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壓軸小題12 一組不等式的恒成立問題
【2024年3月濟南市高三模擬考試 】
若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
根據(jù)題意直接代入兩個端點求解參數(shù)范圍，再驗證該范圍對題意成立的充分性即可.
解．首先代入邊界條件，
然后相加得．
取等時．如果這是一個大題，下面要驗證充分性：．
首先記，則，故．
再記，則，故．
這樣充分性得證，最小值為．
1．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若在恒成立，求實數(shù)取值的集合.
3．設，函數(shù)的圖象與直線相切，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求實數(shù)的值；
(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
通過化簡將原題轉(zhuǎn)化為直線夾在兩端曲線中間的問題，根據(jù)參數(shù)表示的意義以及圖形的特征求解答案即可.
解：∵，∴．
令，對恒成立
∴在上單調(diào)遞增，
令，對恒成立，∴在上單調(diào)遞增
作出草圖
顯然當直線過和時有a的最小值．
，的最小值為
4．若存在，使得對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．已知關于的不等式對任意恒成立，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的最大值為（ ）
A． B． C．2e D．
根據(jù)選擇題的特征，找出選項中最小的值，直接代入檢驗原題成立即可得到答案！
解：依題意，結(jié)合選項知，當時，
記，則，．
在上單調(diào)遞減，，即．
記，則，在上單調(diào)遞增．
在上單調(diào)遞減．
，因此此時，
滿足題意，選A．
7．已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知在函數(shù)，，若對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
10．設函數(shù)，若對任意，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．已知對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．已知，若關于x的不等式對一切正實數(shù)x恒成立，則當取最小值時，實數(shù)的值為 .
13．已知函數(shù)，若關于x的不等式（e是自然對數(shù)的底數(shù)）在R上恒成立，則a的取值范圍 ．
14．已知，若恒成立，則實數(shù)的值為 .
15．已知對，不等式恒成立，則的最大值是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
根據(jù)題意可得在上恒成立，構建，結(jié)合定點分析運算.
【詳解】因為，則，
由題意可得在上恒成立，
構建，則，
注意到，則，解得，
若，則，
當且僅當，即時，等號成立，
若，因為，則，
可得；
若，因為，則，
可得；
綜上所述：當時，在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，符合題意；
故實數(shù)m的取值范圍為.
故選：D.
【點睛】
方法定睛：兩招破解不等式的恒成立問題
（1）分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
（2）函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；
第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構建不等式求解．
2．(1)答案見解析
(2)
【分析】
（1）直接求導對參數(shù)分類討論即可；
（2）先通過恒成立得到時取到極小值，求出的值，再通過構造新函數(shù)或者再求導驗證取到的值的時候函數(shù)在時取到極小值.
【詳解】（1）
當時，恒成立，此時在單調(diào)遞增；
當時，令，解得，此時單調(diào)遞減，
令，解得，此時單調(diào)遞增，
所以當時在單調(diào)遞增；
當時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
（2）
由題意即在恒成立，
即在時恒成立，
又因為，所以當時，取得最小值.
因為，
則為函數(shù)在的一個極小值點，
所以，即 ，解得.
下面證明：當時，為函數(shù)在的一個極小值點
因為，.
法一：先證明時，
即證，即 ，
令，，
則，
所以當時，，
當時，，
所以恒成立，
從而恒成立，即在上單調(diào)遞增，
又因為，所以在時恒成立，此時單調(diào)遞減，
在時恒成立，此時單調(diào)遞增，
所以為函數(shù)在的一個極小值點.
法二：因為，，
當時，，此時，
所以，所以此時單調(diào)遞減，
當時，，此時 ，
所以 ，所以此時單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
又因為，所以在時恒成立，此時單調(diào)遞減，
在時恒成立，此時單調(diào)遞增，
所以為函數(shù)在的一個極小值點.
