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第13題 正余弦定理與解三角形小題
（2024·四川瀘州·二模）
的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為＿＿＿＿＿．
由正余弦定理、三角恒等變換→→的最值由基本不等式可得
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由余弦定理得， 兩式相減得， 因為，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 則， 因為在中，不同時為，，故， 所以， 又，所以，則，故，則， 所以 ， 當且僅當，即時，等號成立， 則的最大值為. 故答案為：. 1.利用余弦定理時要注意三個公式之間的聯系，以及公式的變形，例如本題將余弦定理的兩個公式進行作差； 2.利用正弦定理進行邊化角或者角化邊時，要注意等號左右兩邊次數相等，例如，若本題中如果出現如下式子，則不能直接將化成； 3.基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，特別是等號成立的條件，如果不滿足，需要通過其他手段求最值.
三角形中的最值、范圍問題解題策略：
（1）定基本量：根據題中條件，利用正余弦定理求出相關邊、角，選擇邊、角作為基本量，并確定基本量的范圍；
（2）構建函數：根據正余弦定理或者三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數形式；
（3）求最值：利用基本不等式或函數的單調性求函數的最值.
（2024·山東菏澤·一模）
1．四邊形ABCD中，，，，設△ABD與△BCD的面積分別為，，則的最大值為 .
（2024·寧夏·一模）
在中，，，點D與點B分別在直線AC的兩側，且，，則BD的長度的最大值是＿＿＿＿＿．
判斷為直角三角形，設，→由正余弦定理確定與之間的數量關系→在中，利用余弦定理→輔助角公式得BD范圍.
詳解 模板總結
如圖，在中，由正弦定理： 可得：，因，則，即. 設，則， 在中，設， 由正弦定理，，則得：， 由余弦定理可得：，即. 在中，由余弦定理，， 因，則，則當時，即時，，此時. 故答案為：. 1.在三角形中，條件為邊角混合結構，并且不容易直接找出邊角關系時，可以同時設邊和角，利用正余弦定理將邊角化一； 2.利用輔助角公式化成同名三角函數解題，要明確變量的范圍，避免出錯.
思路點睛：本題主要考查利用正、余弦定理求邊長的最大值問題，解決此類題型的思路就是，要善于在圖形中選設與已知條件和所求結論都相關的角，借助于正、余弦定理將所求量表示成關于角的三角函數式，最后根據三角函數的值域求得最值.
（2024·安徽黃山·一模）
2．記的內角的對邊分別為，其外接圓半徑為，且，則角大小為 ，若點在邊上，，則的面積為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】根據正弦定理得，再結合余弦定理及基本不等式得，得，設，由，可求得，從而可求解.
【詳解】因為，由正弦定理得，
所以，即，因為，所以，，，
所以，，
由余弦定理得，所以，當時取等號，
所以，
設，則，在中由余弦定理得
，
所以，
當時，取得最大值，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值.
2．
【分析】化簡得，解得，得角大小；由外接圓半徑，求，，兩邊同時平方，結合余弦定理，求出，面積公式求的面積.
【詳解】中，，
即，得，解得，（舍），
由，得.
的外接圓半徑為，則，解得，
由余弦定理，，得，
點在邊上，，
則，
有，
得，
即，
由，解得，
所以的面積為.
【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現“邊化角”，二是利用余弦定理實現“角化邊”；求三角形面積的也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用公式求解，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求解.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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