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壓軸小題13 函數奇偶性與零點的結合
【天津市南開區2023-2024學年高三下學期質量監測（一） T15】
已知函數分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為______
先根據奇函數和偶函數的定義求得表達式，原題轉化為有唯一零點，通過偶函數性質可以判斷零點位于原點處，代入求得參數的值，并逐一檢驗充分性即可.
解：由已知即
由①＋②得．
由已知有唯一零點．
注意到是偶函數．
∴，或
①當時，
當且僅當時，等號成立，此時有唯一零點．
②當時，．
若，則函數單調遞增．
∴，當且僅當時，等號成立
此時，有唯一零點
綜上，或．
1．已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知函數有唯一零點，則實數（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知函數有唯一零點，則（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函數分別是定義在上的偶函數和奇函數，且滿足，若函數有唯一零點，則實數的值為 .
5．函數，分別為上的偶函數和奇函數，（且），若，函數有唯一零點，則實數的值可以為（ ）
A． B． C．1 D．
先根據奇函數和偶函數的定義求得表達式，根據函數對稱性，參變分離后轉化為圖象交點問題，找出零點并代入即可.
解：設
設 偶－偶＝偶
關于對稱，關于對稱
有唯一零點，即有唯一解
即與有唯一交點
當且僅當時，與有唯一交點
6．已知，是函數的兩個零點，則（ ）
A．1 B．e C． D．
先根據奇函數和偶函數的定義求得表達式，對參數分類討論并結合導數與函數單調性、最值的關系求解答案即可.
①當時，，不符合題意
②當時時，，
時，
∵為偶函數，∴在上單調遞減
③當時時，，
，時，
由②③可知中，有唯一零點充分條件時，即
或．
7．若關于的方程恰有四個不同的實數解，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數有兩個零點，則的最小整數值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．已知函數，分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為（ ）
A．或 B．1或 C．或 D．或1
10．存在實數使得函數有唯一零點，則實數可以取值為（ ）
A． B． C． D．1
11．已知函數有唯一零點，則 ，的解集為 ．
12．已知函數分別是定義在上的偶函數和奇函數，且滿足，若函數有唯一零點，則實數λ的值為 ．
13．已知函數有唯一零點，則實數__________.
14．若函數有唯一零點，則實數的值為 .
15．已知函數，分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且滿足，則函數的解析式為 ；若函數有唯一零點，則實數的值為 ．
16．若函數有且僅有兩個零點，則的取值范圍為 ．
17．若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據題意，利用函數的奇偶性，求出，結合函數的對稱性得出關于對稱，由有唯一零點，可知，即可求.
【詳解】已知，①
且，分別是上的偶函數和奇函數，
則，
得：，②
①+②得：
∴令∵有唯一零點，且是偶函數，
所以，∴
∴或
若時，則
當時，則令解得，∴（不合題意舍去）
若時，則
∵在上單調遞減∴
∵是偶函數∴只有唯一零點0
∴只有唯一零點2023
綜上：.
故選：D.
2．D
【分析】設，由函數奇偶性定義得到為偶函數，所以函數的圖象關于直線對稱，由零點唯一性得到，求出的值.
【詳解】設，定義域為R,
∴，
故函數為偶函數，則函數的圖象關于y軸對稱，
故函數的圖象關于直線對稱，
∵有唯一零點，
∴，即．
故選：D．
3．D
【解析】把函數等價轉化為偶函數，利用偶函數性質，有唯一零點，由得解.
【詳解】因為，
令 則，
因為函數有唯一零點，
所以也有唯一零點，且為偶函數，圖象關于軸對稱，由偶函數對稱性得，所以，解得，
故選：D.
【點睛】本題考查函數零點的情況求參數的值，屬于中檔題.
4．或
【分析】
由已知函數有唯一零點，結合偶函數的性質，證明函數為偶函數，根據條件列方程求λ的值.
【詳解】
因為函數有唯一零點，
所以函數有唯一零點，
因為函數是定義在上的偶函數，所以，
所以，
所以函數為偶函數，又函數有唯一零點，
所以函數的零點為，
所以，
因為函數是定義在上的奇函數，所以，
又由可得，所以，
所以
解得或．
故答案為：或．
5．AB
【分析】利用函數，奇偶性可得，令，
由奇偶性定義可得是偶函數，關于直線對稱，函數有唯一零點，可得，
再由可求得答案.
【詳解】因為函數，分別為上的偶函數和奇函數，
所以函數，，
又，
，
兩式相減，可解得，
令，
，
所以是偶函數，圖象關于軸對稱，
所以關于直線對稱，
，函數有唯一零點，所以，即，
，
又因為，
所以，解得或，
故選：AB.
6．D
【分析】
由題意構造，將原函數的零點問題轉化為的圖象的交點問題，判斷函數的對稱性，即可求得答案.
【詳解】由，可知，
故時，則可得，
而，是函數的兩個零點，
令，則的圖象必有兩交點
且，是兩交點的橫坐標，
由于，即的圖象關于點對稱，
而，即的圖象也關于點對稱，
故的交點關于點對稱，則，
故，
故選：D
【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數的零點問題，解答的關鍵是根據函數特征，構造新函數，將函數的零點問題轉化為函數圖象的交點問題，結合對稱性即可解決.
7．D
【分析】
等價變形給定方程，再分類討論去絕對值符號，并借助函數的單調性求解即得.
