資源簡介

2.3.1 課時2 一元二次不等式及其解法(二)
【學習目標】
1.會解簡單的分式不等式.(數學運算)
2.會求解方程根的存在性問題和不等式恒成立問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.如何判斷二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的位置關系
2.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集為R,則實數a應滿足什么條件
3.不等式 <0與(x-3)(x+2)<0的解集相同嗎
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)不等式>1的解集是{x|x<1}. (　　)
(2)若a<0,則關于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0有解的充要條件是Δ=b2-4ac≥0. (　　)
2.不等式≥0的解集為　　　　.
3.已知不等式x2+x+k>0恒成立,則實數k的取值范圍為　　　　.
【合作探究】
探究1：分式不等式的解法
情境設置
問題1:已知函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標分別是2,3,則不等式x2+bx+c≥0的解集是什么
問題2:>0與(x-3)(x+2)>0等價嗎 將>0變形為(x-3)(x+2)>0,有什么好處
新知生成
1.解分式不等式時,要注意先移項,使右邊化為零,再注意含等號的分式不等式的分母不為零.
2.分式不等式的4種形式及解題思路
令y1=a1x+b1,y2=a2x+b2,
(1)>0 y1y2>0;
(2)<0 y1y2<0;
(3)≥0 y1y2≥0且y2≠0 y1y2>0或y1=0;
(4)≤0 y1y2≤0且y2≠0 y1y2<0或y1=0.
3.不等式與不等式組的等價關系
(1)y1y2≥0 或
(2)y1y2≤0 或
(3)y1y2>0 或
(4)y1y2<0 或
新知運用
例1　解下列不等式:
(1)<0;(2)≤1.
方法指導　將分式不等式轉化為一元二次不等式求解.
【方法總結】1.對于比較簡單的分式不等式,可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解,但要注意分母不為零.
2.對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式,先移項再通分(不要去分母),使之轉化為不等號右邊為零的不等式,然后用上述方法求解.
鞏固訓練
　　解下列不等式:
(1)≥0;(2)<3.
探究2：不等式恒成立問題
情境設置
問題1:若一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R,則二次函數y=ax2+bx+c的圖象是怎樣的
問題2:若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集為R,則a,b,c應滿足什么關系
新知生成
一般地,“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的幾何意義是函數y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的圖象全部在x軸上方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集.
令y=ax2+bx+c,恒成立的不等式問題通常轉化為函數的最值問題,即k≥y恒成立 k≥ymax;k≤y恒成立 k≤ymin.
新知運用
例2　對于一切實數x,mx2-mx-1<0恒成立,求實數m的取值范圍.
方法指導　分類討論,聯想二次函數的圖象進行求解.
【方法總結】對于含參數的二次函數在給定范圍內的函數值恒大(小)于或等于零的問題,可以利用函數的圖象與性質求解,也可以分離變量,轉化為二次函數的最值問題求解.
鞏固訓練
　　已知不等式x2+2x+a2-3>0的解集為R,求實數a的取值范圍.
探究3：一元二次不等式在給定區間上的恒(能)成立問題
例3　(1)當1≤x≤2時,不等式x2+mx+4<0恒成立,求實數m的取值范圍.
(2)當10有解,求實數m的取值范圍.
【方法總結】結合函數的圖象將問題轉化為函數圖象的對稱軸,端點的函數值或函數圖象的位置(相對于x軸)關系求解.也可結合相應一元二次方程根的分布解決問題.
鞏固訓練
已知函數y=x2+mx-1.
(1)若對于任意的x∈[m,m+1],都有y<0成立,求實數m的取值范圍;
(2)若關于x的不等式x2+mx-1≤有解,求實數m的取值范圍.
【隨堂檢測】
1.不等式<0的解集為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-21}
2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,則A∩B=(　　).
A.{x|-1≤x<0}　　　　　 B.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1}
3.設x2-2x+a-8≤0對于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　.
