資源簡介

2.3.1　課時1　一元二次不等式及其解法(一)
【學習目標】
1.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現實意義.(數學抽象)
2.能借助一元二次函數求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.不等式x2+>0是一元二次不等式嗎
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略嗎
3.若二次函數y=x2-4的函數值大于零,如何求解 x的取值范圍
4.二次函數與一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么對應關系
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a>0,則一元二次不等式ax2+1>0無解. (　　)
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1,x2(x1(3)不等式x2-2x+3>0的解集為R. (　　)
2.(多選題)下列所給的關于x的不等式中一定為一元二次不等式的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集為　　　　　　.
4.不等式x2<2的解集是　　　　　　　　.
【合作探究】
探究1：一元二次不等式
情境設置
　　觀察下列不等式:
(1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0.
問題1:以上給出的三個不等式,它們含有幾個未知數 未知數的最高次數是多少
問題2:上述三個不等式在表達形式上有何共同特點
新知生成
1.一元二次不等式
把只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的不等式,稱為一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數,a≠0.
2.解一元二次不等式的步驟
(1)確定對應一元二次方程ax2+bx+c=0的根;
(2)畫出對應二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的大致圖象;
(3)由圖象得出不等式的解集.
新知運用
一、不含參數的一元二次不等式的解法
例1　解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
方法指導　先求出對應一元二次方程的解,再結合對應的二次函數的圖象寫出不等式的解集.
【方法總結】解一元二次不等式的一般步驟:(1)通過對不等式變形,使二次項系數大于零;(2)計算對應方程的判別式;(3)求出相應的一元二次方程的實數根,或根據判別式說明方程沒有實數根;(4)根據函數圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集.
二、含參數的一元二次不等式的解法
例2　解關于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
方法指導　先求出方程x2-ax-2a2=0的兩個根,再通過比較兩根的大小寫出不等式的解集.
【方法總結】解含參數的一元二次不等式:(1)若二次項系數含有參數,則需對二次項系數分大于0、等于0與小于0進行討論;(2)若求對應的一元二次方程的根需要用公式,則應對判別式Δ進行討論;(3)若求出的根中含有參數,則應對兩根的大小進行討論.
鞏固訓練
1.解下列不等式:
(1)2x2-x+6>0;
(2)x2-6x+9≤0;
(3)x(7-x)>0.
2.解關于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
探究2：三個“二次”的關系
情境設置
問題1:一元二次函數與一元二次方程有什么關系
問題2:一元二次不等式與一元二次方程有什么關系
新知生成
三個“二次”的關系
設y=ax2+bx+c(a>0),方程 ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac
判別式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
解不等式 y>0或 y<0 的步驟 求方程y=0的解 有兩個不相等的實數根x1,x2(x1畫函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象
得不等式的解 集 y>0 {x|xx2} xx∈R且 x≠- R
y<0 {x|x1新知運用
例3　若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
方法指導　一元二次不等式解集的端點值是相應的一元二次方程的根,據此,利用根與系數的關系可求得,的值,將,的值整體代入,轉化所求不等式進行求解.
【方法總結】　1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標.
2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象,在x軸上方的部分所對應的x的值滿足不等式ax2+bx+c>0;在x軸下方的部分所對應的x的值滿足不等式ax2+bx+c<0.
鞏固訓練
已知關于x的不等式ax2+5x+c>0的解集為.
(1)求a,c的值;
(2)解關于x的不等式:ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【隨堂檢測】
1.不等式3x2-2x+1>0的解集為(　　).
A.x-1C. D.R
2.若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-≤x≤-,則實數a=(　　).
A.-6 B.-5 C. D.6
3.不等式x(2-x)>3的解集是　　　　.
4.解關于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
22.3.1　課時1　一元二次不等式及其解法(一)
【學習目標】
1.經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現實意義.(數學抽象)
2.能借助一元二次函數求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.不等式x2+>0是一元二次不等式嗎
【答案】不是,一元二次不等式一定為整式不等式.