【詳解】方程或，
（1）當時，原方程等價于或，令函數，
函數在上遞增，函數值集合為R，在上遞增，函數值集合為R，
①當時，在上遞增，，而，
顯然，則與各有一個實根，
②當時，或在上各有一個實根，
③當時，在，上遞增，顯然與在上各有一個實根，
當時，，而，當且僅當時取等號，
當時，，在上方程有一個實根，無實根，
當且時，，在上方程與均無實根，
因此當，時，方程與各有一個實根，
當，時，方程有兩個實根，有一個實根，
（2）當時，原方程等價于，解方程得或，
顯然當時，原方程在上無實根，當時，原方程在上有一個實根，
當時，原方程在上有兩個實根和1，
綜上，當時，原方程只有兩個實根，當時，原方程有3個實根，當時，原方程有4個實根，
所以實數的取值范圍為.
故選：D
【點睛】
思路點睛：涉及分段函數零點個數求參數范圍問題，可以按各段零點個數和等于總的零點個數分類分段討論解決.
8．C
【分析】對求導，得到，再對進行分類討論，求出函數的單調區間，再結合零點存在性原理即可求出結果.
【詳解】因， 則，
當，，由，得到，只有一個零點，不合題意，
當時，因為恒成立，所以時，，時，，
即在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
又，，取且，則，
又由，得到，所以，此時存在2個零點，
當時，由，得到或，
若，即，當時，，所以在區間上單調遞增，
又當時，，所以不存在2個零點，
若，即，當時，，當，，
所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
又當時，，所以不存在2個零點，
綜上可得，實數，
故選：C.
【點睛】方法點晴：解決函數零點問題的常用思路，①函數零點函數圖像與軸交點的橫坐標對應方程的根；②零點存在性原理；③用導數研究函數的單調性，結合零點存在性原理解決.
9．C
【分析】先根據題意求得函數的解析式，再結合函數的對稱性得到的方程，解方程，即可求得的值，得到答案.
【詳解】由題意，函數，分別是奇函數和偶函數，且，
可得，解得，
則，所以為偶函數，
又由函數關于直線對稱，
且函數有唯一零點，可得，即，
即，解得或.
故選：C.
10．AB
【分析】
轉化為有唯一的解，構造函數，結合基本不等式，得到關于的方程有根，考慮與，結合根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意得，存在實數使得有唯一的解，
令，其中，當且僅當，
即時，等號成立，
故關于的方程有根，
即，當時，，此時，滿足要求，
當時，由得，，
綜上，和滿足要求.
故選：AB
【點睛】
方法點睛：根據函數的零點個數求解參數范圍，一般方法：
（1）轉化為函數最值問題，利用導數解決；
（2）轉化為函數圖像的交點問題，數形結合解決問題；
（3）參變分離法，結合函數最值或范圍解決.
11． 1
【分析】
根據函數特征可知將看成整體，即，再利用換元法根據函數奇偶性和單調性即可求得參數的值，進而解出不等式.
【詳解】令，則，所以為偶函數；
又函數有唯一零點，由對稱性可知，解得；
易知函數的圖象關于對稱，且在上單調遞增，，
則不等式即為，由對稱性可得.
故答案為：1，
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將看成是由和合成的函數，且兩個函數都關于對稱，再利用換元法判斷出函數奇偶性和單調性即可求解.
12．或
【分析】
由已知函數有唯一零點，結合偶函數的性質，證明函數為偶函數，根據條件列方程求λ的值.
【詳解】
因為函數有唯一零點，
所以函數有唯一零點，
因為函數是定義在上的偶函數，所以，
所以，
所以函數為偶函數，又函數有唯一零點，
所以函數的零點為，
所以，
因為函數是定義在上的奇函數，所以，
又由可得，所以，
所以
解得或．
故答案為：或．
13．
【分析】設，則，為偶函數，根據函數的唯一零點得到，解得答案.
【詳解】，
設，則，為偶函數，
函數有唯一零點，故，即.
故答案為：.
14．
【分析】根據偶函數的性質，可得，解得，再對的取值分兩種情況討論得解.
【詳解】因為，又，所以函數為偶函數.
因為函數有一個零點，根據偶函數的性質，可得，所以，解得.
當，此時，知，有零點()，不符合題意：
當，此時在上單調遞增，，根據偶函數對稱性，符合題意；所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵如何檢驗和，用零點存在性定理檢驗，利用函數的單調性檢驗.
15． 或
【分析】把方程中的換成，然后利用奇偶性可得另一方程，聯立可解得；
令，可得為偶函數，
從而可得關于對稱，
由函數有唯一零點，可得，從而可求得的值．
【詳解】解：因為函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，
所以，
因為， ①
所以，
即， ②
①②聯立，可解得．
令，則，
所以為偶函數，
所以關于對稱，
因為有唯一的零點，所以的零點只能為，
即，解得或．
故答案為：；或．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數奇偶性的應用，考查函數的零點，解題的關鍵是令，可得為偶函數，從而可得關于對稱，由函數有唯一零點，可得，從而可求得的值，考查數學轉化思想和計算能力，屬于中檔題
16．
【分析】
根據絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，分類討論，再結合根據根存在的條件即可判斷的取值范圍．
【詳解】
（1）當時，即，
即，
若，則，此時成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時，，此時成立．
（2）當時，即，
即，
若，則，顯然不成立；
若時，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若，則，顯然不成立；
綜上，
當時，零點為，；
當時，零點為，；
當時，只有一個零點；
當時，零點為，；
當時，只有一個零點；
當時，零點為，；
當時，零點為，
所以，當函數有兩個零點時，且．
故答案為：．
17．
【分析】
令，則只有一個零點，即，據此即可求解.
【詳解】
函數的定義域為，令，
則只有一個零點，
且該零點為正數，，
根據函數和的圖象及凹凸性可知，
只需滿足即可，即：，
又因為，所以實數的取值范圍是．
故答案為：.
【點睛】
關鍵點點睛：本題令，則只有一個零點，即的分析.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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