4.若ax2+2x+2>0對一切x∈R恒成立,求實數a的取值范圍.
22.3.1 課時2 一元二次不等式及其解法(二)
【學習目標】
1.會解簡單的分式不等式.(數學運算)
2.會求解方程根的存在性問題和不等式恒成立問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
預學憶思
1.如何判斷二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的位置關系
【答案】二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的相關位置,分為三種情況,這可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4ac的三種取值情況來確定.當Δ>0時,二次函數圖象與x軸有兩個交點;當Δ=0時,二次函數圖象與x軸有一個交點;當Δ<0時,二次函數圖象與x軸無交點.
2.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集為R,則實數a應滿足什么條件
【答案】結合二次函數圖象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集為R,則解得a∈ ,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集為R.
3.不等式 <0與(x-3)(x+2)<0的解集相同嗎
【答案】相同.
自學檢測
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)不等式>1的解集是{x|x<1}. (　　)
(2)若a<0,則關于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0有解的充要條件是Δ=b2-4ac≥0. (　　)
【答案】 (1)×　(2)√
2.不等式≥0的解集為　　　　.
【答案】{x|-1≤x<1}
【解析】≥0 解得-1≤x<1.
3.已知不等式x2+x+k>0恒成立,則實數k的取值范圍為　　　　.
【答案】kk>
【解析】由題意知Δ<0,即1-4k<0,
得k>,即實數k的取值范圍為kk>.
【合作探究】
探究1：分式不等式的解法
情境設置
問題1:已知函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標分別是2,3,則不等式x2+bx+c≥0的解集是什么
【答案】不等式x2+bx+c≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}.
問題2:>0與(x-3)(x+2)>0等價嗎 將>0變形為(x-3)(x+2)>0,有什么好處
【答案】等價,好處是將不熟悉的分式不等式化為已經熟悉的一元二次不等式.
新知生成
1.解分式不等式時,要注意先移項,使右邊化為零,再注意含等號的分式不等式的分母不為零.
2.分式不等式的4種形式及解題思路
令y1=a1x+b1,y2=a2x+b2,
(1)>0 y1y2>0;
(2)<0 y1y2<0;
(3)≥0 y1y2≥0且y2≠0 y1y2>0或y1=0;
(4)≤0 y1y2≤0且y2≠0 y1y2<0或y1=0.
3.不等式與不等式組的等價關系
(1)y1y2≥0 或
(2)y1y2≤0 或
(3)y1y2>0 或
(4)y1y2<0 或
新知運用
例1　解下列不等式:
(1)<0;(2)≤1.
方法指導　將分式不等式轉化為一元二次不等式求解.
【解析】(1)<0 (2x-5)(x+4)<0 -4∴原不等式的解集為.
(2)∵≤1,∴-1≤0,
∴≤0,即≥0.
此不等式等價于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,
　　∴原不等式的解集為.
【方法總結】1.對于比較簡單的分式不等式,可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解,但要注意分母不為零.
2.對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式,先移項再通分(不要去分母),使之轉化為不等號右邊為零的不等式,然后用上述方法求解.
鞏固訓練
　　解下列不等式:
(1)≥0;(2)<3.
【解析】(1)根據商的符號法則,不等式≥0可轉化成不等式組解得x≤-1或x>3.
故原不等式的解集為{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式<3可改寫為-3<0,即<0.
可將這個不等式轉化成2(x-1)(x+1)<0,
解得-1所以原不等式的解集為{x|-1探究2：不等式恒成立問題
情境設置
問題1:若一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R,則二次函數y=ax2+bx+c的圖象是怎樣的
【答案】二次函數y=ax2+bx+c的圖象有兩種情況,如圖所示.
問題2:若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集為R,則a,b,c應滿足什么關系
【答案】a<0且Δ=b2-4ac≤0.
新知生成
一般地,“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的幾何意義是函數y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的圖象全部在x軸上方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集.
