資源簡介

2.2　從函數觀點看一元二次方程
【學習目標】
1.會結合二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及根的個數.(數學運算)
2.了解函數的零點與方程的根的關系.(邏輯推理、數學運算)
3.會求一元二次方程的根以及二次函數的解析式.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.一元二次函數的一般形式是什么
2.如何求一元二次函數的解析式
3.如何求一元二次函數圖象與x軸的交點
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y=mx2-5x是一元二次函數. (　　)
(2)函數y=x2-2x的零點為2和0. (　　)
(3)函數y=ax2+bx+c有兩個零點. (　　)
2.已知某一元二次函數的圖象與函數y=2x2的圖象的形狀一樣,開口方向相反,且其頂點為(-1,3),則此函數的解析式為　　　　　　　　.
3.已知二次函數y=x2+ax+b的兩個零點分別是2和3,求a,b的值.
【合作探究】
探究1：一元二次函數的圖象與一元二次方程的根之間的關系
情境設置
觀察下列一元二次方程與對應的二次函數:
(1)x2-4=0與y=x2-4;
(2)x2-4x+4=0與y=x2-4x+4;
(3)x2-2x+2=0與y=x2-2x+2.
問題1:上述一元二次方程是否有實根 若有,請求出.
問題2:畫出上述一元二次函數的簡圖,觀察圖象與x軸交點的橫坐標與一元二次方程的根之間的關系.
　
新知生成
當a>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0的根與二次函數y=ax2+bx+c的圖象之間的關系如表所示:
判別式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的圖象
ax2+bx+c =0(a>0) 的根 有兩個相異的實根x1,x2(x1新知運用
例1　二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,根據圖象解答下列問題:
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;
(2)若方程ax2+bx+c=2k-1有兩個不等實根,求實數k的取值范圍.
【方法總結】涉及方程根的問題常轉化為二次函數的圖象與直線的交點問題,利用數形結合求解.
鞏固訓練
二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,且經過點(1,2).
(1)求方程ax2+bx+c=0的根和對應的二次函數解析式;
(2)若方程ax2+bx+c=1-k無實根,求實數k的取值范圍.
探究2：二次函數的零點
情境設置
已知ax2+bx+c=0.
問題1:當a<0時,一元二次方程ax2+bx+c=0的根與二次函數y=ax2+bx+c的圖象之間的關系是怎樣的
問題2:什么是二次函數的零點
問題3:二次函數的零點就是二次函數圖象與x軸的交點嗎
新知生成
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根就是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點,也就是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標.
新知運用
例2　求下列函數的零點.
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其圖象如圖所示.
方法指導　(1)直接解出相應方程的根;(2)對二次項的系數a分a=0,a≠0兩類進行討論,當a≠0時,還要比較兩根的大小;(3)根據相應函數的圖象,找到其與x軸交點的橫坐標.
【方法總結】(1)求函數的零點就是解相應的方程,相應方程的實數根就是函數的零點.
(2)函數的圖象與x軸交點的橫坐標就是函數的零點.
(3)求含有參數的函數y=ax2+bx+c的零點需要分類討論,分類討論的步驟:①若二次項系數中含有參數,則討論二次項系數是否為零;②若二次項系數不為零,則討論對應方程的根的判別式的符號,判定方程是否有實數根,若可以因式分解,則一定存在零點;③若二次項系數不為零,且相應方程有實數根,則討論相應方程的實數根是否相等.
鞏固訓練
　　求下列函數的零點.
(1)y=2x2-3x-2;
(2)y=ax2-x-1;
(3)y=ax2+bx+c,其圖象如圖所示.
【隨堂檢測】
1.函數y=3x2+x-2的零點為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1,- B.-1, C.2,- D.-2,
2.若關于x的一元二次方程x2-4x+m=0沒有實數根,則實數m的取值范圍為(　　).
A.m<2 B.m>4 C.m>16 D.m<8
3.已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過(1,0),(2,5)兩點,則二次函數的解析式為(　　).
A.y=x2+2x-3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x+3 D.y=x2-2x+6
4.設x1,x2是方程5x2-3x-2=0的兩個實數根,則+的值為　　　　.
