資源簡介

2.3.2　一元二次不等式的應用
【學習目標】
1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程,理解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.(數(shù)學建模)
2.能使用分離參數(shù)法、主參換位法和數(shù)形結合法解決“不等式恒成立、能成立”的問題.(數(shù)學運算)
【合作探究】
探究1：一元二次不等式的實際應用
例1　某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個,出廠價為60元/個,日銷售量為1000個.為適應市場需求,計劃提高蛋糕檔次,適度增加成本.若每個蛋糕成本增加的百分率為x(0(1)為使日利潤有所增加,求x的取值范圍;
(2)當每個蛋糕成本增加的百分率為多少時,日利潤最大,并求出最大日利潤.
【解析】(1)由題意知,日利潤為y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]×1000(1+0.8x)=2000(-4x2+3x+10)(0若要日利潤有所增加,則y-(60-40)×1000>0,
即-4x2+3x>0,解得0(2)由(1)知日利潤為y=2000(-4x2+3x+10)=2000-4x-2+=-8000x-2+21125,
當x=時,日利潤最大,最大日利潤是21125元.
【方法總結】一元二次不等式應用題常以二次函數(shù)為模型,解題時要弄清題意,準確找出其中的不等關系,再利用一元二次不等式求解,確定答案時應注意變量具有的“實際含義”.
鞏固訓練
設某企業(yè)每月生產(chǎn)電機x臺,根據(jù)企業(yè)月度報表數(shù)據(jù),每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關系:m=x-,n=-x2+5x+.當m-n≥0時,該企業(yè)稱為不虧損企業(yè);當m-n<0時,該企業(yè)稱為虧損企業(yè),且n-m為虧損額.
(1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè),每月至少要生產(chǎn)多少臺電機
(2)當月總產(chǎn)值為多少時,企業(yè)虧損最嚴重,最大虧損額為多少
【解析】(1)依題意,m-n≥0,即x-≥-x2+5x+,
整理得x2-2x-8≥0,解得x≥4或x≤-2(舍去),
∴企業(yè)要成為不虧損企業(yè),每月至少要生產(chǎn)4臺電機.
(2)由(1)可知當0虧損額n-m=-x2+5x+-x-=-(x-1)2+,
∴當x=1時,n-m取最大值,最大值為,
此時m=×1-=,
即當月總產(chǎn)值為萬元時,企業(yè)虧損最嚴重,最大虧損額為萬元.
探究2：一元二次不等式與基本不等式的實際應用
例2　某企業(yè)有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元,為了增加企業(yè)競爭力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結構,從原有的員工中調整出x(x∈N+)名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為10(a-0.8x%)萬元(a>0),剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.4x%.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則最多調整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)
(2)在保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下,若要求調整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,則a的取值范圍是多少
【解析】(1)由題意,得10(1000-x)(1+0.4x%)≥10×1000,
即x2-750x≤0,又x>0,所以0即最多調整出750名員工從事第三產(chǎn)業(yè).
(2)從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年利潤為10a-x萬元,
從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為10(1000-x)1+x萬元,
則10a-x≤10(1000-x)1+x,
所以ax-≤1000+4x-x-x2,
所以ax≤+1000+3x,
即a≤++3在x∈(0,750]時恒成立.
因為+≥2=2=4,當且僅當=,即x=500時等號成立,所以a≤7.
又a>0,所以0　　所以a的取值范圍為(0,7].
鞏固訓練
共享單車給市民出行帶來了諸多便利,某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用.據(jù)市場分析,每輛單車的營運累計利潤y(單位:元)與營運天數(shù)x(x∈N+)滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=-x2+60x-800.
(1)要使每輛單車的營運累計利潤高于800元,則營運天數(shù)的取值范圍是多少
(2)每輛單車營運多少天時,每天的平均營運利潤的值最大
【解析】(1)要使每輛單車的營運累計收入高于800元,令-x2+60x-800>800,解得40所以營運天數(shù)的取值范圍為40天到80天.
(2)=-x-+60≤-2+60=-2+60=20,
當且僅當x=時等號成立,解得x=40,
所以每輛單車營運40天時,每天的平均營運利潤最大,最大為每天20元.
【隨堂檢測】
1.一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線,這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x(輛)與創(chuàng)造的價值y(元)之間有如下的關系:y=-2x2+220x.若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上,則它在一個星期內大約應該生產(chǎn)的摩托車數(shù)量為　　　　.
【答案】51輛到59輛之間
【解析】由題意得-2x2+220x>6000,
即x2-110x+3000<0,因為Δ=100>0,所以方程x2-110x+3000=0有x1=50,x2=60兩個實數(shù)根,
所以不等式的解為50因為x只能取整數(shù),所以當這條摩托車整車裝配流水線在一星期內生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51輛到59輛之間時,這家工廠能夠獲得6000元以上的收益.
2.某種襯衫進貨價為每件30元,若以40元一件出售,則每天能賣出40件;若每件提價1元,則每天賣出的件數(shù)將減少1件.為使每天出售襯衫的凈收入不低于525元,則每件襯衫的售價的取值范圍是　　　　.(結果用區(qū)間表示)
【答案】[45,65]
【解析】設每件襯衫提價x元,則每件襯衫的售價為(40+x)元,
故每天出售襯衫的凈收入為y=(40+x-30)(40-x)=-(x-15)2+625.