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略嗎
【答案】不可以,若a=0,則不是二次不等式了.
3.若二次函數y=x2-4的函數值大于零,如何求解 x的取值范圍
【答案】結合二次函數的圖象求解,可得x的取值范圍為x<-2或 x>2.
4.二次函數與一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么對應關系
【答案】可以借助二次函數的圖象分析,二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標就是相應一元二次方程的實數根,二次函數圖象與x軸的相關位置可確定一元二次不等式的解集.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若a>0,則一元二次不等式ax2+1>0無解. (　　)
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1,x2(x1(3)不等式x2-2x+3>0的解集為R. (　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√
2.(多選題)下列所給的關于x的不等式中一定為一元二次不等式的是(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
【答案】BD
【解析】由于a可能為0,故ax2+4x-7>0不一定是一元二次不等式;x2+mx-1>0,x2<0一定是一元二次不等式;3x+4<0是一次不等式.故選BD.
3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集為　　　　　　.
【答案】
4.不等式x2<2的解集是　　　　　　　　.
【答案】{x|-【解析】由x2<2得(x-)(x+)<0,解得-【合作探究】
探究1：一元二次不等式
情境設置
　　觀察下列不等式:
(1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0.
問題1:以上給出的三個不等式,它們含有幾個未知數 未知數的最高次數是多少
【答案】它們只含有一個未知數,未知數的最高次數都是2.
問題2:上述三個不等式在表達形式上有何共同特點
【答案】形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c為常數,且a≠0.
新知生成
1.一元二次不等式
把只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的不等式,稱為一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數,a≠0.
2.解一元二次不等式的步驟
(1)確定對應一元二次方程ax2+bx+c=0的根;
(2)畫出對應二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的大致圖象;
(3)由圖象得出不等式的解集.
新知運用
一、不含參數的一元二次不等式的解法
例1　解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
方法指導　先求出對應一元二次方程的解,再結合對應的二次函數的圖象寫出不等式的解集.
【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.
因為函數圖象是開口向上的拋物線,如圖①所示,
圖①
所以不等式的解集是xx<-或x>2.
(2)不等式可化為3x2-6x+2<0.
因為方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+,
且函數y=3x2-6x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是.
(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,函數y=4x2-4x+1的圖象是開口向上的拋物線,如圖②所示,所以原不等式的解集是.
圖②
圖③
(4)因為x2-2x+2=0的判別式Δ<0,
所以方程x2-2x+2=0無解.又因為函數y=x2-2x+2的圖象是開口向上的拋物線,如圖③所示,所以原不等式的解集為R.
【方法總結】解一元二次不等式的一般步驟:(1)通過對不等式變形,使二次項系數大于零;(2)計算對應方程的判別式;(3)求出相應的一元二次方程的實數根,或根據判別式說明方程沒有實數根;(4)根據函數圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集.
二、含參數的一元二次不等式的解法
例2　解關于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
方法指導　先求出方程x2-ax-2a2=0的兩個根,再通過比較兩根的大小寫出不等式的解集.
【解析】原不等式轉化為(x-2a)(x+a)<0,對應的一元二次方程的根分別為x1=2a,x2=-a.
①當2a>-a,即a>0時,不等式的解集為{x|-a②當2a=-a,即a=0時,原不等式化為x2<0,無解;
③當2a<-a,即a<0時,不等式的解集為{x|2a綜上所述,當a>0時,原不等式的解集為{x|-a【方法總結】解含參數的一元二次不等式:(1)若二次項系數含有參數,則需對二次項系數分大于0、等于0與小于0進行討論;(2)若求對應的一元二次方程的根需要用公式,則應對判別式Δ進行討論;(3)若求出的根中含有參數,則應對兩根的大小進行討論.
鞏固訓練
1.解下列不等式:
(1)2x2-x+6>0;
(2)x2-6x+9≤0;
(3)x(7-x)>0.