22.2　從函數觀點看一元二次方程
【學習目標】
1.會結合二次函數的圖象,判斷一元二次方程實根的存在性及根的個數.(數學運算)
2.了解函數的零點與方程的根的關系.(邏輯推理、數學運算)
3.會求一元二次方程的根以及二次函數的解析式.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.一元二次函數的一般形式是什么
【答案】其一般形式為y=ax2+bx+c(a≠0).
2.如何求一元二次函數的解析式
【答案】若已知二次函數圖象上的三點,可設二次函數的一般式,通過建立方程求解;若已知頂點坐標,可設為配方式y=a(x+n)2+m(a≠0),建立方程求解.
3.如何求一元二次函數圖象與x軸的交點
【答案】令ax2+bx+c=0(a≠0),解方程即可.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)y=mx2-5x是一元二次函數. (　　)
(2)函數y=x2-2x的零點為2和0. (　　)
(3)函數y=ax2+bx+c有兩個零點. (　　)
【答案】(1)×　(2)√　(3)×
2.已知某一元二次函數的圖象與函數y=2x2的圖象的形狀一樣,開口方向相反,且其頂點為(-1,3),則此函數的解析式為　　　　　　　　.
【答案】y=-2(x+1)2+3
3.已知二次函數y=x2+ax+b的兩個零點分別是2和3,求a,b的值.
【解析】因為二次函數y=x2+ax+b的兩個零點分別是2和3,
所以x2+ax+b=0的兩個根分別為2和3,
所以2+3=-a,2×3=b,即a=-5,b=6.
【合作探究】
探究1：一元二次函數的圖象與一元二次方程的根之間的關系
情境設置
觀察下列一元二次方程與對應的二次函數:
(1)x2-4=0與y=x2-4;
(2)x2-4x+4=0與y=x2-4x+4;
(3)x2-2x+2=0與y=x2-2x+2.
問題1:上述一元二次方程是否有實根 若有,請求出.
【答案】(1)有兩個不等實根,x1=-2,x2=2;
(2)有兩個相等實根,x1=x2=2;(3)無實根.
問題2:畫出上述一元二次函數的簡圖,觀察圖象與x軸交點的橫坐標與一元二次方程的根之間的關系.
　　【答案】(1)如圖①,圖象與x軸的交點為(-2,0),(2,0),圖象與x軸交點的橫坐標即相應方程的根;(2)如圖②,圖象與x軸的交點為(2,0),圖象與x軸交點的橫坐標即相應方程的根;(3)如圖③,圖象與x軸無交點,相應方程無實根.
新知生成
當a>0時,一元二次方程ax2+bx+c=0的根與二次函數y=ax2+bx+c的圖象之間的關系如表所示:
判別式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+ bx+c (a>0) 的圖象
ax2+bx+c =0(a>0) 的根 有兩個相異的實根x1,x2(x1新知運用
例1　二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,根據圖象解答下列問題:
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個根;
(2)若方程ax2+bx+c=2k-1有兩個不等實根,求實數k的取值范圍.
【解析】(1)觀察圖象可知,方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是-1,3.
(2)若ax2+bx+c=2k-1有兩個不等實根,即二次函數y=ax2+bx+c的圖象與直線y=2k-1有兩個交點,結合圖象可知y=2k-1>-3,解得k>-1.
【方法總結】涉及方程根的問題常轉化為二次函數的圖象與直線的交點問題,利用數形結合求解.
鞏固訓練
二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,且經過點(1,2).
(1)求方程ax2+bx+c=0的根和對應的二次函數解析式;
(2)若方程ax2+bx+c=1-k無實根,求實數k的取值范圍.
【解析】(1)由圖可知,ax2+bx+c=0的兩個根分別為-1,2.
設二次函數的解析式為y=a(x+1)(x-2),
把點(1,2)代入,解得a=-1,
所以對應的二次函數解析式為y=-x2+x+2.
(2)由(1)得y=-x-2+,
所以結合圖象可知,當1-k>,即k<-時,方程ax2+bx+c=1-k無實根.
探究2：二次函數的零點
情境設置
已知ax2+bx+c=0.
問題1:當a<0時,一元二次方程ax2+bx+c=0的根與二次函數y=ax2+bx+c的圖象之間的關系是怎樣的
【答案】當a<0時,二次函數的圖象開口向下,若Δ>0,二次函數的圖象與x軸有2個交點,交點的橫坐標即相應方程的根;若Δ=0,二次函數的圖象與x軸有1個交點,交點的橫坐標即相應方程的根;若Δ<0,二次函數的圖象與x軸無交點,此時相應的方程無實根.
