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壓軸小題11 函數的公切線問題（一題多變）
【湖南省長沙市第一中學2024屆高三上學期月考（三）數學試題】
1．已知函數，若存在直線，使得是曲線與曲線的公切線，則實數的取值可能是（ ）
A． B． C．2 D．3
【變化角度】將求參數的范圍變為求公切線方程，如：（2023·浙江·一模）已知函數，，寫出斜率大于且與函數，的圖象均相切的直線的方程： .
【思路分析】公切線問題，求導，再利用斜率相等即可解題.
【詳解】∵，，
∴，，
設相切的直線與函數，的圖象的切點分別為，，
且，
∴，且，
解得，
∴兩切點分別為，，
∴與函數，的圖象均相切的直線的方程為：.
故答案為：.
【舉一反三】
（22-23高二下·安徽六安·期中）
2．設直線l是函數，和函數的公切線，則l的方程是 ．
（2018·山東日照·一模）
3．已知（e為自然對數的底數），，直線l是的公切線，則直線l的方程為
A． B．
C． D．
【變換角度】將求參數的范圍變為求公切線的條數，如：（2023·廣東·模擬預測）曲線與的公共切線的條數為 .
【思路分析】設公切線關于兩函數圖像的切點為，則公切線方程為：
，則
，則公切線條數為零點個數.
【詳解】
設公切線關于兩函數圖像的切點為，則公切線方程為：
，則，
注意到，，則由，可得
.
則公切線條數為方程的根的個數，
即函數的零點個數.
，令，則，
得在上單調遞增.因，
則，使得.則在上單調遞減，在上單調遞增，
故，
又注意到，
，則，
使得，得有2個零點，即公共切線的條數為2.
故答案為：2
【舉一反三】
（22-23高三上·江蘇·階段練習）
4．若直線與曲線和曲線都相切，則直線的條數有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．無數條
（2018·江西南昌·一模）
5．已知函數，則和的公切線的條數為
A．三條 B．二條 C．一條 D．0條
（19-20高二下·內蒙古呼和浩特·階段練習）
6．曲線：與曲線：公切線的條數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（14-15高三·江蘇·階段練習）
7．曲線與曲線公切線（切線相同）的條數為 ．
（江蘇省無錫市四校2022-2023學年高二下學期期中聯考數學試題）
8．若二次函數的圖象與曲線存在公切線，則實數的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·四川遂寧·階段練習）
9．若函數與函數的圖象存在公切線，則實數的取值范圍為 ．
（23-24高二上·重慶·期末）
10．若函數與函數的圖象存在公切線，則實數t的取值范圍為 .
（2020屆山西省太原市第五中學校高三上學期9月階段性檢測數學（理）試題）
11．已知函數，（）
（1）試判斷與的大小關系;
（2）試判斷曲線和是否存在公切線，若存在，求出公切線方程，若不存在，說明理由.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ACD
【分析】
分別設出直線與兩曲線的切點坐標，，利用導數的幾何意義求出切線方程，根據題意得到，記，分類討論a與1的大小關系，利用導數與函數的單調性結合零點存在性定理分析求解.
【詳解】設直線為曲線在點處的切線，，
所以，即；
設直線為曲線在點處的切線，，
所以，即；
由題意知，因為，可知，
由可得，
將其代入可得：，
令，則在上有零點，
令，則，
令，解得；令，解得；
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
且，
當時，，故在上恒有零點，從而恒成立；
當時，，無零點，不成立；
當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
且當時，，
則，解得；
綜上所述：實數的取值范圍是.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：求曲線的切線問題主要分兩大類：
一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數與導函數中求出切點和斜率即可；
另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標，利用導數表示切線的斜率以及切線方程，根據所過的點求切點，得出切線方程.
2．
【分析】
根據導數幾何意義和斜率的比值定義式，以及導數確定函數的單調性即可求解.
【詳解】設直線l與函數的切點為A，
直線l與函數的切點為B，
，所以，
，所以，
所以，
后面等式整理得，
代入前面等式整理得，
化簡得，
令，
因為，
所以，
所以，
令，
所以，
容易知道，為減函數，
，
所以恒成立，
所以單調遞增，
所以最多一個零點，
容易知道，
所以只有一個解，
故，
所以A點坐標為，
切線斜率為，
所以切線方程為，
即.
故答案為：.
【點睛】雙切點聯立方程，結合導數幾何意義，構造函數是關鍵.
3．C
【分析】設直線與的切點為，與的切點為，根據公切線可得的方程組，解出可得公切線方程.
【詳解】設直線與的切點為，與的切點為，則，消去得到，
故或者，
所以切線方程為：或，故選C.
【點睛】解決曲線的切線問題，核心是設出切點的橫坐標，因為函數在橫坐標處的導數就是切線的斜率.
4．B
【分析】
根據兩函數解析式，在同一坐標系下畫出函數圖象，對兩曲線進行求導，利用導函數的幾何意義求出斜率的表達式，再根據三角函數和指數函數的值域，即可求出公切線與兩曲線的切點位置，進而確定公切線的條數.