【點睛】方法點睛：導數(shù)問題一般可以先求出參數(shù)再去驗證參數(shù)取值正確，該方法稱之為必要性探路.
3．(1)
(2)
【分析】
（1）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列方程，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解方程；
（2）根據(jù)的最值情況可知時，不等式恒成立，再構造，可知當時，根據(jù)導數(shù)可知在上單調(diào)遞增，所以，成立，當時，二次求導可得，根據(jù)導數(shù)可確定當時，，即，不成立.
【詳解】（1）由，得，
設切點為，
則，
消去得，
令，，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
當時，，
所以若，則，
所以；
（2）由（1）得，，
且，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以，
對于當時，恒成立，
當時，，所以恒成立；
若當時，恒成立，
則在恒成立，
，，
當時，，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，成立；
當時，設，，
在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，，
所以，使，
所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，
所以當時，，即，與題設矛盾，
綜上所述：
【點睛】
導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．
4．C
【分析】
將題干中的不等式變形為，由題意可知直線恒位于函數(shù)圖象的上方，函數(shù)的圖象的下方，代表直線在軸上的截距，當直線變化時觀察得當直線過且與曲線相切時，最小，設切點坐標為，求出的值，即可得出的最小值.
【詳解】
令，其中，則，
當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
令，則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
所以，存在，使得，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，如下圖所示：
由題意得，
直線恒位于的圖象上方，的圖象下方，
代表直線在軸上的截距，當直線變化時觀察得當直線過且與曲線相切時，最小．
設切點為，則，
整理可得，
令，則，
，
而當時，，，
所以，，
所以當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以有唯一的零點，
所以，此時直線方程為，故.
故選：C.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的最值，解題的關鍵在于將不等式變形為，通過作出圖象，找出直線與函數(shù)相切時，最小，然后利用導數(shù)法進行求解.
5．C
【分析】
討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導數(shù)求出，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，進而得解.
【詳解】
設，，
若，對任意恒成立，則，對任意恒成立，
當時，在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，
顯然，由圖可知，對任意不恒成立；
當時，在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時，
由，求導，
設，解得，且，
∴當?shù)那芯€斜率為1時，切點坐標為，
故，所以
即
兩邊同除以，，令
求導
令，得，即
當，，函數(shù)單調(diào)遞增，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當，函數(shù)取到最大值，且
故的最大值為
故選：C.
【點睛】思路點睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，需要結(jié)合圖象分類討論，構造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和運算求解能力，是難題.
6．C
【分析】
根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的位置關系，以相切為臨界，利用導數(shù)求過點的切線斜率，結(jié)合圖象即可得結(jié)果.
【詳解】
由題意可得：，則，
當時，則；當時，則；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若與直線相切時，設切點為，則切線斜率，
所以該切線方程為，
注意到切線過點，則，
整理得，解得或，
當時，；當時，；
結(jié)合圖象可得實數(shù)a的取值范圍為，即實數(shù)a的最大值為2e．
故選：C．
【點睛】
方法定睛：根據(jù)過某點切線方程(斜率)或其與某線平行、垂直等求參數(shù)問題的解法：利用導數(shù)的幾何意義、切點坐標、切線斜率之間的關系構建方程(組)或函數(shù)求解．
7．A
【分析】
不等式可化為，分別構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.
【詳解】由，
設，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，故，
當且僅當，即時取等號；
設，則，
當時，當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故，
當且僅當時取等號，
又，則，
此時，則.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：不等式中含有不相關的雙變量，據(jù)此分別構造不同的函數(shù)，利用導數(shù)求最值是關鍵之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關鍵點之二，據(jù)此建立方程求解即可.
8．B
【分析】令，即，求導分析單調(diào)性可得，即，令，求導分析單調(diào)性，求即可
【詳解】由題意，
令，
則，恒成立，即恒成立，即
令
令，即在單調(diào)遞增；
令，即在單調(diào)遞減.