問題2:什么是二次函數的零點
【答案】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)當函數值取零時自變量x的值,即二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標,也稱為二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點.
問題3:二次函數的零點就是二次函數圖象與x軸的交點嗎
【答案】不是,二次函數的零點是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標.
新知生成
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數根就是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的零點,也就是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標.
新知運用
例2　求下列函數的零點.
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其圖象如圖所示.
方法指導　(1)直接解出相應方程的根;(2)對二次項的系數a分a=0,a≠0兩類進行討論,當a≠0時,還要比較兩根的大小;(3)根據相應函數的圖象,找到其與x軸交點的橫坐標.
【解析】(1)由3x2-2x-1=0,解得x1=1,x2=-,所以函數y=3x2-2x-1的零點為1和-.
(2)①當a=0時,y=-x-1,由-x-1=0,解得x=-1,所以函數的零點為-1.
②當a≠0時,由ax2-x-a-1=0得(ax-a-1)(x+1)=0,解得x1=,x2=-1.
又-(-1)=,
所以當a=-時,x1=x2=-1,函數有唯一的零點,零點為-1;
當a≠-且a≠0時,x1≠x2,函數有兩個零點,零點分別為-1和.
綜上,當a=0或a=-時,函數的零點為-1;
當a≠-且a≠0時,函數有兩個零點,零點分別為-1和.
(3)因為函數的圖象與x軸交點的橫坐標為-1和3,所以該函數的零點為-1和3.
【方法總結】(1)求函數的零點就是解相應的方程,相應方程的實數根就是函數的零點.
(2)函數的圖象與x軸交點的橫坐標就是函數的零點.
(3)求含有參數的函數y=ax2+bx+c的零點需要分類討論,分類討論的步驟:①若二次項系數中含有參數,則討論二次項系數是否為零;②若二次項系數不為零,則討論對應方程的根的判別式的符號,判定方程是否有實數根,若可以因式分解,則一定存在零點;③若二次項系數不為零,且相應方程有實數根,則討論相應方程的實數根是否相等.
鞏固訓練
　　求下列函數的零點.
(1)y=2x2-3x-2;
(2)y=ax2-x-1;
(3)y=ax2+bx+c,其圖象如圖所示.
【解析】(1)由2x2-3x-2=0解得x1=2,x2=-,
所以函數y=2x2-3x-2的零點為2和-.
(2)①當a=0時,y=-x-1,由-x-1=0,解得x=-1,所以函數的零點為-1.
②當a≠0時,由ax2-x-1=0得Δ=1+4a.
當Δ<0,即a<-時,相應方程無實數根,函數無零點;
當Δ=0,即a=-時,x1=x2=-2,函數有唯一的零點,零點為-2;
當Δ>0,即a>-時,由ax2-x-1=0,解得x1=,x2=,函數有兩個零點,零點分別為和.
綜上,當a=0時,函數的零點為-1;
當a=-時,函數的零點為-2;
當a>-且a≠0時,函數有兩個零點,零點分別為和;
當a<-時,函數無零點.
(3)因為函數的圖象與x軸的交點的橫坐標為-3和1,所以該函數的零點為-3和1.
【隨堂檢測】
1.函數y=3x2+x-2的零點為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1,- B.-1, C.2,- D.-2,
【答案】B
【解析】解方程3x2+x-2=0,得x1=-1,x2=,所以-1,是函數y=3x2+x-2的零點.
2.若關于x的一元二次方程x2-4x+m=0沒有實數根,則實數m的取值范圍為(　　).
A.m<2 B.m>4 C.m>16 D.m<8
【答案】B
【解析】若關于x的一元二次方程x2-4x+m=0沒有實數根,則Δ=16-4m<0,解得m>4.
3.已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過(1,0),(2,5)兩點,則二次函數的解析式為(　　).
A.y=x2+2x-3 B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x+3 D.y=x2-2x+6
【答案】A
【解析】把點(1,0),(2,5)的坐標代入y=x2+bx+c,
得解得
所以這個二次函數的解析式為y=x2+2x-3.
4.設x1,x2是方程5x2-3x-2=0的兩個實數根,則+的值為　　　　.
【答案】-
【解析】因為x1,x2是方程5x2-3x-2=0的兩個實數根,所以x1+x2=,x1x2=-,所以+===-.
2

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