【詳解】如圖所示
設直線與曲線的切點為，與曲線的切點為，直線的斜率；
所以，，即在點處的斜率為，
，即在點處的斜率為，
得；
又因為，所以斜率
由得，或；
由得，；
因此，存在，和，使得，
即此時直線即為兩條曲線的公切線；
同時，存在，和，使得，且；
所以，直線即為異于直線的第二條曲線的公切線；
綜上可知，直線的條數有2條.
故選：B.
5．A
【分析】分別設出兩條曲線的切點坐標，根據斜率相等得到方程，構造函數，研究方程的根的個數，即可得到切線的條數.
【詳解】設公切線與和分別相切于點，，解得，代入化簡得，構造函數，原函數在，極大值
故函數和x軸有交3個點，方程有三解，故切線有3條.
故選A.
【點睛】這個題目考查了利用導數求函數在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數求導，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標；三，利用點斜式寫出直線方程.考查了函數零點個數問題，即轉化為函數圖像和x軸的交點問題.
6．C
【解析】設公切線與的切點為，公切線與的 切點為，利用導數的幾何意義分別得出在切點，處的切線方程，由得到，構造函數，利用導數得出方程的根的個數，即可得出結論.
【詳解】設公切線與的切點為，公切線與的 切點為
的導數為；的導數為
則在切點處的切線方程為，即
則在切點處的切線方程為，即
，整理得到
令，則
；
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增
即函數與的圖象，如下圖所示
由圖可知，函數與有兩個交點，則方程有兩個不等正根，即曲線：與曲線：公切線的條數有2條
故選：C
【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義的應用，屬于較難題.
7．1
【分析】由已知，分別根據兩函數的解析式，設出切點寫出共切線方程，然后利用待定系數法找到與之間的關系，消掉得到一個關于的函數關系，然后設出函數，利用導數研究函數的單調性和零點即可完成求解.
【詳解】由已知，的導數為，的導數為，
設公切線在函數切點為（），函數的切點為，
則切線為，，兩切線相同，
則有，消去，整理得，
記，則，
當時，，遞減，
且，，
因此在上只有一解，即方程只有一解，
因此所求公切線只有一條．
故答案為：1.
8．AC
【分析】設公切線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，寫出切線方程并聯立，得出，設函數，利用導數求的取值范圍，即的取值范圍，再判斷各選項.
【詳解】由得；
由得.
設公切線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，
所以，即，
可得或，
因為，，則，即，
，，
令，，
可得，
由，得；由，得；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以實數的取值范圍.
因為，，，，即，，則，則AC正確.
故選：AC.
9．
【分析】設切點為，求導計算得到切線方程，與二次函數聯立，計算得到，構造，求導得到函數的單調區間，計算最值得到，解不等式得到范圍.
【詳解】，可得，
設切點為，則，
則公切線方程為，即，
，則，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函數在上單調遞增，
且，
當時，，即，此時函數單調遞減，
當時，，即，此時函數單調遞增，
所以，且當趨近于時，趨近正無窮，
所以函數的值域為，
所以且，解得，即實數的取值范圍為．
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數解決公切線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將公切線問題根據轉化為函數的最值問題是解題的關鍵，構造新函數是常用的方法，需要熟練掌握.
10．
【分析】
求出函數的導數，設出曲線與公切線的坐標，利用導數的幾何意義求得兩切點坐標之間的關系式，進而求出t的表達式，構造函數，利用導數求其最值，即可求得答案.
【詳解】由題意得，，
設公切線與曲線切于點，與曲線切于點，
則，則，，
當時，，函數與的圖象存在公切線，符合題意；
當時，，即，
故，
令，則，
當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，
故，故，
綜合得實數t的取值范圍為，
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：解答時要設出曲線與公切線的切點，利用導數的幾何意義，求得切點坐標之間關系，關鍵在于由此結合該關系求得參數t的表達式，進而構造函數，利用導數解決問題.
11．（1） （2）不存在，理由見解析
【分析】（1）構造函數,求得導函數,并令,利用導函數符號可判斷函數的單調性,求得最小值,即可比較大小.
（2）假設存在公切線,并分別設出兩個切點坐標.表示出切線方程,聯立后構造函數.求得導函數,即可利用導函數符號判斷函數單調性,求得最小值.判斷出相應的方程無解,即可知兩個曲線不存在公切線.
【詳解】（1）設,則
令,解得,
當時,,當時,
所以在區間單調遞減,在區間單調遞增,
則在時取得最小值,為,
,
即
（2）假設曲線與有公切線,切點分別為和
因為,,所以分別以和為切線的切線方程為,
令即.
令,
所以令得.
顯然,當時,,當時,,
所以,
所以方程無解
∴曲線和不存在公切線
【點睛】本題考查了導函數在判斷函數單調性與最值中的應用,通過構造函數法研究函數的單調性與最值,函數公切線的判斷方法,屬于難題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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