令
令，即在單調(diào)遞增；
令，即在單調(diào)遞減；
故選：B
9．A
【分析】
不等式等價于，原命題等價于存在實數(shù)，，對任意實數(shù)不等式恒成立，等價于存在實數(shù)，，不等式成立，分別討論，，，的情況，先求出，再求出即可解決問題.
【詳解】不等式等價于即，
原命題等價于存在實數(shù)，，對任意實數(shù)不等式恒成立，
等價于存在實數(shù)，，不等式成立，
記，則，
（1）當時，對任意，恒成立，即在上單調(diào)遞減
①當，即時，，
②當，即時，，
從而當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以；
（2）當時，令，解得，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，，
①當時，此時，
當即時，，
當即時，，
從而當時，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以；
令，則，，記，
則，
當時，恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，
即；
②當時，此時，
當即時，，
當即時，，
從而當時，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以；
（3）當時，對任意，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
①當，即時，，
②當，即時，，
從而當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以；
綜上所述，，
所以.
故選：A
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
10．A
【分析】
求出函數(shù)的導數(shù)，就、分類討論導數(shù)的符號后可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的導函數(shù)，
考慮到，因此討論分界點為．
情形一：當時，可得對任意實數(shù)，有，
符合題意．
情形二：當時，，而單調(diào)遞增，
所以必然存在唯一正實數(shù)使得，
此時在區(qū)間上有單調(diào)遞減，而，不符合題意．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．
故選：A.
11．A
【分析】
令，由題意可知：對任意恒成立，且，可得，解得，并代入檢驗即可.
【詳解】
令，則，
由題意可知：對任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
則，
則在上遞增，可得，
即對任意恒成立，
則在上遞增，可得，
綜上所述：符合題意，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
12．
【分析】
將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的問題，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】不等式對一切正實數(shù)恒成立，
即直線恒在曲線的上方．

當最小，即直線與交點的縱坐標最小．
根據(jù)圖象可知，
當時，,
所以當直線與曲線相切于點時，取最小值.
因為，所以，所以.
故答案為：
13．
【分析】
首先畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合，通過直線與的圖象相切時的臨界值，即可求解的取值范圍.
【詳解】在上恒成立，等價于的圖象恒在直線的上方，
，兩邊平方后得，
所以的圖象是以為圓心，半徑為1，并且在軸的下半部分的半圓，
，，得，
當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)取得最小值，
如圖，畫出函數(shù)的圖象：
直線恒過定點，當直線與相切時，
設切點，
，可得，由，解得：，
則切線的斜率為2，
當直線與，相切時，直線與半圓相切，由，解得：，
由圖可知，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是正確畫出函數(shù)的圖象，并會根據(jù)直線與曲線相切，求直線的斜率.
14．
【分析】
根據(jù)必要性探路，構造函數(shù)，發(fā)現(xiàn)，故，得，再證當時，，即可求解.
【詳解】解：恒成立，即恒成立，
令，又, 所以，
故是的極小值點，
又所以，，解得：，
下證：當時，，
所以，，
又恒成立，故當時,單調(diào)遞增，當時，,單調(diào)遞減，
所以，
綜上，，
故答案為：
【點睛】思路點睛：對于恒成立含參問題,可以采取必要性探路解決，即先通過特殊點，求出不等式成立的必要條件，再證充分性，即可.
15．
【分析】
由不等式恒成立，求得，故，只需求的最大值即可.
【詳解】
下面證明當時不成立：當時，原不等式變形為，，
若，則，而當時，原不等式不成立；
若，當時，，取，則，，原不等式不成立，
故當時不成立，所以.
不等式可化為，
令，則，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增，
所以當時，，即，
所以，
令，則令可得，
當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
故，即，
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的思路是將不等式可化為，然后再構造函數(shù)，并對其進行求導，求出函數(shù)的最小值為，即，然后求出目標函數(shù)的最大值為，即，所以求出的最大值是．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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