(a>0,b>0)
C.≤(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2(a>0,b>0)
【答案】B
【解析】∵△ABC是等腰直角三角形,O為斜邊AB的中點,AD=a,BD=b,
∴OC=,OD=.
∵OC⊥AB,∴CD2=OC2+OD2=2+2=,
∴CD=,又CD≥OC,∴≥(a>0,b>0).故選B.
3.對x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　).
A.x+≥2 B.x+≤-2
C.≥ D.≥2
【答案】D
【解析】因為x∈R且x≠0,所以當x>0時,x+≥2,當x<0時,-x>0,所以x+=--x+≤-2,所以A,B都錯誤;又因為x2+1≥2|x|,所以≤,所以C錯誤.故選D.
4.已知a,b為正實數,且a+b=1.求證:+≥4.
【解析】∵a,b為正實數,且a+b=1,
∴+=+
=1+++1
=2++≥2+2=4,
當且僅當a=b=時等號成立.
22.1.2　基本不等式
【學習目標】
1.通過具體實例抽象出基本不等式的內容,能理解及證明基本不等式.(數學抽象、邏輯推理)
2.能熟練運用基本不等式來比較兩個實數的大小.(邏輯推理、數學運算)
3.能初步運用基本不等式證明簡單的不等式.(邏輯推理)
【自主預習】
預學憶思
1.如果a>0,b>0,用,分別代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎樣的不等式
2.不等式a2+b2≥2ab和≥成立的條件是否相同 若不同,請舉例說明.
3.基本不等式中的a,b可以是任意值為正數的代數式嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于任意a,b∈R,都有a2+b2≥2ab. (　　)
(2)當n∈N+時,n+>2. (　　)
(3)當x≠0時,x+≥2. (　　)
2.已知a≠0,則下列不等式正確的是(　　).
A.a+≥2
B.(-a)+-≤-2
C.a2+≥2
D.(-a)2+-2≤-2
3.不等式x-2y+≥2成立的前提條件為　　　.
4.已知a,b,c都是正數,求證:a+b+c---≥0.
【合作探究】
探究1：不等式定理
情境設置
問題:我們知道(a-b)2≥0,你能得出什么樣的重要關系
【答案】因為(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab.
新知生成
定理:對任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立.
新知運用
例1　已知a,b,c∈R,求證:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
方法指導　觀察不等式和與積的特征,利用重要不等式證明.
【方法總結】用重要不等式證明不等式時,應先依據不等式兩邊式子的結構特點進行恒等變形,使之具備重要不等式的結構和條件,然后合理地選擇重要不等式進行證明.
鞏固訓練
設a>0,b>0,證明:+≥a+b.
探究2：不等式定理的推論
情境設置
如圖,AB是圓O的直徑,Q是AB上任意一點,AQ=a,BQ=b,過點Q作PQ垂直于AB且交圓O于點P,垂足為Q,連接AP,PB.
問題1:如何用a,b表示PO,PQ的長度
問題2:比較PO,PQ的長度,能得出什么結論
新知生成
1.推論
對任意a,b≥0,必有≥,當且僅當a=b時等號成立.
2.算術平均數、幾何平均數
一般地,對于正數a,b,我們把稱為a,b的算術平均數,稱為a,b的幾何平均數.
3.基本不等式
定理和推論中的不等式通常稱為基本不等式.
新知運用
例2　(多選題)下列結論正確的是(　　).
A.y=x+的最小值為4
B.y=(x>0)的最大值為
C.y=x-1+(x>-1)的最小值為0
D.y=+的最小值為2
方法指導　利用基本不等式逐項分析即可.
【方法總結】基本不等式≥(a≥0,b≥0)反映了兩個非負數的和與積之間的關系.對它的準確掌握要抓住兩個方面
(1)定理成立的條件:a,b都是非負數.
(2)“當且僅當”的含義:①當a=b時,≥的等號成立,即a=b =;②僅當a=b時,≥的等號成立,即= a=b.
鞏固訓練
下列命題正確的是(　　).
A.當a,b∈R時,+≥2=2
B.當a>0,b>0時,(a+b)+≥4
C.當a>4時,a+≥2=6
D.當a>0,b>0時,≥
探究3：基本不等式的簡單應用
情境設置
小區有一個面積為8的直角三角形花壇.
問題1:上述情境中,能否求出兩條直角邊的邊長之和的最小值
問題2:若這個直角三角形的兩條直角邊的邊長之和為4,如何求該直角三角形面積的最大值呢
【
新知生成
1.利用基本不等式求最值時,必須按照以下原則
(1)符合基本不等式≥成立的前提條件(a≥0,b≥0).
(2)化不等式的一邊為定值.
(3)必須存在取“=”的條件,即“=”成立.
2.基本不等式的變形
(1)ab≤2≤(a,b∈R);
(2)≤≤(a,b均為正實數).
新知運用
一、利用基本不等式求最值
例3　(1)已知0(2)已知x>2,則x+的最小值為　　　　.
方法指導　通過常數拼湊使得兩個式子的和或積為定值,再利用基本不等式求出最值,注意“一正、二定、三相等”的條件以及拼湊中的等價變形過程.
【方法總結】若是求和的最小值,通常化積為定值;若是求積的最大值,通常化和為定值,其解答技巧是恰當變形,合理拆分項或配湊因式.
二、利用基本不等式證明
例4　已知a,b,c>0,求證:++≥a+b+c.
【方法總結】利用基本不等式證明不等式時,要先觀察題中需證明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式證明,則考慮對代數式進行拆項、變形、配湊等,使之滿足能使用基本不等式的條件;若題目中含有已知條件,則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯系,當已知條件中隱含“1”時,要注意“1”的代換.另外,解題過程中要時刻注意等號能否取到.
鞏固訓練
(1)已知m>0,n>0,且m+n=16,求mn的最大值.
(2)已知a,b,c為正數,且a+b+c=1,證明:++≥9.
(2)++=++
=3+++
【隨堂檢測】
1.若0　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.aC.a<2.數學里有一種證明方法叫做無字證明(Proofs without words),一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數學命題.由于這種證明方法的特殊性,無字證明被認為比嚴格的數學證明更為優雅.現有圖形如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,O為斜邊AB的中點,D為斜邊AB上異于頂點的一個動點,設AD=a,BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為(　　).
A.≥(a>0,b>0)
B.≤(a>0,b>0)
C.≤(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2(a>0,b>0)
3.對x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　).
A.x+≥2 B.x+≤-2
C.≥ D.≥2
4.已知a,b為正實數,且a+b=1.求證:+≥4.
2

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