令y=ax2+bx+c,恒成立的不等式問題通常轉化為函數的最值問題,即k≥y恒成立 k≥ymax;k≤y恒成立 k≤ymin.
新知運用
例2　對于一切實數x,mx2-mx-1<0恒成立,求實數m的取值范圍.
方法指導　分類討論,聯想二次函數的圖象進行求解.
【解析】 已知mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,顯然-1<0,滿足題意;
若m≠0,則即-4綜上所述,實數m的取值范圍為-4【方法總結】對于含參數的二次函數在給定范圍內的函數值恒大(小)于或等于零的問題,可以利用函數的圖象與性質求解,也可以分離變量,轉化為二次函數的最值問題求解.
鞏固訓練
　　已知不等式x2+2x+a2-3>0的解集為R,求實數a的取值范圍.
【解析】(法一)∵不等式x2+2x+a2-3>0的解集為R,
∴函數y=x2+2x+a2-3的圖象應在x軸上方,
∴Δ=4-4(a2-3)<0,
解得a>2或a<-2.
(法二)由x2+2x+a2-3>0,得a2>-x2-2x+3,
即a2>-(x+1)2+4,要使該不等式在R上恒成立,必須使a2大于-(x+1)2+4的最大值,即a2>4,故a>2或a<-2.
探究3：一元二次不等式在給定區間上的恒(能)成立問題
例3　(1)當1≤x≤2時,不等式x2+mx+4<0恒成立,求實數m的取值范圍.
(2)當10有解,求實數m的取值范圍.
【解析】(1)令y=x2+mx+4.∵當1≤x≤2時,y<0恒成立,
∴x2+mx+4=0的根一個小于1,另一個大于2.
如圖,得
解得m<-5,故實數m的取值范圍是(-∞,-5).
(2)(法一)當10有解的反面為
當1∴解得m≤-5.
∴當10有解的m的取值范圍為(-5,+∞).
(法二)此題也可轉化為mx>-x2-4,即m>-x-=-x+在1即 x∈(1,2),使m>-x+成立.
令y=-x+,只需求y在(1,2)上的最小值即可,
顯然x=1時,ymin=-5,∴m>-5,
即實數m的取值范圍為(-5,+∞).
【方法總結】結合函數的圖象將問題轉化為函數圖象的對稱軸,端點的函數值或函數圖象的位置(相對于x軸)關系求解.也可結合相應一元二次方程根的分布解決問題.
鞏固訓練
已知函數y=x2+mx-1.
(1)若對于任意的x∈[m,m+1],都有y<0成立,求實數m的取值范圍;
(2)若關于x的不等式x2+mx-1≤有解,求實數m的取值范圍.
【解析】(1)由題意得即解得-所以實數m的取值范圍是-,0.
(2)(法一)由題意得≥(x2+mx-1)min=-2+m--1=--1,解得m≤-4或m≥-1,所以實數m的取值范圍是(-∞,-4]∪[-1,+∞).
(法二)由題意得x2+mx-1-≤0有解,所以Δ≥0,即m2+5m+4≥0,解得m≤-4或m≥-1,所以實數m的取值范圍是(-∞,-4]∪[-1,+∞).
【隨堂檢測】
1.不等式<0的解集為(　　).
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-21}
【答案】C
【解析】由題可得(x-1)(x+2)<0,解得-22.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,則A∩B=(　　).
A.{x|-1≤x<0}　　　　　 B.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1}
【答案】B
【解析】由題意得A={x|-1≤x≤1},B={x|0∴A∩B={x|03.設x2-2x+a-8≤0對于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　.
【答案】{a|a≤5}
【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0轉化為a≤-x2+2x+8對任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立,設y=-x2+2x+8,易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值為5,所以a≤5.
4.若ax2+2x+2>0對一切x∈R恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】若a=0,顯然2x+2>0不能對一切x∈R都成立.
所以a≠0,故只有當二次函數y=ax2+2x+2的圖象與x軸無交點且開口向上時,才滿足題意,則解得a>.
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