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第7題 導數(shù)壓軸小題
（2024·浙江臺州·模擬預測）
已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是 .
由題意→參變分離可得有解→根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，令，→利用導數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.
詳解 模板總結(jié)
【詳解】由得，顯然，所以有解， 令，則， 令，則，所以當時，當時， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以，即， 所以，則，即的最小值是. 故答案為： 1. 參變分離可得（求參數(shù)的范圍，參變分離法是最常用的思路，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）值問題） 2.式子里同時含有指對數(shù)函數(shù)的題目通常用同構(gòu)的思想進行構(gòu)造，整體換元.
1.關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出.
2.對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
（2024·山東菏澤·一模）
1．關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為 ．
（2024·浙江·一模）
已知曲線，直線，若對任意，直線始終在曲線下方，則實數(shù)的取值范圍為 ．
由題意→將原問題轉(zhuǎn)換為恒成立→轉(zhuǎn)換主元，令→得對任意，恒成立→即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.
詳解 模板總結(jié)
【詳解】由題意，有恒成立，不妨設(shè)（先固定）， 即恒成立， 則，令得， 當時，，單調(diào)遞減； 當時，，單調(diào)遞增； 所以， 即，由于這里且任意， 即對任意，恒成立， 所以設(shè)，， 令得， 當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增； 所以，所以， 綜上所述，實數(shù)的取值范圍為. 故答案為：. 1. 雙變量問題中，確定主元是一種常見的處理辦法；（對于雙變量問題的處理→減元，方法有：①確定主元，②整體換元，③變量分離） 2. 參變分離可得，利用導數(shù)求的最小值. （求參數(shù)的范圍，參變分離法是最常用的思路，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）值問題）
解題關(guān)鍵點：本題的雙變量恒成立問題解題的鑰匙是轉(zhuǎn)換主元，首先固定，通過導數(shù)將原問題轉(zhuǎn)換為對任意，恒成立，由此即可順利得解.
（2024·陜西·一模）
2．已知函數(shù)，對于，不等式恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】由，得，利用導數(shù)證明，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即可得解.
【詳解】令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
則，所以，
若，
如圖作出函數(shù)的圖象，

由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實數(shù)根，
即，
由，得，
即，
當時，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即當時，不恒成立，
綜上所述，的最小值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2．C
【分析】設(shè)，求出導數(shù)后可設(shè)，再求新函數(shù)的導數(shù)，就、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，
故，設(shè)，
則，
令，則，
故在上為減函數(shù)，故，
當時，，故，
故在上為減函數(shù)，故，
所以，故在上為減函數(shù)，
故即.
若，則，，
故存在，使得，且，，
所以，，故在為增函數(shù)，故.
所以，，故在為增函數(shù)，故.
這與題設(shè)矛盾.
綜上，.
故選：C
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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