由題可知,-(x-15)2+625≥525,整理得(x-25)(x-5)≤0,解得5≤x≤25,
∴45≤40+x≤65,
∴每件襯衫的售價的取值范圍是[45,65].
3.為振興鄉(xiāng)村發(fā)展,提高農(nóng)民收入,政府現(xiàn)將無息貸款10萬元給農(nóng)戶養(yǎng)羊,每萬元可創(chuàng)造利潤0.15萬元.若進行技術指導,養(yǎng)羊的投資減少了x(x>0)萬元,且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼?1+0.25x)倍.現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的x萬元全部投資網(wǎng)店,進行農(nóng)產(chǎn)品銷售,則每萬元創(chuàng)造的利潤為0.15(a-0.875x)萬元,其中a>0.
(1)若進行技術指導后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤,求x的取值范圍;
(2)若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術指導后養(yǎng)羊的利潤,求a的最大值.
【解析】(1)由題意,得0.15(1+0.25x)(10-x)≥0.15×10,
整理得x2-6x≤0,解得0≤x≤6,又x>0,故x的取值范圍是(0,6].
(2)由題意知網(wǎng)店銷售的利潤為0.15(a-0.875x)x萬元,
技術指導后,養(yǎng)羊的利潤為0.15(1+0.25x)(10-x)萬元,
則0.15(a-0.875x)x≤0.15(1+0.25x)(10-x)恒成立,
又0又+≥2=5,當且僅當x=4時等號成立,
∴022.3.2　一元二次不等式的應用
【學習目標】
1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程,理解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.(數(shù)學建模)
2.能使用分離參數(shù)法、主參換位法和數(shù)形結合法解決“不等式恒成立、能成立”的問題.(數(shù)學運算)
【合作探究】
探究1：一元二次不等式的實際應用
例1　某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個,出廠價為60元/個,日銷售量為1000個.為適應市場需求,計劃提高蛋糕檔次,適度增加成本.若每個蛋糕成本增加的百分率為x(0(1)為使日利潤有所增加,求x的取值范圍;
(2)當每個蛋糕成本增加的百分率為多少時,日利潤最大,并求出最大日利潤.
【方法總結】一元二次不等式應用題常以二次函數(shù)為模型,解題時要弄清題意,準確找出其中的不等關系,再利用一元二次不等式求解,確定答案時應注意變量具有的“實際含義”.
鞏固訓練
設某企業(yè)每月生產(chǎn)電機x臺,根據(jù)企業(yè)月度報表數(shù)據(jù),每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關系:m=x-,n=-x2+5x+.當m-n≥0時,該企業(yè)稱為不虧損企業(yè);當m-n<0時,該企業(yè)稱為虧損企業(yè),且n-m為虧損額.
(1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè),每月至少要生產(chǎn)多少臺電機
(2)當月總產(chǎn)值為多少時,企業(yè)虧損最嚴重,最大虧損額為多少
探究2：一元二次不等式與基本不等式的實際應用
例2　某企業(yè)有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元,為了增加企業(yè)競爭力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結構,從原有的員工中調整出x(x∈N+)名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為10(a-0.8x%)萬元(a>0),剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.4x%.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則最多調整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)
(2)在保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤條件下,若要求調整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,則a的取值范圍是多少
鞏固訓練
共享單車給市民出行帶來了諸多便利,某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用.據(jù)市場分析,每輛單車的營運累計利潤y(單位:元)與營運天數(shù)x(x∈N+)滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=-x2+60x-800.
(1)要使每輛單車的營運累計利潤高于800元,則營運天數(shù)的取值范圍是多少
(2)每輛單車營運多少天時,每天的平均營運利潤的值最大
【隨堂檢測】
1.一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線,這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x(輛)與創(chuàng)造的價值y(元)之間有如下的關系:y=-2x2+220x.若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上,則它在一個星期內大約應該生產(chǎn)的摩托車數(shù)量為　　　　.
2.某種襯衫進貨價為每件30元,若以40元一件出售,則每天能賣出40件;若每件提價1元,則每天賣出的件數(shù)將減少1件.為使每天出售襯衫的凈收入不低于525元,則每件襯衫的售價的取值范圍是　　　　.(結果用區(qū)間表示)
3.為振興鄉(xiāng)村發(fā)展,提高農(nóng)民收入,政府現(xiàn)將無息貸款10萬元給農(nóng)戶養(yǎng)羊,每萬元可創(chuàng)造利潤0.15萬元.若進行技術指導,養(yǎng)羊的投資減少了x(x>0)萬元,且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼?1+0.25x)倍.現(xiàn)將養(yǎng)羊少投資的x萬元全部投資網(wǎng)店,進行農(nóng)產(chǎn)品銷售,則每萬元創(chuàng)造的利潤為0.15(a-0.875x)萬元,其中a>0.
(1)若進行技術指導后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤,求x的取值范圍;
(2)若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術指導后養(yǎng)羊的利潤,求a的最大值.
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