【解析】
圖①
(1)∵方程2x2-x+6=0的判別式Δ=(-1)2-4×2×6<0,
∴函數y=2x2-x+6的圖象開口向上,與x軸無交點(如圖①).∴觀察圖象可得,不等式的解集為R.
(2)x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0,∴原不等式的解集為{x|x=3}.
(3)
圖②
原不等式可化為x(x-7)<0,方程x(x-7)=0的兩根分別是x1=0,x2=7,
函數y=x(x-7)的圖象是開口向上的拋物線,
與x軸有(0,0),(7,0)兩個交點(如圖②).
觀察圖象,可得不等式的解集為{x|02.解關于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
【解析】原不等式移項得ax2+(a-2)x-2≥0,
化簡為(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0,∴(x+1)x-≤0.
∴當-2當a=-2時,x=-1;
當a<-2時,-1≤x≤.
綜上所述,當-2當a=-2時,解集為{x|x=-1};
當a<-2時,解集為.
探究2：三個“二次”的關系
情境設置
問題1:一元二次函數與一元二次方程有什么關系
【答案】一元二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程的根.
問題2:一元二次不等式與一元二次方程有什么關系
【答案】一元二次不等式解集的端點值,就是相應一元二次方程的根.
新知生成
三個“二次”的關系
設y=ax2+bx+c(a>0),方程 ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac
判別式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
解不等式 y>0或 y<0 的步驟 求方程y=0的解 有兩個不相等的實數根x1,x2(x1畫函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象
得不等式的解 集 y>0 {x|xx2} xx∈R且 x≠- R
y<0 {x|x1新知運用
例3　若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
方法指導　一元二次不等式解集的端點值是相應的一元二次方程的根,據此,利用根與系數的關系可求得,的值,將,的值整體代入,轉化所求不等式進行求解.
【解析】∵原不等式的解集為,
∴-,2是方程ax2+bx+c=0的兩個根,且a<0.
由根與系數的關系得
即
∵a<0,∴不等式cx2+bx+a<0可化為x2+x+1>0,即-x2-x+1>0,化簡得2x2+5x-3<0,則(2x-1)(x+3)<0,解得-3∴不等式cx2+bx+a<0的解集為.
【方法總結】　1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標.
2.二次函數y=ax2+bx+c的圖象,在x軸上方的部分所對應的x的值滿足不等式ax2+bx+c>0;在x軸下方的部分所對應的x的值滿足不等式ax2+bx+c<0.
鞏固訓練
已知關于x的不等式ax2+5x+c>0的解集為.
(1)求a,c的值;
(2)解關于x的不等式:ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【解析】(1)由題意知,不等式對應的方程ax2+5x+c=0的兩個實數根分別為和,
由根與系數的關系得解得
(2)由a=-6,c=-1知,不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化為-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1,所以原不等式的解集為.
【隨堂檢測】
1.不等式3x2-2x+1>0的解集為(　　).
A.x-1C. D.R
【答案】D
【解析】因為Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,且對應二次函數圖象開口向上,所以不等式3x2-2x+1>0的解集為R.
2.若不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-≤x≤-,則實數a=(　　).
A.-6 B.-5 C. D.6
【答案】A
【解析】∵不等式ax2+bx-1≥0的解集為x-≤x≤-,
∴-和-為方程ax2+bx-1=0的兩個實數根,且a<0,
根據韋達定理得-×-=,解得a=-6.
3.不等式x(2-x)>3的解集是　　　　.
【答案】
【解析】將不等式化為標準形式得x2-2x+3<0,因為對應方程的判別式Δ<0,所以不等式x(2-x)>3的解集為 .
4.解關于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
【解析】方程x2+(1-a)x-a=0的解為x1=-1,x2=a,函數y=x2+(1-a)x-a的圖象開口向上.
當a<-1時,原不等式的解集為{x|a當a=-1時,原不等式的解集為 ;
當a>-1時,原不等式的解集為{x|-12

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